数学物理方程反问题讲稿课件

数学物理方程反问题

麦宏晏2023/12/62什么是反问题应用背景具体实例什么是反问题耳朵能“听出”鼓的形状吗？

仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓的形状？问题最早由丹麦著名物理学家Lorentz在1910年的一次讲演中提出，它的背景来自于射线理论。一个物体的音色可以由一串谱来确定，它们在物理上对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已知的谱来确定一个鼓面的形状。经过数学家们的演算给出了否定的答案。但是，从鼓声中我们确实能得到相当多的形状信息：我们能够“听”出鼓的面积有多大、周边有多长甚至鼓的内部是否有洞、有几个洞。

2023/12/64什么是反问题？反问题是相对于正问题而言的。以前面所举的“盲人听鼓”反问题为例，它的正问题就是要在已知鼓的形状的条件下，研究其发声规律，这在数学物理历史上已经研究在先，而且比较成熟。此时鼓的所有谱都能通过一套算法利用计算机算出来。我们可以这样理解：世间的事物或现象之间往往存在着一定的自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。所谓正问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。反问题则是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。

2023/12/65什么是反问题？尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。我们下面具体介绍一些常见的反问题应用背景，希望大家能够对它有一个概括的了解。定向设计物性探测扫描成像逆时反演及其他应用背景2023/12/67

工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种特殊轨线的摆，使它严格满足等时性？Huygens于1673年提出并解决了这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为

当代工业产品的极大丰富为反问题的研究提供了广阔的用武之地，许多工业设计问题是相当困难的，需要用到高深的数学手段。例如，国外的光学仪器厂家提出：能否设计一种光栅，利用其非线性衍射效应产生出高能量的单色射线？这就是一

个定向设计问题，它要求数学家利用推导和计算手段构造出所需要的曲面（光栅）形状。定向设计的应用相当广泛。比如说：一个城市的某条街道车流量很大，不堪负荷，怎样通过铺设新的路段来进行分流？在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰炸效果？这类问题往往涉及各种事物的组合、分配布局，要求在各种相互制约、相互影响的因素中寻找出最佳方案，为领导的决策提供依据。2023/12/69

给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的Sondhi和Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管内的截面半径。

这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地”才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率极低（只能探测到井附近的局部信息）。一个可行的办法是通过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。可以想象，地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息（地层的密度、声速等等），利用数学手段将这些信息提取出来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是历经三千余年的变迁，已经难以确认了。科技工作者在地表利用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物作出了贡献。2023/12/611

如果把下落的物体用扫描射线替代，从另一个角度来看它为我们提供了从射线的走时响应反推其传播轨迹的方法，将不同轨迹射线的反演结果组合起来就能得到传播介质的内部形态信息。本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法解决了在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内部形貌的方法。据此Mohobovic（1909年）发现了地壳与地幔之间的断层。现在，利用地震波的接收信号通过成像来考察地层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。例如，通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而在已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形状。

成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是X光射线自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理，来重建体内的结构信息，生成透视图象供医疗诊断参考，其核心算法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。2023/12/613

我们经常遇到这样的问题：知道了某个事物的现在状态，希望了解它的过去，即通常所说的“恢复历史的本来面目。这往往可以提为逆时反问题。它所研究的对象一般要满足某种类型的演化方程或数学模式。例如，通过远程测得的某次爆炸产生的辐射波，如何确定爆炸的位置和初始能量？这是波动方程的逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能否确定过去某个时间的温度状态？这就成为热传导方程的逆时反问题。

反问题的研究起源于数理方程，反问题的研究也促进了人们对世界的识。一个著名的例子是反散射方法在孤立子发现中的作用：反散射问题是量子物理学研究中的一个问题，通过谱和谱函数在无穷远处的散射性态反推一维Schordinger方程的位势数。它由前苏联数学家Gelfand和Levitan（1955年）一举解决。在此基础上引发了一系列突破性进展，最为著名的是利用这个结果Lax（1968年）得到了关于KDV方程的巧妙解法，从而发现了非线性方程中的孤立子现象。这是近代非线性科学研究的重要事件。具体实例例1金融学中的一个简单计息反问题

在通常利率的连续复利率模型中，投资变化的百分率是一个给定的常利率，用微分方程表示为其中是时刻投资价值，由此导出价值的指数增长模型

在变化利率模型中，利率与时间有关，即，于是有

，给定与时间有关的利率和初值，求价值记录的问题称为正问题；另一方面，由价值记录求变化率的问题称为反问题。注意这里正问题的求解是积分运算，这是一个稳定的过程，而反问题的求解需要微分运算，是不稳定的。我们通常感兴趣的是反问题，如果已知价值记录的解析表达式，求是一个简单的微分运算，对时间进行离散，用差商代替导数，则用来近似，其中。直接从原始模型出发可以建立求反问题近似解的另一种2023/12/6162023/12/617方法。将方程两边在

上积分得到，利用梯形公式近似右端积分即得由此解出这里的问题中都假定利率和价值记录是严格正的函数。例2热传导问题

与外界存在热交换的物体表面温度不能及时达到热平衡，如果物体比外界热，热量从物体往外流出从而使物体冷却，这一现象最简单的模型是牛顿冷却定律，即表面温度的变化与物体表面和外界温度之差成比例，如果时刻物体的表面温度为，而外界温度为常数，由牛顿冷却定律得其中热交换系数为正常数，这是一个经典的指数衰减模型，确定表面温度的正问题有唯一解2023/12/619这个解依赖外界温度、初始温度和热交换系数三个参数。当然在适当时候表面温度观测值确定了识别参数、和的反问题的解。热是一种形式的能量，物体的热含量是物体分子动能的一种测量标准，温度计测量得的温度与物体分子的平均动能有关。物体的热含量不仅依赖于它的温度，而且依赖于它的质量，如3千克的铁球在给定的温度下，它的热能是相同温度的1千克的铁球的3倍。热还与材料的种类有关，1千克的棉花球在给定温度下，其热能比相同温度的1千克铁球的少。这一思想可描述为：其中是物体的温度，是它的质量，是物质的比热。2023/12/620我们讨论具有最简单几何形状的物体的内部温度：一个横截面积为单位面积的单位长度的棒子，并假设它正好处于轴的单位坐标上。假设棒子的质量密度和比热分别为和，并假设棒子的侧面是隔热的，所以温度空间上仅为单变量的函数。这样的棒子在上的点在时刻的温度函数为。考虑棒子上的一小段区域，这一薄层上的热量变化速度近似为，由能量守恒原理，这个量等于流入这一薄层的热量速度加上这一薄层单位时间内可能产生的热量。如果定义（时刻点）单位体积产生的热量为，那么单位时间内，横截面积为单位面积的薄层产生的热量近似为。热只能从的左侧或的右侧流入（或流出）这一薄层。最后，由傅立叶定律，通过表面的热流速度与表面上温度梯度的负数成比例。（这里的负号是因为热量是从热流向冷）。因此单位时间内通过表面流入薄层的净热流加上单位时间内部生成的热量，我们得到这一薄层中热量变化速度近似为由能量守恒原理，这与前面计算的比率相等，当区间收缩到点时这一模型变成这就是著名的傅立叶热方程。热方程的正问题包括给定边界条件，即端点的温度和初始温度分布及参数值，求解时刻所有点的温度，一般来说这些参数2023/12/6212023/12/622是时间、空间和温度的函数。我们研究识别和估计热模型中的分布参数，特别的，我们考虑由观测得到的棒子中点的温度变化过程，确定与时间有关的参数的问题练习：下面给出测量得到的不同时刻按牛顿定律冷却的物体表面温度，求解周围温度、初始温度和热交换系数。510157262542023/12/623例3线性代数中的反问题线性代数主要关注的是线性方程组解的存在性、唯一性和稳定性，线性代数的正问题指给定矩阵和一个维向量，求解维向量，而寻求满足的解的原因反问题受到更多的关注，还有一类识别反问题即确定矩阵使得对给定的输入-输出满足。首先考虑原因反问题，求解向量满足，这个问题的解存在当且仅当属于子空间，这一子空间就是所有的列向量的线性方程组合形成的的子空间。确定是否属于也就是解是否存在，寻找所有的解是通过高斯消去法来实现的。

2023/12/624唯一性问题是通过的零空间来解决的，高斯消去法是一个刻画零空间的有效手段。的解关于右端项的扰动的稳定性，可以用矩阵的条件数来量化。我们假设矩阵为可逆矩阵，我们想知道在怎样一个相对误差内会导致解的相对大的改变，假设是右端项的一个扰动，扰动的大小可以用范数来衡量，令是右端项为的解，那么所以可以得到如下的相对误差估计2023/12/625于是其中称为矩阵的条件数，因此条件数给出了由给定的右端项相对误差造成的解的相对误差的上界。对于大条件数的矩阵，即病态矩阵，右端相对小的扰动会引起解的相对大的变化，在这种意义下，病态线性方程组是不稳定的。考虑无解或有无穷多解的线性方程组。当不属于矩阵的值域时，无解。零空间、值域和转置之间的关系使得我们可以求它的一类广义解：最小二乘解，即解向量使得所有的中的范数达到最小。如果是最小二乘解，那么对于任意向量，函数2023/12/626在时达到最小值，由极值的必要条件得，所以对于所有的成立，也就是说如果是最小二乘解，那么

其中是的转置矩阵。相反的，如果，那么对于任何，2023/12/627即是最小二乘解。所有的最小二乘解就是对称问题的普通解，由于,这一对称问题总是有一个解。事实上,如果是最小二乘解，那么对于任意，也是最小二乘解，即最小二乘解的集合构成平行于零空间的超平面，因此如果有一个非平凡的零空间，那么有无限多个最小二乘解，其中有一个最小二乘解能够区别其它的解，即这一解与零空间正交，这样的最小二乘解至多只有一个。我们接受这一广义解的概念，那么每个线性系统都有唯一的广义解。下面考虑识别反问题，即给定关于的向量对确定矩阵的反问题。通过询问适当的观察输出的来识别黑箱，我们可以控制输入，安排他们为线性无关的，用一个矩阵表示输入，其中矩阵的每一列分别输入向量2023/12/628，记为，相应的输出向量可以用矩阵来表示。如果存在唯一的矩阵满足，那么称可以通过矩阵对来识别。考虑三种情况，首先是不可能的，因为向量组是线性无关的；第二种情况，那么是可逆的，是可识别的。第三种情况，在这种情况下存在一个向量与正交，令是矩阵，它的第一行是，其他行都是零向量，那么是的零矩阵，因此如果就有，此时从信息无法识别2023/12/629例4混合溶液的流动典型的正问题为给定一个初始浓度的溶液，以及溶液流入和流出的速度，计算将来时刻溶液的浓度。这里给出最简单的模型：已知容器的容积为，浓度为的溶液以一个给定速度流入，而这被充分搅和的溶液又以相同的速度从容器中排出。这一模型的建立仅仅依赖于速度的平衡，如果代表容器中时刻溶质的质量，那么随时间变化的速度就是溶液流入容器的速度和它流出的速度之差，因此或者可以给出容器中溶液浓度的微分方程2023/12/630这一微分方程与通过牛顿得到的冷却过程模型有相同的形式，有唯一的解其中是容器中溶液的初始浓度，给定参数，这一正问题的解给出了该溶液任意时刻的浓度。这一简单模型蕴藏了许多有趣的反问题，例如，假设容器是个有污染的地下水渗入的地下蓄水池，通过抽样这个蓄水池的溶液（通过预测的探测器），可以测量得到这一蓄水池任意时刻的液体浓度，这些测量结果可以用来反演这一模型中的参数，这一模型也可以推广，例如流出和流入的速度不同时，这个模型中2023/12/631体积就是一个依赖于时间的参数。反问题也可以这样提出，流速或流入液体的浓度是依赖于时间的。

练习：含有未知（常数）浓度的污染物质的地下水以一个未知（常数）速度渗入到一个容积为1000加仑的蓄水池中，这一被充分搅和的溶液以同样的速度向外渗漏，测量结果表明蓄水池中污染物质的初始浓度为，一天以后污染物浓度为，两天后为，求地下水中污染物质的浓度是多少？地下水渗入蓄水池的速度是多少？

2023/12/632例5利用万有引力寻宝考虑质量为的质点，位于单位深度的平静的河底，假定任何其他的重力源都是完全均匀的，从而由质点源产生的重力异常是唯一的重力影响源。确定河底的金块对河面单位质量质点的引力是一个正问题，牛顿万有引力定律认为该作用力等于两质点质量乘积的万有引力常数倍，再除以两质点距离的平方。我们考虑基于河底测得数据来确定质点质量和位置的反问题，测得的数据包括河面基准点到测量点的距离以及河底的金块产生的对河面处单位质量质点的引力的垂直分量的估计值（例如利用灵敏弹簧秤测得），

2023/12/633金块与测量仪器上单位质点的距离的平方为，（由毕达哥拉斯定理得出），且质量的乘积为。金块对河面处单位质量质点的引力的垂直分量为，由牛顿万有引力定律可表示为因为河水的深度为1，可见此关系式代入前式可得

上面的正问题是确定河底金块对河面处单位质量质点的引力的垂直分量，由上述方程可见正问题有唯一解。下面考虑通过在河底处的观测值来确定金块的质量和位置的反问题。首先将上述方程改写使得问题变得简单一些，定义两个新的变量

分别称为有效质量和有效垂直引力。显然的测量值唯一确定了，知道了就确定了于是有，现在反问题变成了如何确