直线、平面平行与垂直的判定与性质

直线、平面平行与垂直的判定与性质·最新考纲·1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行或垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行或垂直关系的简单命题．·考向预测·考情分析：直线与平面以及平面与平面平行或垂直的判定和性质是高考的热点，常出现在解答题的第(1)问，难度中等．学科素养：通过直线、平面位置关系的判定及性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．必备知识—基础落实一、平行1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为______，______，______，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)因为______，______，______，所以l∥bl∥aa⊂αl⊄αl∥αl⊂β

[提醒]

应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可．2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)因为____，______，______，______，______，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(面面平行⇒线线平行)因为______，______，______，所以a∥ba∥βb∥β

a⊂αb⊂αα∥β

判断正误(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

)(4)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(

)(5)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，则直线a∥平面β.(

)×√×××1.直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的_____________都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)性质定理垂直于同一个平面的两条直线______(线面垂直⇒线线垂直)两条相交直线a，b⊂α

l⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α二、垂直2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的____，则这两个平面互相垂直(线面垂直⇒面面垂直)性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于______的直线垂直于另一个平面(面面垂直⇒线面垂直)垂线l⊂βl⊥α交线α⊥βl⊂β

l⊥a判断正误(1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.(

)(2)直线l不可能和两个相交平面都垂直．(

)(3)当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.(

)(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)×××√平行或垂直间的三种转化关系几个常用结论1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.垂直关系中的两个常用结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．走进高考1．[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(

)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案：B解析：α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.2．[2021·浙江卷]如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(

)

A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1答案：A

关键能力—考点突破1.已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是(

)A．①④B．②④C．①

D．④答案：A判断空间线、面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及其他几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象化、具体化．2.（线面平行）如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，过BC的平面交棱FD于点P，交棱FA于点Q.证明：PQ∥平面ABCD.证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC，又AD⊂平面ADF，BC⊄平面ADF，所以BC∥平面ADF，又BC⊂平面BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ，又PQ⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.反思感悟应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线，该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．3.（面面平行）[2022·河北衡水中学检测]如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB＝2，DE＝BF，BF∥DE，M为棱AE的中点，求证：平面BMD∥平面EFC.题3图题4图

4.(线面垂直)如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EA∥FC，且EA＝FC＝AB＝4，△EBD、△FBD都是正三角形，证明：CF⊥平面ABCD.3.（面面平行）[2022·河北衡水中学检测]如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF=DE，BF∥DE，M为棱AE的中点，求证：平面BMD∥平面EFC.

4.(线面垂直)如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EA∥FC，且EA＝FC＝AB＝4，△EBD、△FBD都是正三角形，证明：CF⊥平面ABCD.

反思感悟线面垂直的证明方法证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．思想流程如下：第一步：找相交直线在一个平面内找到两条相交直线第二步：证明线线垂直证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直第三步：证线面垂直利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直第四步：证线线垂直由线面垂直的性质得到线线垂直

5.（面面垂直）

反思感悟面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．[提醒]两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意“平面内的直线”．6.（综合题）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图，三棱柱ABC-

­A1B1C1，BC1⊥平面A1C1CA，四棱锥B­-A1C1