1.3一元二次方程的根与系数的关系（原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章一元二次方程》1.3一元二次方程的根与系数的关系知识点知识点一元二次方程的根与系数的关系◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．◆3、常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．题型一已知一元二次方程的一个根求另一根或字母的值题型一已知一元二次方程的一个根求另一根或字母的值【例题1】（2023•乌鲁木齐模拟）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一个根为1，则另一个根为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3解题技巧提炼当常数项未知时，利用两根的和求另一根；当一次项系数未知时，利用两根的积求另一根．【变式1-1】（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【变式1-2】关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1【变式1-3】（2023春•东莞市校级月考）如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-4】（2023•麒麟区校级模拟）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（）A．1和2 B．﹣1和2 C．2和﹣1 D．﹣2和﹣1【变式1-5】（2022秋•镇江期中）在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6+10，则方程的另一个根是【变式1-6】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．题型二利用根与系数的关系直接求代数式的值题型二利用根与系数的关系直接求代数式的值【例题2】（2023•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（）A．22 B．1 C．﹣3 D．解题技巧提炼（1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积.（2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值.【变式2-1】（2023•亭湖区校级三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是．【变式2-2】（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【变式2-3】（2023•巨野县三模）设方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是．【变式2-4】（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【变式2-5】（2023•江夏区校级模拟）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则m+5nmnA．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4题型三利用根与系数的关系变形求代数式的值题型三利用根与系数的关系变形求代数式的值【例题3】（2023•耿马县三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则1aA．-16 B．16 C．56解题技巧提炼（1）设法将求值式变形，使其含有两根之和与两根之积.（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.【变式3-1】（2023•鄄城县二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则x12+x【变式3-2】（2023•安陆市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是．【变式3-3】（2023•兴庆区校级一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则2m2+mn+4m的值为（）A．0 B．6 C．2 D．4【变式3-4】（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040【变式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求下列各式的值．（1）（x12-（2）x13x2+x1（3）x13+13x2（4）|x1﹣x2|．【变式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的两个实数根，求代数式m2+2m+3n的值．题型四利用根与系数的关系降次求代数式的值题型四利用根与系数的关系降次求代数式的值【例题4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为．解题技巧提炼（1）设法将求值式利用将次来变形，使其含有两根之和与两根之积.（2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值.【变式4-1】（2023•昆山市模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式x13-2x12+2023x【变式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，则代数式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的值为．【变式4-3】m3A．﹣3 B．-2 C．2 D．【变式4-4】（2023•武昌区一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，则a5+b5的值是（）A．9 B．10 C．11 D．22【变式4-5】若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．【变式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用：求一些代数式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．题型五由两根满足的关系式求字母的值题型五由两根满足的关系式求字母的值【例题5】（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16解题技巧提炼（1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2的值；（2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2的形式；（3）把x1+x2和x1x2的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．【变式5-1】（2023•青山区一模）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有两个实数根，且2x1﹣x2＝7，则a＝．【变式5-2】（2023•巴州区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=58，则实数【变式5-3】（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．【变式5-4】（2023•随州一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．【变式5-5】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．（1）求：m的取值范围；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【变式5-6】已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m-12（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．题型六已知两根求一元二次方程题型六已知两根求一元二次方程【例题六】（2022秋•固安县期末）已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（）A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1） B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6） C．12（x+2）（x+3）＝0 D．12（x﹣2）（x﹣3解题技巧提炼已知方程的两个根时，逆用根与系数的关系，还原一元二次方程，在还原过程中，主要符合问题．【变式6-1】以2和﹣7为根的一元二次方程是（）A．x2﹣x﹣9＝0 B．x2+5x+14＝0 C．x2﹣10x﹣14＝0 D．x2+5x﹣14＝0【变式6-2】（2022秋•昭阳区校级月考）已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0 B．x2﹣3x+4＝0 C．x2+3x﹣4＝0 D．x2+3x+4＝0【变式6-3】（2022秋•泰兴市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（）A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．以上都不对【变式6-4】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）A．y1＝2，y2＝﹣4 B．y1＝0，y2＝﹣4 C．y1＝3，y2＝﹣3 D．y1＝1，y2＝﹣3【变式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，甲看错了一次项系数，得出的两个根分别为﹣9，﹣1；乙看错了常数项，得出的两个根分别为8，2，则这个方程为．【变式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是．题型七根与系数的关系与新定义运算题型七根与系数的关系与新定义运算【例题7】（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为（）A．4 B．8 C．10 D．不存在解题技巧提炼根据新定义运算列出方程，然后再利用一元二次方程的根与系数的关系来解决问题.【变式7-1】（2022秋•石阡县月考）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则1mA．107 B．﹣3 C．17 D【变式7-2】（2022春•河口区期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+mn的值为【变式7-3】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2-ab(a≥b)b-aa(a＜b)例如3*1，因为3＞1，所以3*1＝32﹣3×1＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4＝0的两个根，则x1【变式7-4】对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b=a例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8（1）求（﹣5）*（﹣3）的值；（2）若x1，x2是元二次方程x2﹣5x+