2024届中考数学压轴题攻略（湘教版）专题05 三角形的三边、高线、中线及角平分线压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题05三角形的三边、高线、中线及角平分线压轴题五种模型全攻略考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线典型例题典型例题考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；而B选项中，用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（

）A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（

）．A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，11 D．6，3，3【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．10，7，3【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．【详解】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中，三条边长分别为3和6，第三边长为奇数，那么第三边的长是(

)A．5或7 B．7或9 C．3或5 D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6，所以6-3＜第三边＜6+3，所以3＜第三边＜9，因为第三边长为奇数，∴第三边的长为5或7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为，，，，即．为正整数，，，，，，即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中，是的高的图形是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（

）A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，在直角三角形ABC中，，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点C到AB的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C到AB的距离．【详解】解：∵在直角三角形ABC中，，∴，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴，∴CD=，故答案为：．【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当时，有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解的最小值．【详解】解：当时，有最小值，，，，，，即，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的点位置是解题的关键．考点四三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】解：BD是的中线，即点D是线段AC的中点，，，的周长为12，，即，解得：，，则的周长是．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在中，边上的中线将分成的两个新三角形的周长差为，与的和为，则的长为________．【答案】或【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长差是与的差或与的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∵是边上的中线，∴，∵中线将分成的两个新三角形的周长差为，∴或，∴或者，∵与的和为，∴，∴或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC=16，则S1－S2的值为_________．【答案】【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝16，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝16，∴S△ABE＝S△ABC＝8．∵AD＝2BD，S△ABC＝16，∴S△BCD＝S△ABC＝，∵S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝，故答案为．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EFBC于点F．若，BD4，则EF长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD；所以S△BDE=S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，∴S△ABD=S△ABC=12，同理，BE是△ABD的中线，，∵S△BDE=BD•EF，∴BD•EF=6，即∴EF=3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．考点五三角形的角平分线例题：（2022·全国·八年级）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（

）①；②；③；④A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∠CAB=90°，AD是高，可得∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，又因为BE是角平分线，可得∠ABE=∠DBE，故能得到∠AEG=∠DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；③∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，可得∠EAG=∠DBA，因为∠DBA=2∠EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∵∠CAB=90°，AD是高，∴∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，∵BE是角平分线，∴∠ABE=∠DBE，∴∠AEG=∠DGB，∵∠DGB=∠AGE，∴∠AEG=∠AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；③∵∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EAG=∠DBA，∵∠DBA=2∠EBC，∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（

）A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D、∵S△AEB＝×AE×BC，S△EDB＝×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（

）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF【答案】C【解析】【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）是的三条中线，则______，______，______．（2）如图（2）是的三条角平分线，则______，______，______．【答案】

或

【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E、F、D分别是AC、AB、BC上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∵CF是AB边上的中线，∴AB＝2AF＝2BF；∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝AC，（2）∵AD是的角平分线，∴，∵BE是的角平分线，∴，∵CF是的角平分线，∴．故答案为：或；；AC；；；【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．课后训练课后训练一、选择题1．（重庆市黔江区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）以下数据分别是根小木棒的长度．用这根小木棒的长度为边不能搭成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．【详解】解：A、因为，所以这根小木棒的长度为边能搭成三角形，故本选项不符合题意；B、因为，所以这根小木棒的长度为边能搭成三角形，故本选项不符合题意；C、因为，所以这根小木棒的长度为边不能搭成三角形，故本选项符合题意；D、因为，所以这根小木棒的长度为边能搭成三角形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是（

）A．对顶角相等 B．垂线段最短C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性，故选C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大．3．（2022·全国·八年级专题练习）用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角形的分类，即可求解．【详解】解：三角形按边可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形），∴集合正确的是D．故选：D【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形）是解题的关键．4．（2022·江苏·吕良中学七年级阶段练习）如图，画ΔABC一边BC上的高，下列画法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．【详解】解：在中，画出边上的高，即是过点作边的垂线段，下图符合条件：正确的是C，符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了作图基本作图，三角形的高，解题的关键是要注意高的作法．5．（2022·安徽·砀山铁路中学七年级期末）已知在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且，则的值为（）A．2cm2 B．1.5cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm2【答案】B【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．【详解】解：∵点D为BC的中点，∴△ABD和△ACD的面积相等都等于，∵E为AD的中点，∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，且都等于，．∵点F为CE的中点，∴．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解答关键．二、填空题6．（2022·福建泉州·七年级期末）一个等腰三角形的两边分别为5、2．则它的周长是__________．【答案】12【分析】根据题意，等腰三角形的两边分别为5、2，可分两种情况讨论：①腰为2，底为5；②腰为5，底为2去分析，再根据三角形三边关系，解答即可．【详解】解：∵等腰三角形的两边分别为5、2，∴①当腰为2，5为底时，此时三边分别为2、2、5，∵2＋2＜5，不符合三角形三边关系，则三角形不存在；②当腰为5，2为底时，此时三边分别为5、5、2，符合三角形三边关系，则三角形存在，∴三角形周长为：5＋5＋2＝12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．7．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校七年级期末）一个三角形三边长分别为m，7，2，则偶数m可能是________．【答案】6或8##8或6【分析】利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而求解．【详解】解：∵一个三角形三边长分别为m，7，2，∴，即，∵m是偶数，∴m可能是6或8，故答案为：6或8．【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．8．（2022·全国·八年级专题练习）工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是_____________．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性，即可求解．【详解】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题主要考查了三角形，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．9．（2022·江苏·靖江市滨江学校七年级阶段练习）如图，中，，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点．则=___．【答案】115°##115度【分析】由题意利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线定义求出度数，再利用内角和定理求出所求角度数即可．【详解】解：∵在中，，∴，∵与的平分线交于点O，∴，，∴，∴．故答案为：115°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、解平分线的定义．熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键．10．（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，是的中线，，，和的周长的差是______．【答案】【分析】根据三角形中线的定义可得，然后求出和的周长差，代入数据进行计算即可得解．【详解】解：是的中线，，和的周长差，，，，，和的周长差．答：和的周长差为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，熟记概念并求出和的周长差是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；（2）如图所示：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．(1)如图，当AC＝10cm时，求BD的长．(2)若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？【答案】(1)4cm(2)不能，见解析【分析】（1）先根据AB和AC的关系算出AB的长度，然后根据周长计算出BC，再利用中线算出BD即可；（2）先求出AB和BC的长度，发现不能构成三角形，因此不能求出DC的长．（1）解：（1）∵，AC＝10cm，∴AB＝15cm．又∵△ABC的周长是33cm，即∴∵AD是BC边上的中线，∴．（2）（2）不能，理由如下：∵，AC＝12cm，∴AB＝18cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝3cm．∵AC+BC＝15cm＜AB＝18cm，∴不能构成三角形ABC，∴不能求出DC的长．【点睛】本题主要考查中线的性质，三角形的三边关系，根据条件计算出BC的长度是解题的关键．第二问容易忽略三角形的三边关系，这是易错点．13．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，AD为的中线，点E在AD上，AE=2ED．(1)当，时，求的度数；(2)若的面积为30，求的面积．【答案】(1)(2)5【分析】（1）根据三角形外角和定理计算即可．（2）根据三角形的面积的性质计算即可．（1）是的外角，=15°+25°．的度数为．（2）因为AD为的中线，AE=2ED，所以，，因为的面积为30，所以．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握中线的性