对数与对数运算

对数的概念与运算假设2004年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8％，那么多少年后我国的国民生产总值是2004年时的2倍？解:假设经过x年国民生产总值为2004年时的2倍，根据题意有:思考？1.对数的概念

在指数函数ｙ＝ａ中，对于实数集Ｒ内的每一个值ｘ，在正实数集内都有唯一确定的值ｙ和它对应；x反之，对于正实数内的每一个确定的值ｙ，在Ｒ内都有唯一确定的值ｘ和它对应；幂指数ｘ，又叫做以ａ为底ｙ的对数．例如因为所以２是以４为底16的对数因为因为所以1是以４为底4的对数所以一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作：其中a叫做对数的底数，N叫做真数．读作：以a为底N的对数

注：指数式和对数式表示的是a,b,N三者之间的同一关系，只是表示形式不同而已。ab=NlogN=ba底数指数幂底数真数对数填空：1、2、２、b的范围是Ｒ３、Ｎ的范围是R+

，为什么会有这个结论？想想看：在对数式中，a，b，N的取值范围分别是什么？１、a的范围是a＞0，a≠1一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作其中a叫做对数的底数，N叫做真数．再来回顾一下定义：探究：

⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）⑵对任意且都有⑶对数恒等式设则则有N2.常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫做常用对数

为了方便，N的常用对数log10N简记为lgN。例如log102简记为lg2

log1012简记为lg12

(2)在科学技术中常常使用以一个无理数e=2.71828……为底数的对数，这样的对数叫做自然对数为了方便，N的自然对数logeN简记为：lnN。例如loge2简记为ln2

loge12简记为ln12例1将下列指数式改为对数式(1)24=16(2)3-3=(3)5a=20(4)()b=0.45解(1)log216=4(2)log3=-3(3)log520=a(4)log0.45=b例2把下列对数式改写成指数式例3求下列各式的值:(1)log264;(3)lg1;(5)lg0.001;2-306(6)log927.(2)log3.19___(4)lg100.-232____练习13.积、商幂的对数用表示下列各式：解：（2）

解：（1）

例4(1)log2(23×45)(2)log513练习2例5已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,求下列各式的值(结果保留四位小数):(1)lg36

(2)1.55620.4034例6

解法一：

解法二：

练习：12_____14.换底公式证明：例7求的值例8求证：证明：因为所以例9求证：……………….=3=4/3=13计算:例10解:练习1.计算下列各式的值.312——12——5.换底公式.小结4.对数的运算.3.常用对数和自然对数.2.指数式与对数式的关系和转化.1.对数的概念、表示.1．在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做________，记作________，即________．数a叫做对数的________，y叫做________，读作________．2．对数恒等式：________.3．对数logaN(a>0且a≠1)的性质：(1)________；(2)________；(3)________．4．以10为底的对数叫做________，即把log10N记作___．以a为底y的对数logayx＝logay(a>0，且a≠1)底数真数x等于以a为底y的对数零和负数没有对数，即N>01的对数为零，即loga1＝0底的对数等于1，即logaa＝1常用对数lgNlogaM＋logaNlogaN1＋logaN2＋…＋logaNk同一底数的各因数对数的和同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂指数乘以同一底数幂的底数的对数答案：1.以a为底y的对数logay

x＝logay(a>0，且a≠1)底数真数x等于以a为底y的对数3．零和负数没有对数，即N>0

1的对数为零，即loga1＝0底的对数等于1，即logaa＝14．常用对数lgN5．logaM＋logaN

logaN1＋logaN2＋…＋logaNk同一底数的各因数对数的和同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂指数乘以同一底数幂的底数的对数1．对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a>0，a≠1，N>0呢？对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．从定义不难发现无论是指数式ab＝N，还是对数式logaN＝b都反映的是a、b、N三数之间的关系．在对数符号logaN中，若a<0，则N为某些值时，logaN不存在，如log(－2)8不存在．若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不唯一．若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不唯一．因此规定a>0且a≠1.因为logaN＝b⇔ab＝N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N>0.题型一对数式中底数和真数的范围求解．【例1】对数式log(a－3)(7－a)＝b中，实数a的取值范围是(

)A．(－∞，7)

B．(3,7)C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)答案：C分析：根据对数的定义知，先看底数a－3>0，且a－3≠1，再看真数7－a>0，要使对数式有意义，必须以上条件都适合，因此，应该解以上不等式组成的不等式组．评析：求a的范围问题，往往转化为求不等式的解集．变式训练1求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围．分析：根据对数式的定义求解．评析：明确对数的定义是解题的关键．指数式与对数式是互逆的，二者能够相互转化，熟练掌握二者的互化，能够加深对指数式和对数式的理解，为后面学习对数函数打下坚实的基础．评析：(1)解题要注意寻找已知和所求之间的联系，寻找共同点和不同点，再化异为同，就能解决问题．本题的共同点是已知和所求中都是以3为底的对数，不同点是真数不同，因此，将真数30化为3×2×5，从而与已知产生联系．(2)已知条件中有a、b、c三个量，令人无所适从，这时，设3a＝4b＝6c＝k，则a、b、c都统一用一个量k来表示，则称k为基本量，用基本量法解题，能够减少未知量，并能很快地找出各个量之间的联系，能够迅速架起已知和未知的桥梁，能够集中目标，提高解题速度．分析：反复使用对数恒等式，即可得解．

分析：本题考查对数的运算性质的灵活运用．

答案：A分析：本题主要考查对数的运算性质，首先看真数和底数的取值范围，其次看符合哪条运算法则．解：①、②、⑤犯了相同的错误，歪曲了运算法则logaMn＝nlogaM.评析：初学对数的运算法则，最容易犯的错误就是对运算法则记忆不牢，从而引起混乱．避免出错的方法是：首先会用文字语言叙述运算法则，其次多做一些对数运算的习题，在实践中掌握运算法则，在实践中巩固和记忆运算法则．分析：利用对数的运算性质先进行化简，再代入即可．

分析：利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．评析：(1)在(1)题中，log32为最简形式，以此为目标，化简各项，使各项都统一到log32，必能合并同类项，求出结果．(2)在(2)题中，lg2到lg5都很简单，本题统一到用lg2或lg5表示都可以，但式子中出现了(lg2)2，因此，将各项都转化为用lg2表示较好．(3)当所给式子较繁琐时，可以先将各个式子分别化简．对于分式，要联想到能约分，要将分子、分母分别构造相同的因式；对于根式，要联想到能够构造完全平方式，以便消去根号．分析：(1)由于24,12,6都可分解成2和3的这两个质因子的积或幂，所以可运用对数运算性质直接将原式转化为含log23的式子再化简即可．或利用题中各对数均为同底的对数，可逆用运算性质将之化为一个对数的计算问题．(2)所含对数底数不同，因此可考虑用对数换底公式化为同底对数的运算．分析：①观察底数是否相同，若不同，换底求值；②对积、商、幂的公式应多练多用．变式训练6分析：用换底公式求解．整体探究解读题型一对数运算法则的应用【例1】若log567＝a，求：(1)log568；(2)log562.分析：对于第(1)题，已知与未知的对数式中，底数相同，真数不同，寻找真数的联系，8＝56÷7，第(1)问解决；第(2)问可以用第(1)问的结果，因此，找8与2的联系，2＝，问题获解．评析：在本题中，log5656＝1，起到了桥梁的作用，沟通了7与8的联系，可见，在解题中，要注意联想logaa＝1这个重要恒等式．题型二整体思想在解题中的应用分析：根据对数的性质，loga1＝0，logaa＝1，逐层消去对数符号．评析：本题要以整体的思想去解决，首先视中括号为一个整体．消去中括号后，再视小括号为一个整体，逐层深入，使问题得到解决．题型三对数性质及运算法则的应用【例3】已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求的值．分析：先根据对数的运算法则和对数的定义化简，找出x与y的关系，然后求值．解：∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y，或x＝4y.评析：在使用对数的运算性质中，要特别注意公式成立的前提条件，要注意等价变形，当变形不等价时，要将解方程后的结果根据条件进行取舍．题型四指数式和对数式的转化【例4】已知log23＝a,3b＝7，求log1256的值．分析：先将3b＝7转化为log37＝b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式，即可求值．解法一：∵log23＝a，∴2a＝3.又3b＝7，∴7＝(2a)b＝2ab.故56＝23＋ab.又12＝3×4＝2a·4＝2a＋2.评析：解法一借助指数变形来解；解法二与解法三是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型五对数恒等式的证明【例5】

(1)设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.(2)已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4471，lgx＝－2＋0.7781，求x.(2)解：∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，而0.3010＋0.4771＝0.7781，∴lgx＝－2＋lg2＋lg3，即lgx＝lg10－2＋lg6，