第四章 数列（单元解读）（人教A版2019选择性必修第二册）

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高中数学选择性必修二第四章《数列》单元解读

一、总体设计数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题。因为数列是一类特殊的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用。此外，数学归纳法也是本章的学习内容，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法.通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养都将得到进一步提升。二、本章内容三、本章教学时间约需14课时本章教学约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：4.1数列的概念约2课时4.2等差数列约4课时4.3等比数列约4课时4.4＊数学归纳法约2课时小结约2课时四、本章知识网络五、本章重点

数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点.此外，等差数列、等比数列是两种“最基本”的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容.六、本章的难点1.从实例中抽象出数列的概念，这是因为直观上排列好的一列数与数列的数学定义之间存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象能力；2.等差数列的定义，这是因为学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，不熟悉刻回“等差”规律的语言；3.推导等差数列、等比数列的前八项和公式，这需要学生通过数学运算、逻辑推理等发现解决问题的途径；4.用等差数列、等比数列刻画数学中或现实中具有递推规律的事物，这需要学生具备一定的数学建模能力・七、本章学业要求能够结合具体实例，了解数列的概念，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这类函数的解析表达式，掌握通项公式与前n项和公式的关系.通过等差数列和等比数列的研究，探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，感受数列是一种特殊的函数，体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，体会数学的整体性.能运用数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用.重点提升数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养.八、核心知识评价要求主题知识单元核心知识评价要求个数承解理解掌握函数数列数列的概念数列的概念√

3数列的表示方法(表格、图象、通项公式)√

数列与函数的关系√

等差数列等差数列的概念

√

6等差数列的通项公式

√

等差数列的前n项和公式

√等差数列的通项公式与前n项和公式的关系

√

等差数列的简单应用

√等差数列与一次函数的关系√

等比数列等比数列的概念

√

6

等比数列的通项公式 等比数列的前n项和公式

√√等比数列的通项公式与前n项和公式的关系等比数列的简单应用√√等比数列与指数函数的关系√

总计个数56415九、思想方法评价要求思想方法评价要求函数与方程能根据数列与函数的关系将判断数列的单调性、求数列的通项、前n项和的最大（小）值等数列问题转化为函数问题，并能运用“基本量”的思想，建立关于首项、公差或公比等“基本量”的方程或方程组，将所研究的问题归结为依托“基本量”求解方程（组）的问题.特殊与一般能由一些具体事例归纳出等差数列、等比数列的概念；能在具体的情境中，根据数列的前几项猜想、归纳出数列的通项或求和公式，根据部分项的特征与性质归纳出数列一般项的特征与性质；能将研究特殊数列的思想和方法推广到一般数列中，并体会“归纳一猜想一验证”在数学发现中的重要作用；能用演绎的思想方法，将一般情形下的数列的性质、结论、方法应用到特定的数列之中.化归与转化在具体的情境中，能通过构造辅助数列、运用化归与换元等方法将一般的数列问题转化为等差数列、等比数列模型进行求解，能将与数列有关的运算求值问题转化为方程（组）的求解问题；能将有关数列求和的问题化归为用倒序相加法、错位相减法、分组求和法等方法求解的问题：能将数列单调性问题转化为不等式的问题或函数的一般单调性问题.十、关键能力评价要求关键能力评价要求抽象概括能在具体的情境中，抽象出数列、等差数列、等比数列等概念和性质；能利用从特殊到一般、从具体到抽象的方法概括出等差数列和等比数列的定义、通项公式与前n项和公式之间的逻辑关系；能够在熟悉的情境或新的情境中抽象出有关等差数列、等比数列的问题，并加以解决.推理论证能在具体的情境中，发现并抽象出等差数列、等比数列模型并能予以论证；能根据等差数列、等比数列的定义、公式和性质，合理运用待定系数法、倒序相加法、错位相减法等思想方法证明有关命题，并能有条理地表达；能用函数的思想方法论证数列的有关问题.运算求解能在关联的情境中，根据等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，正确列出关于首项、公差或公比等“基本量”的方程（组），通过解方程（组）求出数列的指定项、通项以及前n项和；能在较复杂的情境中，通过对等差数列、等比数列的性质以及一些常用的代数变换手段的合理运用，寻求简洁的解题途径，简化复杂的数式运算，求得运算结果.数学建模能在具体的问题情境中，抽象出具有递推规律事物的数学关系，建立等差数列、等比数列等简单数列模型，并能运用数列相关的概念、公式和性质，通过推理论证、运算求解解决问题；能灵活运用数列的有关知识解决与数列有关的探索性问题、存在性问题、开放性问题，以及数列与函'•数、方程、不等式等综合应用问题.十一、本章知识梳理1.一般地，我们把按照

排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的

.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第__项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第

项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用

表示.其中第1项也叫做

.2.数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为

.确定的顺序项12an首项{an}确定的顺序项1an首项{an}十一、本章知识梳理分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数

的数列无穷数列项数

的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都

它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都

它的前一项的数列有限无限大于小于十一、本章知识梳理按项的变化趋势常数列各项都

的数列周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项

它的前一项，有些项

它的前一项相等大于小于十一、本章知识梳理注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列.(2)同一个数可以在数列中重复出现.(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项.十一、本章知识梳理1.首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝

.2.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为

，在y轴上的截距为

；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加

.a1＋(n－1)dda1－dd十一、本章知识梳理注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式.(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.(3)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列.十一、本章知识梳理证明或判定等差数列的方法(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*).(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2).(3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d＝pn＋q(p，q为常数).注意点：证明{an}是等差数列常用定义法.十一、本章知识梳理(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an＋1－an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.十一、本章知识梳理1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；(2)an＝am＋

(m，n∈N*)；(3)d＝

(m，n∈N*，且m≠n).2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝

.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝

.(n－m)dap＋aq2ap十一、本章知识梳理注意点：(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝….十一、本章知识梳理等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝__________Sn＝_____________十一、本章知识梳理注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.十一、本章知识梳理等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________确定；当a1<0，d>0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________确定.大小十一、本章知识梳理(2)Sn＝

，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最

值；当d<0时，Sn有最

值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.注意点：(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1.(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.小大十一、本章知识梳理1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列

也是等差数列，且公差为

.3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).十一、本章知识梳理4.项的个数的“奇偶”性质：十一、本章知识梳理等比数列的概念一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的

一项的

都等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q表示(显然q≠0).2前比同一个公比十一、本章知识梳理注意点：(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.(3)比必须是同一个常数.(4)等比数列中任意一项都不能为0.(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.十一、本章知识梳理a1qn－1qan－1an＋1十一、本章知识梳理注意点：(1)证明{an}为等比数列常用定义法.十一、本章知识梳理1.等比数列通项公式的推广和变形an＝

.2.设数列{an}为等比数列，则：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则

.(2)若m，p，n成等差数列，则

成等比数列.amqn－mak·al＝am·anam，ap，an十一、本章知识梳理注意点：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….十一、本章知识梳理等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一：Sn＝_______________公式二：Sn＝_______________十一、本章知识梳理注意点：(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论.十一、本章知识梳理1.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：十一、本章知识梳理2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋

(n，m∈N*).3.数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，

仍构成等比数列.注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.qnSmS3n