衡水中学自用课件第三章导数应用-习题课

习题课

导数的应用第三章导数应用明目标知重点忆要点固基础探题型提能力内容索引01020304当堂测查疑缺会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次).明目标、知重点忆要点·固基础1.若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则(

)A.b≤2 B.b<2C.b≥2 D.b>2AB3.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(

)解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：答案C4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为(

)解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像.答案D5.若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的____________条件.解析对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(x)≤0.充分不必要探题型·提能力题型一函数与其导函数之间的关系例1

对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和的公式是________.解析由k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切线方程为y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2n，答案

2n＋1－2反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键.跟踪训练1如图，曲线y＝f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为

，则y与y′的关系满足(

)A.y＝y′B.y＝－y′C.y＝y′2D.y2＝y′答案D题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2

已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图像关于原点成中心对称.(1)求a，b的值；解∵函数f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，(2)求f(x)的单调区间及极值；解由(1)得f(x)＝x3－48x，∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－4<x<4，令f′(x)>0，得x<－4或x>4.∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值.解由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.反思与感悟(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间.(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练2已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；解y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，y|x＝1＝a＋b＝3，(2)求函数的极小值；解y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1，∴y极小值＝y|x＝0＝0.(3)求函数在[－1,1]的最值.解由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三导数的综合应用例3

已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；解f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立.即3x2－a≥0在R上恒成立.即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意.所以a的取值范围是(－∞，0].(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.解假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞).反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定.跟踪训练3

(1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是

，则实数a的值是多少？解f′(x)＝12x2－a，∴a＝3.(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在

上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？∴a≤(12x2)min＝0.当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0).∴a＝0符合题意.∴a≥(12x2)max＝3.当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0).因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.1.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(

)当堂测·查疑缺1234解析若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，答案C12342.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(

)1234解析若函数在给定区间上是增函数，则y＝f′(x)≥0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′(x)≤0.答案D12343.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有(

)A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a)1234∴f(x)g(b)>f(b)g(x).答案C12344.函数f(x)＝x3－

x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)<m，则实数m的取值范围是__________.解析f′(x)＝3x2－x－