清华大学静力学(十)

材料力学欢送学习张毅主编董桂花徐继忠潘立常副主编2006年6月第1章静力学根底第2章平面汇交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面一般力系第6章材料力学根底第8章剪切第9章扭转第5章空间力系重心第7章轴向拉伸和压缩材料力学第10章截面的几何性质第11章弯曲内力第12章弯曲应力第13章弯曲变形第15章组合变形的强度计算第14章应力状态理论和强度准那么第16章压杆稳定材料力学第10章截面的几何性质10.1静矩和形心10.2惯性矩与惯性积10.3平行移轴定理及组合截面惯性矩的计算10.4转轴定理主惯性轴主惯性矩10.5小结本章学习要求理解静矩、惯性矩、惯性积的概念；能够确定一般简单图形的形心位置，熟练计算图形对指定坐标轴的静矩和惯性矩。理解和掌握平行移轴定理，熟悉平行移轴定理中各项的意义；能够利用移轴公式计算常用的组合图形的惯性矩。了解转轴定理，理解形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念；能够计算一般图形的形心主惯性矩。10.1静矩和形心从任意物体(设面积为A中取微面积dA，如图10.1所示，其在图中所示的坐标系yoz中对应的坐标为，把乘积zdA及ydA分别称为微面积对于y轴和z轴的静矩。而对于整个图形而言，应计算其总和。即微面积dA与其到某一坐标轴距离的乘积在整个面积上的总和，称为图形对该轴的静矩(或面积矩)，用Sy和Sx表示。故有图10.1静矩与形心关系图(10.1)对于任一形状的截面图形，可通过积分关系建立静矩与形心坐标之间的关系由此可见：(1)截面对于某一轴的静矩假设等于零，那么该轴必通过截面的形心。(2)截面对于通过其形心的轴的静矩恒等于零。故公式(10.1)可改写为(10.3)(10.2)当截面由假设干个简单图形如矩形、圆形、三角形等组成时，这种截面称为组合截面。由于简单图形的面积及其形心位置均为，由面积矩的定义可知，截面各组成局部对于某一轴的静矩，可用下式表述设组合截面的形心坐标为yc、zc，那么有式中，Ai、yci、zci分别表示任一简单图形的面积及其形心在坐标系中的坐标；(10.5)(10.4)10.2惯性矩与惯性积图10.1所示的图形中，微面积dA与它到z轴(或y轴)距离平方的乘积在整个截面上的总和，称为截面对z轴(或y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示惯性矩Iz、Iy恒为正值，且不会等于零。(10.6)1.惯性矩2.惯性积截面上的微面积dA与它到y、z轴距离的乘积的总和，称为截面对y和z轴的惯性积，用Izy表示(10.7)惯性积的量纲也是[长度]4。它的值可能为正，可能为负，也可能为零。极惯性矩在扭转计算中已遇到过，它的定义是：截面上的微面积dA与它到坐标原点(也称极点)距离ρ平方的乘积在整个面积上的总和，称为截面的极惯性矩，记为Ip3.极惯性矩(10.8)极惯性矩的量纲是[长度]4，它的值恒为正。从图10.1中可以看到此式说明Ip、Iy、Iz之间的关系为：截面对任意两个相互垂直的轴的交点的极惯性矩，等于截面对该两轴惯性矩之和。代入式(10.8)后，可得10.3平行移轴定理及组合截面惯性矩的计算同一截面对不同坐标轴的惯性矩是不相同的，但相互之间存在一定的关系。1.平行移轴定理如图10.2所示，c为截面形心，yc和zc为形心轴，oz轴与zc轴相互平行，间距为a；y轴与yc轴相互平行，其间距为。相互平行的坐标轴间存在以下关系图10.2平行移轴图根据定义，截面图形A对形心轴yc及zc的惯性矩分别为(a)(b)式(10.9)--式(10.11)称为平行移轴定理，或平行移轴公式。对y、z轴的惯性矩分别为将(a)式代入(c)式中得(c)同理：即(10.9)(10.10)(10.11)由此可知：(1)截面对任意轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。由于面积为正值，a2及b2亦非负，因此，截面对形心轴的惯性矩是对所有与其平行的轴的惯性矩中的最小值。(2)截面对任意一对正交轴的惯性积，等于截面对与轴平行的一对正交形心轴的惯性积加上截面面积与两对轴之间距离的乘积。【例10.4】计算图10.3所示矩形截面对y与z轴的惯性矩Iy、Iz及惯性积Iyz。图10.3例10.4图解：矩形截面对形心轴yc与zc的惯性矩及惯性积分别为应用平行移轴公式可得组合图形是由假设干个简单图形组成，由惯性矩的定义可知，组合图形对某轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯性矩之和。由于各种简单截面对形心轴的惯性矩通常为，故利用平行移轴公式计算组合截面的惯性矩十分方便。2.组合截面惯性矩的计算图10.4所示一任意截面图形，它对于通过其上任意一点O的y、z两坐标轴的惯性矩Iy、Iz以及惯性积Iyz均为。假设这一对坐标轴绕O点旋转α角至y1、z1位置，那么该截面对于这两个新坐标轴y1、z1的惯性矩和惯性积分别为Iy1、Iz1和Iyz1，它们都可以用的Iy、Iz、Iyz和α角来表达。1.转轴定理10.4转轴定理主惯性轴主惯性矩图10.4坐标轴旋转关系图如图10.4所示截面内任意微面积dA在y1Oz1中的坐标与在yOz中的坐标之间存在如下关系根据定义截面对z1轴的惯性矩为利用三角形关系上式中整理可得(10.12)同理可得式(10.21)--式(10.14)称为惯性矩与惯性积的转轴公式。(10.13)比较式(10.12)和式(10.13)可得出如下关系(10.14)(10.15)(10.15)式说明截面对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常数。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩。这一对主惯性轴的交点与截面形心重合时就称为形心主惯性轴；截面对于这一对轴的惯性矩即称为形心主惯性矩。它们是在弯曲等问题的计算中所用到的截面的主要几何性质。2.形心主轴与形心主惯性矩为今后计算方便，可使用经简化后主惯性矩的计算公式对于任意形状截面的形心主惯矩计算可按下述步骤进行(1)确定截面形心位置。(2)建立一对通过形心的坐标轴并计算出截面对这对轴的惯性矩Iy、Iz和惯性积Iyz。(3)应用公式确定形心主轴的位置。(4)应用公式计算形心主惯矩。2．截面的几何性质和计算公式有：10.5小结1．截面的几何性质都是对确定的坐标系而言的。静矩和惯性矩是对一根坐标轴而言的；惯性积是对过一点的正交坐标系而言的；极惯性矩那么是对坐标原点而言的(1)静矩(3)惯性矩(2)形心坐标公式(4)惯性积(1)极惯性矩(3)形心主轴和形心主惯性矩(2)平行移轴公式3．惯性矩、极惯性矩的值恒为正；静矩、惯性积的值可能为正，可能为负，也有可能为零，其值与所选的坐标轴的位置有关。当轴通过形心时静矩一定为零；当轴为对称轴时惯性积一定为零。4．组合截面对形心轴的惯性矩的计算，是工程中常见的问题，也是本章的重点内容，计算过程中需要使用平行移轴公式(平行移轴定理)。应用时需注意其适用条件：其中的一对轴必须是形心轴。使用惯性积的平行移轴公式时，应注意截面形心在平移后的坐标系中的坐标值a、b的正负号。5．在计算各个几何量时，比照较复