江西省清江重点中学2023-2024学年高二上学期11月期中测试数学试题（含答案）

一、单选题（每题5分，共40分）1．设集合，，若，则（

）A． B．3 C． D．52．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．4．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．5．已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（）A．－2 B．2C．－5 D．56．已知点，若直线，则的值为（）A．1或 B．或C．或3 D．3或7．已知，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（每题5分，共20分）9．在下列四个命题中，正确的是（

）．A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大10．已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（

）A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上11．已知，则下列说法正确的是（

）A．z在复平面内对应的点的坐标为B．C．z在复平面内对应的点与点关于原点对称D．12．已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与另一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为（

）A． B． C． D．三、填空题（共20分）13．.14．函数的定义域为.15．已知的面积为，求AC边的长为.16．已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是.四、解答题（共70分）17．已知直线l的方程是.(1)求直线l的斜率和倾斜角；(2)求过点且与直线l平行的直线的方程.18．已知复数（，i为虚数单位）．(1)若为纯虚数，求实数a的值；(2)若，且复数所对应的点位于第四象限，求a的取值范围．19．已知的三内角所对的边分别是，向量，且．(1)求角的大小；(2)若，求三角形周长的取值范围．20．如图，已知四棱锥中，平面，，，，为中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.21．夜幕降临，华灯初上，丰富多元的夜间经济，通过夜间商业和市场，更好满足了民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富了购物体验和休闲业态．打造夜间经济，也是打造城市品牌、促进产业融合、推动消费升级的新引擎．为不断创优夜间经济发展环境，近朋，某市商务局对某热门夜市开展“服务满意度大调查”，随机邀请了100名游客填写调查问卷，对夜市服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中为非常不满意，为不满意，为一般，为基本满意，为非常满意，为完美．

(1)求的值及估计分位数：(2)调查人员为了解游客对夜市服务的具体意见，对评分不足60分的调查问卷抽取2份进行细致分析，求恰好为非常不满意和不满意各一份的概率．22．已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.参考答案1．C因为，所以，则，即．故选：C2．A因为角的终边经过点，所以，所以.故选：A3．D因为，所以，因为，所以.故选：D4．A在三棱锥中，平面，，且，将三棱锥补成正方体，如下图所示：则正方体的外接球直径为，所以，，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.5．B令x＝0，则y＝2，所以直线2x－5y＋10＝0在y轴上的截距是2.故选：B6．A∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行.∵，则CD与x轴不垂直，∴，即.当AB与x轴垂直时，，解得，此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意；当AB与x轴不垂直时，，，∵，∴，即，解得.综上，m的值为或，故选：A.7．C因为直线过定点，直线过定点，且，所以直线与的交点的轨迹是以，为直径端点的圆，除去，所以点的轨迹方程为：，设其圆心为，半径，若点满足，设，可得，化简整理得，，设其圆心为，半径，由题存在点满足，即圆与圆有公共点即可，由于点的轨迹为圆除去点，所以得，即，所以.故选：C.8．A由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点，由得，所以或，当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件；当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要，即，即，解得，所以.故选：A9．AC对于A，当时，其斜率，所以A正确；对于B，若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为，所以B错误；对于C，根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以C正确；对于D，直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D错误；故选：AC.10．ACA选项，变形为，故直线m斜率为，A正确；B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误；C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确；D选项，当时，，故点在直线m上，D错误.故选：AC11．BCD由题可得，即在复平面内对应的点的坐标为，与点关于原点对称，A错误，C正确；，B正确；，D正确.故选：BCD12．AC不妨设的一条渐近线的方程为，则直线的斜率为，则：．设，联立直线的方程与，，则，可得．由，则，得点的纵坐标为，因为，所以．因为，所以或．故选：AC13．.故答案为：14．函数的定义域满足：，解得且.故答案为：.15．如图，设点C的坐标为，因为，则B点坐标是，可得，又因为，则，解得，且，则，解得，可知C点坐标为，则，所以.故AC边的长为.故答案为：.16．由题意可得，三角形ABC的面积为，由于直线与x轴的交点为，由直线将分割为面积相等的两部分，可得，故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，求得.②若点M在点O和点A之间，如图：此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得，求得，故有.③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得.设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即，即，化简可得，由于此时，所以，两边开方可得，所以，故有.综上可得b的取值范围应是.故答案为：.17．(1)斜率为，倾斜角是60°(2)（1）已知直线l：，所以直线l的斜率，倾斜角是.（2）过点且与直线l平行的直线的斜率是，所求直线方程为：，即.18．(1)1.(2)（1）因为复数，则又为纯虚数，所以，解得，（2）因为由复数所对应的点位于第四象限，可得:，解得，所以的范围为.19．(1)(2)（1）由已知，且，，由正弦定理得，，即，，；（2）由余弦定理，得，当且仅当时取等号．，故，又，∴的取值范围是，所以周长的取值范围是.20．(1)证明见解析(2)（1）

取中点，连接，因为分别为的中点，所以，，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，，因为平面，平面，所以∥平面.（2）过点作于点，连接，因为，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.21．(1)；分位数为.(2)（1）由，解得；由低于90分的频率为，则分位数在内，设样板数据的分位数约为分，则，解得,即分位数为.（2）非常不满意的游客有人，设编号为,不满意的游客有人，设编号为，则基本事件的总数有：工15种，事件“恰好为非常不满意和不满意