2023届普通高等学校招生全国统一考试·高三新高考仿真模拟卷数学（六）试卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试•仿真模拟卷

数学（六）

注意事项：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷

和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的.

1.已知集合4={小2-1<°},3={#-2/0},若=则实数〃的取值范围是（）

A.（-00,-2]B.[-2,4-00）

C,卜卜8）D.

2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=i（3-tri）为“等部复数”，则

实数。的值为（）

A.-1B.OC.3D.-3

3.双曲线二—二=1（°>0/>0）的离心率为6，且过点4（2,2）,则双曲线方程为（）

a~b~

A.x2~~=\

224

C九2>12-i

4236

4.高斯是德国着名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设xsR,用[可表示不超

过x的最大整数，y=国也被称为“高斯函数”，例如[21]=2,[3]=3,[―1.5]=—2,设%为函数

3

J（x）=k）g3%一高工的零点，则卜i）］=（）

A.2B.3C.4D.5

5.已知点P是圆C:（x—6『+（y—3）2=4上一点，若点尸到直线y=—2的距离为1,则满足条

件的点P的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知。外7,），且5cos2tz+10sin2a=9，WOtana=（）

A.—B.2C.；D.一

922

7.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩

墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名

运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（）

111

1

--C--

A.4236

8.如图，在正方体ABC。-AB|GA中，点P在线段8。上运动（包含端点），则直线与尸与G。所成

角的取值范围是（）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（)

02/24

83

A.8兀cm?B.—cm

71

c.%3D.-cm3

71兀

10.已知随机变量X服从二项分布B（4，P）,其方差。（x）=l,随机变量丫服从正态分布N（〃,4）,且

尸（X=2）+P（y<a）=l,则（）

I3

A.5B,p（x=2）=-

31

C.P（Y<a）=-D.P（y>l-a）=-

88

22

11.已知直线y=x+l交椭圆C:土+2-=l于A,B两点，P是直线A6上一点，。为坐标原点，则（）

63

A.椭圆C的离心率为也

2

B.1明=乎

C.OAOB=-2

D.若月,乃是椭圆C的左，右焦点，则归段―归用归2行

12.己知函数/（x）=（x-3）e,,若经过点（0,。）且与曲线y=/（x）相切的直线有两条，则实数。的值为

（）

A.-3B.-2C.-eD.-e2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=9,2,6=（—则a•。一忖=.

14.写出一个同时满足下列条件的非常数函数.

①在［0,+8）单调递增②值域［L+8）③/（力习十一力

15.“中国剩余定理”又称“孙子定理1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数''问题

的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般

性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整

除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成

数列｛%｝,则此数列的项数为.

16.函数/(x)=2sin(iyx+e)(<y>0,刨〈力的部分图象如图中实线所示，A,C为/(x)的图象与x轴

交点，且A-；,0,M,N是/(X)的图象与圆心为C的圆(虚线所示)的交点，且点M在y轴上，N

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知数列｛%｝满足q=1,｛n-\)an-叫“=0(/1>2).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若4=2"q,求数列出｝的前“项和S”.

18.如图，中，AB=4,AC=2,B=g,点。在边BC上，S.cosZADB=--—.

67

(1)求8£>；

(2)求,ABC的面积.

19.近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的100位

文科考生首选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下

表：(单位：人)

首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业

女性4515

04/24

男性2020

假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响.

(1)根据表中数据，能否有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？

(2)若以上表中频率代替概率，从该校考生中随机选择8位女生，试估计选择师范专业作为首选志愿

的人数.

参考公式：K>-----)------------------,其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

参考数据：

P（K2>k.）0.100.050.0100.001

ko2.7063841663510.828

20.如图，四棱锥P-ABCD中，Q4_L平面ABCQ,底面A8C。是直角梯形，AB//CD,ABLAD,

Q4=l,BC=CD=2,AB=3,点E在棱PC上.

BE

(1)证明：平面AED_L平面％B；

(2)已知点E是棱PC上靠近点P的三等分点，求二面角C—AE-O的余弦值.

21.已知直线x+2y-2=0过抛物线C：f=2py(p>0)的焦点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M,N两点，当,AVN的

面积是好时，求点A的坐标.

2

22.已知函数/（为）=疣，，g（x）=21n]+2.

(1)求函数/(x)的最值；

(2)若关于x的不等式/(x)-g(x”依恒成立，求实数人的取值范围.

2023年普通高等学校招生全国统一考试•仿真模拟卷

数学(六)

注意事项：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷

和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的.

1,已知集合人斗*一1叫，8={#-2/0},若入5=3,则实数.取值范围是()

A.B.[-2,+oo)

[1)(1

C.——，+8D.-oo,——

L2)I2」

【答案】C

【解析】

【分析1求出A=B={^x>2a\,根据=得到4=8,从而得到不等式，

求出实数”的取值范围.

【详解】A=x2-1<0|=-1<x<1},B={x|x-2aN0}={x|xN2a},

因为所以AqB,

故24zW—1,解得：ci<—,

2

故选：C

2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=i(3-ai)为“等部复数”，则

实数。的值为()

A.-1B.OC.3D.-3

【答案】C

06/24

【解析】

【分析】利用复数的乘法法则得到z=a+3i,从而得到a=3.

【详解】z=i（3—ai）=—ai'+3i=a+3i,故a=3.

故选：C

22

3.双曲线二一与=l（a>0/>0）的离心率为6,且过点A（2,2）,则双曲线方程为（）

a"b"

22

A炉r_xB.工-J

224

2222

C.工上=1D.上上=1

4236

【答案】B

阿斤】

【分析】通过已知得出“与人的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答案.

22

【详解】双曲线0-/=1（。>0,。>0）的离心率为6,

a

a2+b2-c1

.a2+b2

=3，即2a2=b1,

Q-

22

双曲线3-5•=l(a＞。力＞0)过点4(2,2),

a~b~

.44_

..------------——1,

b"

44

则由2〃与一^一不=1联立解得：a=yp2»b=2,

ab

22

・••双曲线的方程为：—-^-=1,

24

故选：B.

4.高斯是德国着名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x《R,用［可表示不超

过X的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1]=2,同=3,[―1.5]=—2,设％为函数

3

y（x）=iog3x------的零点，则&]=（）

X+1

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断与所在区间，最后根据高斯函数的定义计算

可得.

3

【详解】解：因为丁=1。83%与丁=一二1在（0,+8）上单调递增，

3

所以/（%）=log3X--—在（0,+8）上单调递增，

X+1

3313

又〃3）=log33-币=1-丁/0,/（2）=10§32-^=10§32-1<0,

所以“X）在（2,3）上存在唯一零点％,即/<2,3）,所以[%]=2.

故选：A

5.已知点尸是圆C:（x-8『+（y-3『=4上一点，若点P到直线y=J^x—2的距离为1,则满足条

件的点尸的个数为（）

A.1B.2C.3D,4

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.

?32

【详解】由题意可知圆心为所以c（6,3）到y=氐一2的距离为d=|^^'1=1,

故与直线y=J?x-2平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P,此时有两个，又圆

的半径为2,故当过圆心且与y=2垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.

故选:C

08/24

y,

-2

Pi

6.已知ae，且5cos2a+10sin2a=9，则tana=()

9

AB.2cD.

-t-?2

【答案】B

【解析】

【分析】由己知利用二倍角公式，平方关系siVa+cos2a=1代换，可得史学史U=9,根据a的范

tan~a+l

围即可求解.

【详解】由5cos2a+10sin2a=9，得

5cos2a+20sinacosa=9，

5cos2a+20sinacosa

则nil--------------------=

sin2cif4-cos2a

54-20tan6z八，口

即Ur1tan%+l=9,得9tan0-a-20tana+4=0,

则(9tantz_2)(tana_2)=0,

得tana=2或tana=2,

9

7171

又ae4f2所以tancr>1,

故tana=2.

故选：B

7.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩

墩”站成一排拍照留恋，已知"冰墩墩''在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名

运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（）

【答案】c

【解析】

【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法

的所有排法，再求甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法，根据古典概型概率公式求概率.

【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，

且“冰墩墩”在最中间的所有排法有A：=24种，

甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧排法有2A；A；=8种，

Q1

由古典概型的概率公式可得甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率：尸=——=一，

243

故选：C.

8.如图，在正方体ABCQ-AAGR中，点P在线段8。上运动（包含端点），则直线与G。所成

角的取值范围是（）

【答案】B

【解析】

【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以

BF=BiB+BP=B]B+2BR=（一九一九一1+©（0W2W1）,又DC】=（0,1,1）,设则直线gP与CQ

所成角为仇则cos9=Ms（gp,0G）|，结合x的范围即可得解.

10/24

以D4,DC,。。为苍y,z建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则8(1,1,0),。(0,0,1),C,(0,1,1),4(1,1/)，

所以4P+B户+=(0,0,-1)+〃-1,-1,1)=(一/1,一/1,-1+丸)(0式;IW1)

OG=(0,1,1)，

则设直线用尸与G。所成角为

则2岫配,叫卜扁"匕上加］，

由0WXW1,所以3分-24+1=3/l—士+-e

I3；3

TtIt

,所以

6'3'

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是()

、83

A.871cm3B.—cm

it

1643

C.——cm-3D.—cm

nn

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm,高为

2cm的和圆柱的底面周长为2cm,高为4cm,两种情况分别由体积公式即可求解.

【详解】侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，

..............」2

若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径R=—cm,h=2cm,

71

Q

此时圆柱的体积V=TC/?2A=—cm1

71

若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径R='cm,〃=4cm,

71

此时,圆柱的体积V=nR?h=—cm'

71

故选：BD

10.已知随机变量X服从二项分布3（4,〃），其方差。（X）=l,随机变量丫服从正态分布N（p,4）,且

P(X=2)+P(y<a)=l,则()

I3

A〃=]B.P(X=2)=w

31

c.p(y<«)=-D.p(y>i-a)=-

88

【答案】AB

【解析】

【分析】根据二项分布的方差公式得到方程求出P，再根据独立重复试验的概率公式求出P（X=2）,即

可判断A、B、C,最后根据正态分布的性质判断D.

【详解】解：因为随机变量X服从二项分布B（4,p）,且其方差O（X）=1,

所以。（X）=4p（l-p）=l,解得p=g,故A正确;

3

所以P（X=2）=C：又P(X=2)+P(y<a)=l,

8

所以P（y<a）=*,所以B正确，C错误;

8

所以丫则正态曲线关于x对称，因为a—，=L—（l—a）,

\2J222

所以p(y>l—a)=p(y<a)=9,故D错误.

8

故选：AB

11.已知直线y=x+l交椭圆C:t+二=1于A，B两点，P是直线上一点，。为坐标原点，则（）

63

12/24

A.椭圆。的离心率为上

2

B.|明=乎

C.OAOB=-2

D.若耳,鸟是椭圆C的左,右焦点，则忸图—|P用归2及

【答案】AD

【解析】

【分析】根据椭圆方程求出“、b、c,即可求出离心率，即可判断A,设4&，x),B(与M，联立

直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式判断B,求出b为=(百+1)(々+1),根据数量积

的坐标表示判断C,设大卜6,0)关于直线A5的对称点为E(e,f),求出对称点的坐标，再根据

^PF2\-\PF^<\EF2\,即可判断D.

【详解】解：因为椭圆C:二+E=1,所以/=6，b2=3,则。=指，」=五2—从=6,

63

所以离心率e=£=噂=交，故A正确；

a<62

y=x+1

设A(%，x),3(尤2，%)，由‘fy2,消去y得3犬+41-4=0，

I63

仆44

显然△>(),所以工1+%2=-g，尤|“2=—§，

所以恒司=>/$卜—q='g)—4x^—,故B错误；

又y%=(%+])(*2+1)=玉*2+内+工2+1=，

所以。4-QB=xw+xy2=—3，故c错误；

设月(一百,0)关于直线AB的对称点为E(e,f),

J——J

c4-x/3e=—1/t—\

则17,解得(即£(一1,1一6,

f-6+e,/=1-V3''

—=-------+1

122

则|P£|=|PE|,||尸局-附||=仍用-|尸回归|%|,当且仅当尸，E，苞三点共线时取等号,

所以此国—伊用的最大值为但用=，1-Gy+(1-G)2=2点,即归图一|P3<2血，故D正确,

故选：AD

12.已知函数"x)=(x-3)e"若经过点(0,。)且与曲线y=/(x)相切的直线有两条，则实数〃的值为

()

A.-3B.-2C.-eD.-e2

【答案】AC

【解析】

【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根

据条件得出答案.

【详解】设切点为—3)e'),

由/(x)=(x-3)e*,

得r(x)=e'+(x_3)eyx_2)e，

则过切点的切线方程为：y-(r-3)e,=(r-2)e,(x-r).

把(0,a)代入，得a_(53)d=Q_2)e'(OT),

即一a=e'(厂—37+3),

令g(x)=e*(x2—3x+3),

则g'(x)=e*(x2_x),

则当xe(-e,0)u(l,+8)时，g'(x)>0,

当xe(0,l)时，g'(X)<0,

g(x)的增区间为(一0)与(1,+<»),减区间为(0,1),

做出草图如下:

14/24

因为过点（0,4）且与曲线y=/（X）相切的直线有两条，贝卜。=e或—Q=3,

则a=_3或a=-e,

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知向量a=（4,2百），人=（一1,\/^）,则a2一忖=.

【答案】0

【解析】

【分析】根据向量的数量积和向量的模长公式，直接进行计算即可.

【详解】“m―W=（4,2G）.（T,9_J（_1）2+（G『=T+6—2=0，

故答案：0

14.写出一个同时满足下列条件的非常数函数.

①在［（）,+8）单调递增②值域口,+8）③

【答案】/（x）=x2+l（不唯一）

【解析】

【分析】结合函数的性质选择合适函数即可.

【详解】由/（X）寸■（-x）得函数为偶函数，关于y轴对称，结合单调性及值域，可以为〃力=1?+1.

故答案为：/（x）=f+l（不唯一）.

15.“中国剩余定理”又称“孙子定理1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数''问题

的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般

性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”中国剩余定理''讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整

除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成

数列{%},则此数列的项数为.

【答案】169

【解析】

【分析】根据题意可知所求数为能被12除余1，得出数列伍,｝的通项公式，然后再求解项数即可.

【详解】解：因为能被3除余1且被4除余1的数即为能被12除余1的数，

2033

故a“=12〃-U,5eN*),又见42022,B[J1<2022,解得〃

又”eN,“，所以1«〃W169且〃eN*.

故答案为：169.

16.函数/(x)=2sin®x+。)(刃>0,刨<])的部分图象如图中实线所示，A,C为/(x)的图象与x轴

交点，且人(-，,0),M,N是/(x)的图象与圆心为C的圆(虚线所示)的交点，且点用在y轴上，N

【解析】

【分析】根据函数/(x)=2sin(s+e)的图象以及圆。的对称性可得函数的周期，结合可得

7T

.f(x)=2sin(2u+1),进而求解M的坐标，由勾股定理即可求解半径.

【详解】根据函数/(X)=2sin(s+0)的图象以及圆。的对称性，

可得知，N两点关于圆心C(c,0)对称，

所以c=一,于是工=。+，=，=>巴=工=>/=2兀，

3262刃2

16/24

I1jrjr

由0=2兀及A—,0,得\~(p=b+kji,keZn(p=—+kii,keZ,

V6J33

由于附<I,所以夕=三，

所以f(x)=2sin(27u+?,f(0)=也,从而“(0,6)，故半径为=+3=^-,

故答案为：亚

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝满足q=1,(n-l)a„-nan_｝=0(n>2).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若a=2"q,求数列出｝的前“项和S1t.

【答案】(D%=〃

(2)S„=(n-l)-2n+l+2

【解析】

【分析】(1)由题意得数列为常数列，可数列｛《,｝的通项公式；

(2)利用错位相减法求数列前〃项和.

【小问1详解】

由(〃一1)为一叫,T=0(〃N2),得工=也(”22),所以数列［%］为常数列，有"=幺=1,

nrt-1InJn1

an=n

【小问2详解】

bn=r.a,=n.r,

Sn=3+2x22+3x23++(〃一1”I+〃-2",

2s“=2?+2x23+3x24+•+(〃-1)2"+n-2',+',

两式相减，—s=21+2?+23++2"-•2'用=2°-2)-〃•2'用=(1-n)-2'川一2，

"1-2、7

所以5.=(〃_1>2向+2

18.如图，在.一A8C中，AB=4,AC=23=三，点。在边BC上，且cos/4O8=—土-.

67

（1）求BD；

（2）求_ABC的面积.

【答案】（1）有

⑵2G

【解析】

【分析】（1）由cos/A08=—X上求出sinNADB,再由正弦定理即可求出8。

7

（2）根据余弦定理可求出BC,进而求出的面积.

【小问1详解】

同里，BJ

在.ADB中，cosNADB=--—，则sinZADB

776

所以sin4AD=sin值+ZAZ可=；x,钊+争斗=答,

BDAB

由正弦定理可得:则V212V7

sinNBADsinNADB

147

【小问2详解】

在「ABC中，由余弦定理可得：cos30°=—=+16-4

225C-4

解得：BC=2卮

所以的面积S=』x26x4x2=2百.

22

19.近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的100位

文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下

18/24

表：(单位：人)

首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业

女性4515

男性2020

假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响.

(1)根据表中数据，能否有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？

(2)若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随机选择8位女生，试估计选择师范专业作为首选志愿

的人数.

参考公式：K2=-——〃(丝尸)——其中〃=a+b+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

参考数据:

2

P（K>k0）0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828

【答案】(1)没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；

(2)6.

【解析】

【分析】(1)首先利用数据求得=100(45X20—15x20)°&593<6.635，对照表格数据即可得解;

60x40x65x35

(2)根据人数可得女生中首选志愿为师范专业的概率P=0.75,设该校考生中随机选择8位女生中选择

师范专业作为首选志愿的人数为x,所以x3(8,0.75),利用二项分布即可得解.

【小问1详解】

根据所给数据求得片=l0°(45x20-15x20)2-6.593<6.635，

60x40x65x35

所以没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.

【小问2详解】

100名高考考生中有60名女生，首选志愿为师范专业有45人，

故首选志愿为师范专业的概率P=0.75，

设该校考生中随机选择8位女生，选择师范专业作为首选志愿的人数为x,

所以x3(8,0.75),

所以E(x)=8x0.75=6,

所以随机选择8位女生计选择师范专业作为首选志愿的人数为6.

20.如图，四棱锥P—A8CZ)中，B4_L平面ABC。，底面A8CD是直角梯形，AB//CD,ABYAD,

(1)证明：平面AED_L平面以&

(2)已知点E是棱PC上靠近点P的三等分点，求二面角C—AE—。的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)叵

14

【解析】

【分析】(1)由题意可证得Q4_LAQ,又Afi_LA。，由线面垂直的判定定理可得AD_L平面Q4B,再由

面面垂直的判定定理即可得证；

(2)以A为原点，AZZAB,/炉分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C4E和

平面AED的法向量，再由二面角公式即可得出答案.

【小问1详解】

因为24_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以R4_LA。，

又PAAB=A,PA,AB\平面RW，

所以A£>_L平面PAB.

又ADu平面ADE，所以平面AE£)_L平面Q钻.

小问2详解】

以A为原点，AD,AB,AP分别为x,J7,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

过C作CG//4),交A8于点G,则易知四边形AOCG是矩形，

所以AO=CG=JFW=百，

20/24

则A(0,0,0),8(3,0,0),P(0,0,l),C(2，V3,0),D(0,G,0),

E是棱PC上靠近点P的三等分点,

所以设E(x,y,z),则=所以(x,y,z—1)=；(2,6,—1卜

2告则4潜"叫潜斗血(0,后0),

则X-

33

设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),则〃.AD=0且〃.AE=0，

.,.百y=0且2x+@y+2z=o,；.y=0,令x=l,则z=—1,

333

二平面ADE的一个法向量〃=。,0,-1),

设平面ACE的法向量为〃2=a，x，zJ,AP=(O,O,l),4C=(2,6,O)

则〃-AC=0且“-AP=0,，4=0且2芯+8y=0,

令x=JJ,则y=-2,平面ACE的一个法向量，〃=(73,-2,0),

/、mnG^42

•*.cos(m,n)=--n-r=—f=--j==------,

'1\m\\n\72x7714

二面角C—AE—£＞的余弦值为这.

21.已知直线x+2y-2=0过抛物线。：/=2刀(〃>0)的焦点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M,N两点，当心的

面积是由时，求点A的坐标.

2

【答案】（1）x2=4y

（2）或（-1,-1）

【解析】

【分析】（1）求出焦点坐标为（0,1），从而得到p=2,求出抛物线方程；

（2）设出A（m,-1）,过点A的抛物线的切线方程设为了=一1+攵（％-加）,与抛物线方程联立，根据△=0

得到16公-16相左-16=0,设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为％1,总，求出

仁+欠2=加,秘2=-1，表达出石一到=比-4|，S谢=g+4,列出方程

17/n2+4=—，求出机=土1,得到点A的坐标.

22

【小问1详解】

x+2y-2=0中令x=0得：y=l,

故焦点坐标为（0,1）,故5=1，解得：P=2,故抛物线方程为V=4y；

【小问2详解】

抛物线准线方程为：y=-l,

设过点A的抛物线的切线方程设为y=T+Z（x-〃?），

联立j?=4y得：X2-4AX+4ZT?Z+4=0-

由△=16公