二函数及其应用课件

第二章基本初等函数、导数及其应用§2.1函数及其应用教材回扣夯实双基基础梳理1．函数的概念及表示函数定义给定两个____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中_______一个数x，在集合B中都存在__________的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数非空数集任何唯一确定函数记法记作____________或_______________函数的定义域在函数的定义中，x叫作自变量，_________________叫作函数的定义域函数的值域集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域函数的三要素_________、_______和_____________函数的表示法解析法、图像法和列表法f：A→By＝f(x)，x∈Ax的取值范围A定义域值域对应法则思考探究1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．3．映射的定义(1)两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有________的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的_______，记作f：x→y.唯一像(2)一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A中每一个元素在B中都有________的像与之对应；②A中的不同元素的像也不同；③B中的每一个元素都有原像．唯一思考探究2．映射与函数有什么区别？提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．4.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的_________的取值范围．确定函数定义域的原则：(1)当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；(2)当函数y＝f(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在________上投影所覆盖的实数的集合；自变量x轴(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定；(5)当函数y＝f(x)是由几部分数学式子构成时，函数的定义域就是使各部分式子都有意义的实数x的集合．5．函数的值域(1)函数的值域的定义：在函数y＝f(x)中与自变量x的值对应的y的值叫作__________，所有函数值的集合，叫作函数的值域．函数值(2)确定函数值域的原则：①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中所有y值组成的集合．②当函数y＝f(x)用图像给出时，函数的值域是指图像上每一个点的纵坐标组成的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由__________________确定．定义域和解析式(3)求函数值域的方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、几何法、不等式法、单调性法等．思考探究3．函数的值域和最值有何关系？提示：函数一定有值域，但不一定有最值，当函数有最值时，求出了函数的值域也就有了函数的最值，但只有函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．课前热身1．(2010·高考广东卷)函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是(

)A．(2，＋∞)

B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选B.由x－1>0，得x>1，所以定义域为(1，＋∞)．2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(

)A．①②③④ B．①②③C．②③

D．②解析：选C.由函数的概念可知，只有②③满足对任意一个“x”都有唯一的“y”与之对应．答案：－1考点探究讲练互动考点突破考点1求函数的定义域例1A．(－∞，－1)

B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)【答案】C【规律小结】

(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次方根中，被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．(2)已知f(x)的定义域，求f[φ(x)]的定义域的解法是：若f(x)的定义域为D，则f[φ(x)]的定义域是使φ(x)∈D有意义的x的集合；已知f[φ(x)]的定义域，求f(x)的定义域的解法是：若f[φ(x)]的定义域为D，则φ(x)在D上的取值范围(φ(x)的值域)即为f(x)的定义域．备选例题(教师用书独具)已知函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f(x2)的定义域．【解】∵f(x)的定义域为[0，4]，∴0≤x2≤4，∴－2≤x≤2.∴f(x2)的定义域为[－2，2]．例变式训练考点2求函数解析式

例2(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，(1)求f(x)的解析式；【解】

(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．【规律小结】函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式，此时要注意g(x)的范围；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；备选例题(教师用书独具)例已知某人在一年中1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图像、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．【解】列表：x123456y10002000400080001600032000图像：解析式：y＝1000·2x－1(x∈{1，2，3，4，5，6})．其中定义域为{1，2，3，4，5，6}，值域为{1000，2000，4000，8000，16000，32000}．对应法则f：x→y＝1000·2x－1.变式训练A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.由f(－4)＝f(0)，得b＝4，再由f(－2)＝－2，得c＝2，∴x>0时，显然x＝2是方程f(x)＝x的解；x≤0时，方程f(x)＝x即为x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，综上，方程f(x)＝x解的个数为3.考点3求函数值例3【答案】

C【名师点评】

(1)求f(g(x))类型的函数值时，遵循先内后外的原则；(2)对于分段函数的求值问题，依据条件准确地找出利用哪一段求解，不确定时要分类讨论．备选例题(教师用书独具)例【答案】

A求下列函数的值域：考点4求已知函数的值域例4【方法小结】

求函数值域的方法(1)分析观察法有的函数并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域．(2)配方法函数若能转化为形如：F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的函数，均可用配方法求值域，但要注意f(x)的取值范围．(4)利用函数的单调性法如果能确定函数在定义域内的单调性，则可利用单调性求出函数值域．(5)换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化成函数值容易确定的另一函数，从而求出原函数的值域．备选例题(教师用书独具)例∴Δ＝(－8)2－4(u－m)(u－n)≥0，即u2－(m＋n)u＋(mn－16)≤0，由1≤u≤9知，u的一元二次方程u2－(m＋n)u＋(mn－16)＝0的两根为1和9，由根与系数变式训练方法技巧1．函数有三种表示方法——列表法、图像法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法．方法感悟2．函数的定义域分为自然定义域和实际定义域两种．如果给定函数的解析式(不注明定义域)，其定义域应指的是该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；如果函数是由实际问题确定的，这时应根据自变量的实际意义来确定．3．分段函数的特点是在定义域的不同范围内函数的解析式是不相同的，也就是说函数值的变化规律是不相同的．因此研究分段函数问题时，要在各分段定义域内分别讨论．针对近几年的高考，分段函数问题要引起足够的重视．失误防范1．研究函数必须遵循“定义域优先”原则．2．判断对应是否为函数，即看A、B是否为“非空数集”和对“任意”x有“唯一”y与之对应．3．求实际问题的函数的定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对自变量的制约．4．求函数值域(最值)要首先考虑到定义域的制约作用．考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题来看，函数的表示法，分段函数，函数的定义域，函数的值域以及求函数值是高考的热点，题型既有选择题，填空题又有解答题，难度中等偏上．客观题主要考查解析法、图像法、分段函数、函数定义域求函数值以及对函数概念的理解．主观题考查较为全面，在考查函数概念、表示的基础上，又注重考查函数与方程，分类讨论等思想方法．而值域方面的主观题多与性质结合命题，一般有一定难度．预测2013年高考仍会考查函数定义域、函数概念、解析法、分段函数，而值域考查离不开导数，重点考查数形结合、函数与方程及逻辑理解能力．典例透析

例A．－3

B．－1

C．1

D．3【解析】由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋