新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题1　微重点4　函数的公切线问题（含解析）

微重点4函数的公切线问题专题一

函数与导数

导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.考点一求两函数的公切线考点二与公切线有关的求值问题考点三判断公切线条数专题强化练考点四求参数的取值范围内容索引求两函数的公切线考点一(2022·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln

x＋1的公共切线，则l的方程为________________.例1y＝ex－1或y＝x设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln

x＋1相切于点Q(b，ln

b＋1)，整理得(a－1)(ea－1)＝0，解得a＝1或a＝0，当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；当a＝0时，l的方程为y＝x.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.规律方法

已知函数f(x)＝x2－2m，g(x)＝3lnx－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝___，该切线方程为______________.跟踪演练11

2x－y－3＝0设函数f(x)＝x2－2m与g(x)＝3lnx－x的公共点为(x0，y0)，解得x0＝m＝1，∴f′(x0)＝2，f(x0)＝－1，切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.与公切线有关的求值问题考点二(2022·河南省百校大联考)已知f(x)＝

＋ln

x与g(x)＝2x－x3＋c的图象有一条公切线，则c＝______.例2利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程.规律方法y＝x3的导函数为y′＝3x2，y＝x2－x＋a的导函数为y′＝2x－1，

(2022·湖北省新高考联考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是

A.2 B.1 C.0 D.－2跟踪演练2√判断公切线条数考点三

(2022·菏泽质检)若直线l与曲线y＝ex和y＝ln

x都相切，则满足条件的直线l有

A.0条

B.1条

C.2条

D.无数条√例3设直线l与曲线y＝ex相切于点(x1，

)，y′＝ex，∴直线l的方程为即设直线l与曲线y＝lnx相切于点(x2，lnx2)，则消去x2得令φ(x)＝xex－ex－x－1，x∈R，φ′(x)＝xex－1，令g(x)＝xex－1，x∈R.则g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，∵φ′(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，又当x<0时，φ′(x)<0，且φ′(0)<0，φ′(1)＝e－1>0，∃x0∈(0,1)，使φ′(x)＝0，即

＝1，∴当x∈(－∞，x0)时，φ′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，∴函数φ(x)有2个零点，即y＝ex与y＝ln

x有2条公切线.运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.规律方法

若a>，则函数y＝ax2与y＝ln

x的公切线有

A.0条

B.1条

C.2条

D.无数条跟踪演练3√设切线与曲线y＝ln

x相切于点(t，ln

t)，所以曲线y＝lnx在点(t，lnt)处的切线方程为令g(t)＝t2－t2lnt，其中t>0，则g′(t)＝2t－(2tlnt＋t)＝t(1－2lnt).且当0<t<e时，g(t)>0；当t>e时，g(t)<0，函数g(t)的图象如图所示，则函数y＝ax2与y＝lnx有两条公切线.求参数的取值范围考点四

若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝

(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围为___________.例4y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.规律方法

若函数f(x)＝4lnx＋1与函数g(x)＝ax2－2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为跟踪演练4√解得0<t<函数φ(t)在

上单调递增，当0<t<1时，φ(t)<0，即h′(t)<0，此时函数h(t)单调递减，当1<t<时，φ(t)>0，即h′(t)>0，此时函数h(t)单调递增，所以h(t)min＝h(1)＝3，且当t→0＋时，h(t)→＋∞，所以函数h(t)的值域为[3，＋∞)，故a≥3.专题强化练√12345678123456782.已知函数f(x)＝xln

x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于

A.0 B.－1

C.3

D.－1或3√1234567812345678设直线l与f(x)＝xln

x相切的切点为(m，mln

m)，由f(x)＝xln

x的导数为f′(x)＝1＋ln

x，可得切线的斜率为1＋ln

m，则切线方程为y－mln

m＝(1＋ln

m)(x－m)，将A(0，－1)代入切线方程可得－1－mln

m＝(1＋ln

m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或3.3.(2022·邢台模拟)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln

x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于

A.－2 B.－1 C.1 D.212345678√由f(x)＝ex，g(x)＝ln

x，即x1＝－ln

x2.曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为所以(1－x1)＝－1＋ln

x2，123456784.(2022·青岛质检)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“自重合”函数.下列函数中是“自重合”函数的为

A.y＝ln

x＋x

B.y＝ex＋1C.y＝x3

D.y＝x－cos

x√12345678若曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，首先要保证这两点处导数相同.若切线重合，则x0＝0，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；D选项中，y′＝1＋sinx，令y′＝1＋sinx＝1得x＝kπ(k∈Z)，则有点(0，－1)，(2π，2π－1)，切线均为y＝x－1，所以存在不同的两点使得切线重合，故D正确.123456785.(多选)(2022·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，则

A.m＝－2

B.m＝－1

C.n＝6

D.n＝7√12345678√12345678设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)相切于点(b，3b＋m)，对于函数y＝x3(x>0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a>0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6(x>0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b>0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b>0，所以b＝2，n＝7.6.(多选)(2022·南京模拟)若二次函数f(x)＝2x2＋3的图象与曲线C：g(x)＝aex＋3(a>0)存在公切线，则实数a的可能取值为√12345678√√12345678由f(x)＝2x2＋3可得f′(x)＝4x，由g(x)＝aex＋3可得g′(x)＝aex，与g(x)＝aex＋3的图象相切于点(x2，

＋3)，所以4x1＝可得x1＝0或2x2＝x1＋2，12345678因为4x1＝

，a>0，则x1>0,2x2＝x1＋2>2，即x2>1，由h′(x)>0得1<x<2；由h′(x)<0得x>2，所以h(x)在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，12345678123456787.(2022·重庆质检)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则g′(2)＝________.－32由题知f(0)＝0，∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，即y＝f′(0)x，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，∴g(x)在(1,2)处的切线方程为y＝g′(1)x－g′(1)＋