专题17应用二元一次方程组鸡兔同笼（1个知识点3种题型1个中考考点）八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练

专题17应用二元一次方程组——鸡兔同笼（1个知识点3种题型1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.列二元一次方程组解实际问题的一般步骤（重点）【方法二】实例探索法题型1.数学文化与方程组的结合题型2.列二元一次方程组解图、表信息题【方法三】仿真实战法考法.列二元一次方程组解决古算题【方法四】成果评定法【学习目标】能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题。掌握列二元一次方程组解决实际问题的步骤，发展模型思想和应用意识。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.列二元一次方程组解实际问题的一般步骤（重点）1、实际问题与二元一次方程组要点：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【例1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（

）A．34本 B．22本 C．24本 D．32本【答案】B【分析】设人数为，图书为，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本列出方程组解答即可．【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：，解得：，故选：B【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式】（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可；（2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可．【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意，得：，解得，答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车．（2）解：设熟练工人和新工人各m，n人，由题意得：，整理得：，当时，；当时，；当时，；答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．【方法二】实例探索法题型1.数学文化与方程组的结合1．在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以5元1本的价格买了x本书，后来同学们进行促销活动，小明又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去43元，则可列方程组（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“第一次购买数量+第二次购买数量=15本、第一次购买花销+第二次购买花销=43元”列出方程组即可．【详解】解：根据题意，得．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．2．小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（

）A．15元 B．30元 C．45元 D．60元【答案】B【分析】设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；购买了5件该奥运纪念品，加快递费共付款510元；分别为等量关系列出方程组，求解即可．【详解】解：设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据题意，得，解得：，两次的快递费一共为2y=2×15=30(元),故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，列出方程组是解题的关键．题型2.列二元一次方程组解图、表信息题3．已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；(2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？【答案】(1)见解析(2)元；元【分析】（1）先作出点关于河流的对称点，然后连接，与河流的交点即为所求作的水站的位置，此时最小．（2）先求出每米水管的费用，然后列方程组求得，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，水站修在点处才能使所需的管道最短．（2）解：水管每米的费用为：（元），由题意得，，解得，∴村所付水管费用为（元），村所付水管费用为（元），【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键．4．某运动品牌对第一季度甲、乙两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示，已知一月份乙款运动鞋的销售量是甲款的，第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变（销售额＝销售单价×销售量）（1）求一月份乙款运动鞋的销售量．（2）求两款运动鞋的销售单价（单位：元）（3）请补全两个统计图．（4）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货，销售等方面提出一条建议．【答案】（1）双；（2）甲的单价为元，乙的单价为元；（3）补全图形见解析；（4）见解析．【分析】（1）根据有理数乘法的意义列出算式可求一月份乙款运动鞋的销售量．（2）设甲款运动鞋的销量单价为x元，乙款运动鞋的销量单价为y元，根据图形中给出的数据，列出方程组，再进行计算即可；（3）先求出三月份的总销售额，再补全两个统计图即可；（4）根据条形统计图和折线统计图所给出的数据，提出合理的建议即可．【详解】解：（1）50×＝30（双）．答：一月份乙款运动鞋的销售量是30双．（2）设甲款运动鞋的销量单价为x元，乙款运动鞋的销量单价为y元，根据题意得：，解得：．故甲款运动鞋的销量单价为300元，乙款运动鞋的销量单价为200元．（3）三月份的总销售额是：300×70+200×25＝26000（元），26000元＝2.6万元，如图所示：（4）建议多进甲款运动鞋，加强乙款运动鞋的销售（答案不唯一）．【点睛】此题考查的是条形统计图和折线统计图，结合条形统计图和折线统计图得出有用信息是解决此题的关键．5．世纪的法国数学家费马和笛卡尔在各自的研究中发现，代数方程式可以用图象直观地呈现出来；反之，几何图形也可以用代数方程式表示.他们的这个发现让数学领域发生了翻天覆地的变化．我们在六年级第二学期曾学过用代入法和加减法解二元一次方程组，学习了本章之后，是否能借助图象解二元一次方程组呢？阅读如下内容：我们已经学会通过列表、描点、连线作出一次函数的图象，它的图象是一条直线．如果将一次函数变形为，那么此时它是一个二元一次方程的形式，因此一次函数的图象也称为二元一次方程的图象，二元一次方程的图象是一条直线．(1)①在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程的图象与方程的图象．设直线与的公共点为点；②写出点的坐标为；③检验点的坐标是否是方程组的解．(2)借助图象求解下列方程组：①②(3)问题探究：直线与直线（，，，是常数且）的位置关系与系数的关系．①直线与可能有怎样的位置关系？②如果二元一次方程组（，，，均不为零）有唯一的解，系数应满足怎样的条件？【答案】(1)①见解析；②；③是，见解析(2)①方程组有无数解；②方程组无解(3)①直线与可能平行，可能相交，可能重合；②【分析】（1）①利用两点法画出图形标出点P即可；②直接根据图象写出坐标即可；③将点的坐标代入检验即可．（2）①画出图象，根据图象即可确定解的情况；②画出图象，根据图象即可确定解的情况．（3）①根据两条直线的位置关系的情况即可求解；②根据方程组有唯一解，则消元后未知数的系数不为0即可求解．【详解】（1）①作图如图所示．②．③当时，代入①得，代入②得；∴既是方程①的解，也是方程②的解；∴点的坐标是方程组的解．（2）①观察图象可知方程组有无数组解；②观察图象可知方程组无解；（3）①直线与可能平行，可能相交，可能重合；②，变形得：，得：，∵二元一次方程组（，，，均不为零）有唯一的解，∴，∴．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的一次函数与二元一次方程与二元一次方程组之间的关系，解题关键是理解题意，正确画出方程的图象，根据图象进行解答，本题涉及到了数形结合的思想方法．【方法三】仿真实战法考法.列二元一次方程组解决古算题1．（2023上·四川成都·八年级统考期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问：几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问：多久后甲、乙相逢?设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可将此题看做是工作效率类的应用题，根据效率×时间=总量列方程即可．【详解】解：由题可知，甲的效率为，乙的效率为，设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，根据题意列方程组：．故选：D．【点睛】此题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是找到数据之间的数量关系列方程．2．（2023上·湖北黄冈·八年级校联考开学考试）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有只，树有棵，由题意可列方程组（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设乌鸦有只，树有棵，利用“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”分别得出方程即可．【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组，，故选：B．【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022上·八年级单元测试）某校运动员分组训练，若每组6人，余3人；若每组7人，则缺5人；设运动员人数为人，组数为组，则列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据关键语句“若每组6人，余3人”可得方程；“若每组7人，则缺5人”可得方程，联立两个方程可得方程组．【详解】解：设运动员人数为人，组数为组，由题意得．故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．2．（2022上·云南·八年级统考期末）某班有学生人，准备分成个组开展活动，若每个小组人，则余人；若每个小组人，则差人，根据题意，列方程组为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意中的数量关系，分组中人数的不同列方程即可求解．【详解】解：有学生人，分成个组，∴每个小组人，则余人，列方程为；每个小组人，则差人，列方程为；∴方程组为，故选：．【点睛】本题主要考查方程组的运用，掌握“盈不足”问题中的数量关系，找出不变的量是解题的关键．3．（2021·甘肃兰州·统考一模）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50列方程组即可．【详解】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，得乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，得，故选：B．【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．4．（2022·北京大兴·统考二模）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22500000克，这些清毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分装大瓶x瓶，小瓶y瓶．依题意可列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，找出等量关系，列方程组．【详解】解：，，方程组为，故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系，列出方程组．5．（2022下·浙江温州·七年级校考期中）用如图的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有500张正方形纸板和1000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？若设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，则可列方程组（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据共有500张正方形纸板和1000张长方形纸板，列方程组求解．【详解】解：根据题意，则，故选：B【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．6．（2022上·全国·八年级专题练习）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等），做成如图2所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板180张，长方形纸板340张，刚好全部用完若设能做成x个A型盒子y个B型盒子则以下列出的方程组中正确的为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据无盖纸盒的长方形和正方形纸板关系得到方程组即可．【详解】解：因为能做成x个A型盒子，y个B型盒子，根据A种长方体形状的无盖纸盒需要1个正方形、4个长方形，B种长方体形状的无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，正方形和纸板180张，长方形纸板340张，刚好全部用完，所以可以列出方程组：．故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找到等量关系列出方程．7．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺．设竿长为x尺，绳索长为y尺，则符合题意的方程组是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺列方程．【详解】解：设竿长为x尺，绳索长为y尺，∵用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；∴∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺，∴，故选：B．【点睛】此题考查古代问题与二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．8．（2022上·全国·八年级专题练习）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别列出方程即可得出答案．【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．故选：D．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系是解题关键．9．（2023上·江西萍乡·八年级统考期末）《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木长，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木长（

）尺？A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意中的等量关系，列二元一次方程组，求解即可．【详解】设长木长尺，绳子长尺，根据题意得：，解得：，则长木长尺，故选：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．10．（2023上·四川绵阳·八年级校联考开学考试）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是（

）①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】观察图形可知，A型纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，B型纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，设A型盒子个数为x个，可得A型纸盒需要长方形纸板的数量和B型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对①进行判断；设B型盒中正方形纸板的个数为m个，可得B型纸盒需要长方形纸板的数量和A型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对②进行判断；设制作A型盒子a个，B型盒子b个，根据长方形纸板360张，正方形纸板120张，可得出方程组，解之即可得出a，b值，进而可对③④进行判断．【详解】解：设A型盒子个数为x个，则A型盒子需要长方形纸板张，正方形纸板x张，∵B型纸盒需要2个正方形纸板，∴可制作B型纸盒的数量为个，需要长方形纸板张，∴，故①正确；设B型盒中正方形纸板的个数为m个，则B型纸盒有个，需要长方形纸板张，A型盒子有个，∴，故②正确；设制作A型盒子a个，B型盒子b个，则，解得，∴A型盒子有72个，B型纸盒有24个，∴B型纸盒中正方形纸板48个，故③④正确；故正确的个数有4个．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及二元一次方程组的应用，找准等关系，正确列出一元一次方程(或二元一次方程组)是解题的关键．二、填空题11．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”根据题意可列方程组为．【答案】【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．12．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为．【答案】67【分析】设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可．【详解】解：设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，由题意，得：，解得：；∴到云水涧旅游的人数为；故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键．13．（2019上·广东茂名·八年级统考期末）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，则可以列方程组．【答案】【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．【详解】解：设大、小和尚各有，人，则可以列方程组：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．14．（2022上·八年级单元测试）某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得．【答案】【分析】根据车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），即可列出二元一次方程组．【详解】解：设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意，得．故答案是：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键．15．（2022上·全国·八年级专题练习）在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各只？【答案】0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84【分析】设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为自然数，即可求出结论．【详解】解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡，依题意得：，∴．又∵x，y，均为自然数，∴或或或，∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只．故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．16．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位的和等于十位与百位的和，那么称这个数为“镜面数”，将一个“镜面数”个位与千位两个数位对调后得到一个新的四位数，将它的十位与百位两个数位对调后得到另一个新四位数，记F（m）＝．例如，对调个位与千位上的数字得到，对调十位与百位上的数字得到，这两个四位数的和为，所以，若s，t都是“镜面数”，其中（都是正整数），规定：，当时，k的最大值为．【答案】【分析】根据定义得到，，由可知当取最大值，取最小值时，有最大值，当时，取最大值，此时，又由，得到，即可得到答案．【详解】解：，，，，，，，，，，由，可知当取最大值，取最小值时，有最大值，当时，取最大值，此时，，，即，则，都是正整数，，∴只有当时，上式成立，综上可知，k的最大值为，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程和列代数式的应用，读懂题意和准确计算是解题的关键．17．（2024上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为岁，乙的年龄为岁．【答案】2821【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，由题意得：，解得：，即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，故答案为：28，21．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．18．（2023上·河北石家庄·八年级校考开学考试）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制作盒身16个或者盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用张制作盒身，张制作盒底，能使盒身和盒底恰好配套．【答案】2016【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可．【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意，得，解得，故答案为：20，16．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．三、解答题19．（2022上·江西吉安·八年级统考期末）疫情防控常态化后，核酸检测进入校园．某校一次核酸检测时，发现操场上恰有100个同学排成甲、乙两队，且甲队人数是乙队的2倍多7人，求甲、乙两队的学生数．【答案】甲队学生有69人，乙队学生有31人【分析】设甲队学生有x人，乙队学生有y人，根据题意列出二元一次方程组即可求解．【详解】设甲队学生有x人，乙队学生有y人，根据题意得：解得

答：甲队学生有69人，乙队学生有31人．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出二元一次方程组是解题的关键．20．（2023上·四川雅安·八年级统考期末）今年月，某城市受疫情影响，为了人民健康采取了一系列措施，某公司安排大、小货车共辆，分别从两地运送吨物资到该城市，支援抗击疫情，每辆大货车装吨物资，每辆小货车装吨物资，这辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表：目的地车型地（元/辆）地（元/辆）大货车小货车要安排上述装好物资的辆货车中的辆从地出发，其余从地出发．(1)这辆货车中，若大货车辆、小货车辆，请求出与的值．(2)若从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆）这辆货车的总运费为元，求总运费的最小值．【答案】(1)大货车有辆，小货车有辆(2)总运费最小值为元【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）根据调配问题，设从地出发的大货车有辆，分别用含的式子表示出从地出发的小火熬，从地出发的大货车，小货车的数量，根据数量关系列方程即可求解．【详解】（1）解：设大货车有辆、小货车有辆，由题意得：，解得：，∴大货车有辆，小货车有辆．（2）解：设从地出发的大货车有辆，则从地出发的小货车有辆，从地出发的大货车有辆，从地出发的小货车有辆，由题意得：，∴随的增大而增大，∵从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆），大货车一共辆，∴，∴当时，有最小值，此时，∴总运费最小值为元．【点睛】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的综合，理解题意，列方程求解是解题的关键．21．（2023下·山东威海·八年级统考期中）某企业为甲、乙两所学校捐赠图书共1600册，已知捐给甲校的图书册数比捐给乙校的图书册数的2倍少200册，求该企业捐给甲、乙两所学校的图书各多少册．【答案】企业捐给甲、乙两所学校的图书分别为1000册、600册【分析】运用二元一次方程组解应用题即可．【详解】解：设该企业捐给甲、乙两所学校的图书分别为x册和y册，则，解得：，答：该企业捐给甲、乙两所学校的图书分别为1000册、600册．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，分析题意找准等量列方程是解题的关键．22．（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）重庆市求精中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元．(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？(2)为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的B种品牌足球不少于33个，请在所有可行方案中，给出花费最少的方案，并计算最少方案的费用？【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要60元，购买一个B种品牌的足球需要80元(2)购买A种足球17个，B种足球33个费用最少．最少费用为3481元【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用买A种足球费用买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵20元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，根据“总费用买A种足球费用买B种足球费用，以及B种足球不小于33个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论．【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，依题意得：，解得：．答：购买一个A种品牌的足球需要60元，购买一个B种品牌的足球需要80元．（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，依题意得：，解得：．故这次学校购买足球有三种方案：方案一：购买A种足球15个，B种足球35个；方案二：购买A种足球16个，B种足球34个；方案三：购买A种足球17个，B种足球33个．设总费用为w，则，，∴w随m的增大而减小，故当时，总费用最少，∴（元）．答：购买A种足球17个，B种足球33个费用最少．最少费用为3481元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键．23．（2023上·福建福州·九年级福州三牧中学校考开学考试）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊呢？【答案】甲有羊63只，乙有羊45只．【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得解．【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍”．∴；∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多”．∴．联立两方程组成方程组．解得．答：甲有羊63只，乙有羊45只．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．24．（2023上·陕西咸阳·八年