高中数学培优讲义练习（选择性必修一）：直线与圆的位置关系-重难点题型检测（教师版）

专题2.14直线与圆的位置关系-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线3x+4y+12=0与圆x−12+y+1A．相交且过圆心 B．相切C．相离 D．相交但不过圆心【解题思路】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【解答过程】圆心坐标为1，−1，半径r=3，圆心到直线3x+4y+12=0的距离故选:D.2．（3分）（2022·河南·高二阶段练习）若直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有一个公共点，则bA．−2,2C．−1,2∪2【解题思路】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【解答过程】由曲线x=1−y2表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y=x+b是倾斜角为π4的直线与曲线x=①直线与半圆相切，根据d=r，所以d=b2=1②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知−1<b≤1.综上可知：−1<b≤1或b=−2故选：D.3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）圆x2+y2−4x+4y+6=0A．6 B．62 C．1 【解题思路】方法一，先求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，方法二，将直线方程与圆的方程联立方程组，消去y，利用根与系数的关系结合弦长公式可求得答案【解答过程】方法一

圆的方程可化为(x−2)2则圆的半径r=2，圆心(2,−2)到直线l的距离d=所以直线l被圆截得的弦长为2r方法二设直线l与圆相交于点Ax1,由x−y−5=0x2+y2−4x+4y+6=0，得所以AB=1+1故选：A.4．（3分）（2022·江苏·高二开学考试）经过直线2x−y+3=0与圆x2+yA．x+352C．x+352【解题思路】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．【解答过程】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.圆x2+y∴圆心坐标为(−1,2)，半径为2，弦心距d=|−2−2+3|22过圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心和直线2x−y+3=0最小的圆的圆心为2x−y+3=0与直线x+2y−3=0的交点，解方程组可得(−35，∴所求面积最小的圆方程为：(x+3故选：C．5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）过点P4,1作圆C:x−22A．3x−4y−8=0 B．3x−4y−8=0或x=4C．3x+4y−8=0 D．3x+4y−8=0或x=4【解题思路】根据切线斜率是否存在分类讨论，再利用圆心到切线的距离为半径可求切线方程.【解答过程】若切线的斜率不存在，则过P的直线为x=4，此时圆心C2,−3到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线x=4若切线的斜率存在，设切线方程为：y=kx−4+1即故2=2k+3+1−4k1+k故此时切线方程为：3x−4y−8=0.故选：B.6．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若P是直线l:3x+4y+1=0上一动点，过P作圆C:x−22+y−22=4的两条切线，切点分别为A，A．5 B．7 C．25 D．【解题思路】四边形PACB面积等于2S△PAC=PAAC=2PA=2PC【解答过程】由题意可得圆C:x−22+因为PA,PB与圆C相切，所以四边形PACB面积等于2SPC的最小值为圆心C到直线的距离d=3×2+4×2+1所以四边形PACB面积的最小值为23故选：C7．（3分）（2022·浙江省高二开学考试）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km．则城市A受台风影响的时间为（

A．5h B．53h C．523【解题思路】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间【解答过程】如图，AP=300km，∠APB=30∘，台风中心沿PB台风中心距离城市A的最短距离为AB=AP又台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003则台风中心在以城市A为圆心半径为1003km的圆内时，城市A以城市A为圆心半径为1003km的圆截直线PB2100则城市A受台风影响的时间为100故选：B.8．（3分）（2022·全国·高二专题练习）若实数x，y满足x2＋y2－A．最大值为2＋3，最小值为—2－3B．最大值为2＋3，最小值为2－3C．最大值为－2＋3，最小值为－2－3D．最大值为—2＋3，最小值为2－3【解题思路】根据几何意义，把y−3x+2可看作圆上任意一点Px,y与定点【解答过程】x2＋yy−3x+2可看作圆上任意一点Px,y与定点记k=y−3x+2，则y=kx+2k+3，记为直线当直线与圆x−22＋y−7此时圆心到直线的距离d=2k+2k+3−71+k所以2−3故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）若直线l:y=x+m与曲线C:x=3−4y−y2有公共点，则实数mA．−1−22 B．C．−3 D．−4【解题思路】由题知曲线C是以(3,2)为圆心，半径为2左半圆，进而数形结合求解即可.【解答过程】解：由题知C:4y−y2所以，曲线C是以(3,2)为圆心，半径为2左半圆，如图，当直线l与曲线C相切时，由2=|3×1+2×(−1)+m|2，解得当直线过点3,0时，m=−3，所以，结合图形可知，实数m的取值范围是：−3,22故实数m可以为−3,22故选：BC.10．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l：ax+by−r2=0与圆C：xA．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解题思路】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可.【解答过程】对于选项A：∵点A在圆C上，∴a2∵圆心C0,0到直线l的距离为d=∴直线与圆C相切，故A选项正确；对于选项B：∵点A在圆C内，∴a∵圆心C0,0到直线l的距离为d=∴直线与圆C相离，故B选项正确；对于选项C：∵点A在圆C外，∴a2∵圆心C0,0到直线l的距离为d=∴直线与圆C相交，故C选项错误；对于选项D：∵点A在直线l上，∴a2∵圆心C0,0到直线l的距离为d=∴直线与圆C相切，故D选项正确．故选：ABD．11．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知过点P4,2的直线l与圆C:(x−3)2+(y−3)2=4A．AB的最大值为4B．AB的最小值为2C．点O到直线l的距离的最大值为2D．△POC的面积为3【解题思路】求得圆C的圆心坐标为C(3,3)，半径为r=2，结合圆的性质和圆的弦长公式，准线判定，即可求解.【解答过程】由题意，圆C:(x−3)2+(y−3)2又由点P4,2在圆C因为过点P4,2的直线l与圆C:(x−3)2所以AB的最大值为2r=4，所以A正确；因为PC=当直线l与PC垂直时，此时弦AB取得最小值，最小值为AB=2当直线l与OP垂直时，点O到直线l的距离有最大值，且最大值为OP=由kOC=3−03−0=1,所以△POC的面积为12故选：AC.12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线l:x−y+5=0，过直线上任意一点M作圆C:x−32+y2=4的两条切线，切点分别为A．四边形MACB面积的最小值为47 B．∠AMBC．直线AB过定点12,52 【解题思路】S四边形MACB=2S△MAC=MA⋅AC=2MA，当CM⊥l时MC有最小值，求出MCmin可判断A；当CM⊥l时∠AMB最大，cos∠AMB=cos2∠AMC=1−2sin2∠AMC=34可判断B；设点Ax1,y【解答过程】对于A选项，由题意可知S四边形MACB=2S△MAC=MA⋅AC=2MA，当对于B选项，当CM⊥l时，∠AMB最大，此时cos∠AMB=cos2∠AMC=1−2对于C选项，设点Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，则x0−y0+5=0，易知在点A、B处的切线方程分别为解方程组x+y−3=0,5y−3x+5=0,得x=52,y=对于D选项，设直线AB所过定点为P，则P52,12，当CP⊥AB时，弦长AB最小，此时CP故选：AD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）直线x+3y+12=0被圆x2【解题思路】先由圆的方程确定圆心坐标和半径大小，再求圆心到直线的距离，根据几何法求弦长.【解答过程】由题知：圆x2+y2=100故圆心到直线x+3y+12=0的距离所以弦长为：l=2r故答案为：16.14．（4分）（2021·福建宁德·高二期中）直线y=kx−6+1与曲线y=3−4x−x2有两个不同的公共点，则实数k【解题思路】由已知，分别作出直线y=kx−6+1与曲线【解答过程】由曲线y=3−4x−x2其图象是以(2,3)为圆心，半径为2的半圆，直线y=kx−6+1是过定点做出图像，如图所示：由图可知，kAB=1−3所以直线y=kx−6+1与曲线y=3−4x−x2故答案为：−115．（4分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆C:x2+y2+2x−4y+m=0与y轴相切，过P−2,4作圆C的切线，则切线l【解题思路】先将圆的方程化为标准方程，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况求解.【解答过程】由圆C:x2+因为圆C:x2+所以5−m=1，解得当过P−2,4的直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2圆心到直线x=−2的距离为1，符合题意；当过P−2,4的直线的斜率存在时，设直线方程为y=k则k+2k2+1则切线l的方程为y=−34x+所以满足条件的切线l的方程为x=−2或3x+4y−10=0.故答案为：x=−2或3x+4y−10=0.16．（4分）（2020·北京·高二期中）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径为49km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北60km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它将会（填“会”或“不会”）受到台风的影响.【解题思路】以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.进而可推断出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船不受台风影响.【解答过程】解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2轮船航线所在直线l的方程为x80+y如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向.由于圆心O0,0到直线l的距离d=所以直线l与圆O有公共点.这说明轮船将受台风影响.故答案为：会.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）若曲线y＝1＋4−x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，求实数【解题思路】根据直线方程的点斜式和圆的方程，可得直线l经过点A(2,4)，曲线C表示以(0,1)圆心半径为2的圆的上半圆．由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值，结合图形加以观察即可得到本题答案．【解答过程】直线l:y=k(x−2)+4，即kx－y－2k＋4＝0，经过定点A(2,4)，曲线C:y=1+4−x2，化简得x2+(y−1)∴直线l与曲线C有两个交点，即直线与半圆有两个交点.当直线l与半圆相切时，3−2kk2+1当直线l为经过点B(−2,1)时，是斜率k的最大值，此时k=3动直线l位于切线与AB之间(包括AB)时，直线l与曲线C有两个交点，∴k的取值范围为(512，18．（6分）（2021·广东·高二期中）已知圆C:x2+(1)写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A、B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．【解题思路】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r，求出直线l经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距离d，根据AB=2【解答过程】(1)由题设知圆C：x2∴圆C的圆心坐标为C0,1，半径为r＝5．又直线l可变形为：y−1=mx−1，则直线恒过定点M∵12∴点M在圆C内，故直线l必定与圆相交．(2)由题意知m≠0，∴直线l的斜率k=m=tan∴圆心C0,1到直线l：3x+y−3−1=0∴|AB|=2r19．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆C的圆心在直线2x−y−2=0上，且与直线l：3x+4y−28=0相切于点P4,4(1)求圆C的方程；(2)求过点Q−4,1与圆C【解题思路】（1）先根据题意求出过P4,4与直线l垂直的直线，再与直线2x−y−2=0联立可求出圆心C的坐标，再求出CP（2）分过点Q−4,1【解答过程】（1）过点P4,4与直线l：3x+4y−28=0垂直的直线m的斜率为k=所以直线m的方程为y−4=43x−4由4x−3y−4=02x−y−2=0，解得C所以r=4−1故圆C的方程为：x−12（2）①若过点Q−4,1的直线斜率不存在，即直线是x=−4②若过点Q−4,1的直线斜率存在，设直线方程为y−1=kx+4，即若直线与圆C相切，则有5k+1k2+1此时直线的方程为12x−5y+53=0.综上，切线的方程为x=−4或12x−5y+53=0.20．（8分）（2021·吉林高二开学考试）已知圆C：x2+y2−2y−2=0，直线l(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于不同的两点A,B，求弦AB的中点M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若|AP||PB|=2，求直线【解题思路】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.【解答过程】（1）因为直线l：mx−y+1+m=0过定点(−1,1)，又(−1)2+12−2×1−2=−2<0所以直线l与圆C相交；（2）设M(x,y)，当M与P不重合，即x≠−1时，连接CM，CP，则CM⊥MP，根据勾股定理|CM|2+|MP|2=|CP|2．则x2+(y−1)2+(x+1)2+(y−1)2（3）设A(x1,y1)，所以−1−x1=2(x又{mx−y+1+m=0,x2+(y−1)所以x1+x2=−由①②③联立，解得m=±3所以直线l的方程为3x−y+1+3=021．（8分）（2021·福建三明·高二期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向且距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30∘方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45【解题思路】（1）由题意可求A(40,40)