第01讲 一元一次方程（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第01讲一元一次方程1.了解方程及一元一次方程的概念；2.理解等式的性质，并清除解方程是利用等式的性质解的原则；3.理解移项法则，会解形如ax+b=cx+d的方程，体会等式变形中的化归思想；4.通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想.知识点1一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值知识点2等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；知识点3含参一元一次方程1、次数含参：主要考察一元一次方程定义2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数【题型1方程及一元一次方程的定义】【典例1】在①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1﹣x＝x+1④x+2y＝3中方程有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】下列各式中，属于方程的是（）A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5【变式1-2】下列各式中，不是方程的是（）A．a＝0 B．2x+3 C．2x+1＝5 D．2（x+1）＝2x+2【变式1-3】下列①；②3x≠11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x﹣6；⑥5﹣4＝1，其中是方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例2】下列各式中，是一元一次方程的有（）（1）x+π＞3；（2）12﹣x；（3）2+3＝5x；（4）x﹣y＝3；（5）t＝1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】下列方程中，属于一元一次方程的是（）A．x﹣3＝y B．x2﹣1＝0 C． D．【变式2-2】下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣2y＝0 B． C．4x﹣3＝9 D．x2﹣2x＝1【变式2-3】下列各式中，是一元一次方程的是（）A．x﹣y＝2 B．3x+5＝8 C．2x﹣3 D．x2+x＝2【题型2利用一元一次方程的定义求值】【典例3】已知（k﹣1）x|k|+3＝0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（）A．﹣1 B． C． D．±1【变式3-1】若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【变式3-2】已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（）A．2 B．±1 C．﹣2 D．±2【变式3-3】已知（a﹣1）x|a﹣2|﹣6＝3是关于x的一元一次方程，则a＝（）A．3或1 B．1 C．3 D．0【题型3方程的解】【典例4】已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【变式4-1】下列方程的解是x＝2的方程是（）A．4x+8＝0 B．﹣x+＝0 C．x＝2 D．1﹣3x＝5【变式4-2】若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（）A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【变式4-3】若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【题型4列方程】【典例5】《孙子算经》中有道“共车”问题，其大致意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，那么可列方程为（）A．4（x﹣1）＝2x+8 B．4（x+1）＝2x+8 C．4（x+1）＝2x﹣8 D．4（x﹣1）＝2（x+1）+8【变式5-1】小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有x本图书，根据题意，可以列出方程：．【变式5-2】《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为．【变式5-3】某单位购买甲、乙两种纯净水共用了500元，其中甲种水每桶20元，乙种水每桶15元；乙种水比甲种水多买了10桶．设甲种水买了x桶，则可列方程：．【题型5利用等式的性质变形】【典例6】根据等式的性质，下列变形正确的是（）A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若ab＝bc，则a＝c C．若，则a＝b D．若，则3x+2x＝1【变式6-1】下列根据等式的性质变形不正确的是（）A．由x+2＝y+2，得到x＝y B．由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b C．由cx＝cy，得到x＝y D．由x＝y，得到＝【变式6-2】下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（）A．若a＝b，则a+5＝b﹣5 B．若a＝b，则2a＝3b C．若a+b＝2b，则a＝b D．若a＝b+2，则2a＝2b+2【变式6-3】下列等式变形正确的是（）A．若2x＝7，则 B．若，则 C．若3x+2＝2x，则3x+2x＝2 D．若，则x﹣1＝3【题型6等式的性质变形】【典例7】有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（）A． B． C． D．【变式7-1】设“〇”“□”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“〇”的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【变式7-2】如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【变式7-3】等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么＝（c≠0） C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2【题型7利用等式的性质解方程】【典例8】利用等式的性质解下列方程．（1）y+3＝2；（2）﹣y﹣2＝3；（3）9x＝8x﹣6；（4）8m＝4m+1．【变式8】利用等式性质解方程：（1）5x﹣2＝﹣7x+8；（2）3x+1＝x+9；（3）．【题型8方程的解中遮挡问题】【典例9】方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式9-1】方程3+＝2x，处被墨水盖住了，已知该方程的解是x＝0，那么处的数字是．【变式9-2】小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式9-3】小明同学在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是．【题型9利用等式的性质检验方程的解】【典例10】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解，并写出检验过程．（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）；（2）2（x﹣1）﹣（x+1）＝3（x+1）﹣（x﹣1）（x＝0）．【变式10】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）；（2）0.52x﹣（1﹣0.52）x＝80（x＝1000）．【题型10方程的解的规律问题】【典例11】观察下列方程：①的解是x＝2，②的解是x＝3，③的解是x＝4，…（1）根据观察得到的规律，直接写出其中解是x＝6的方程，并检验．（2）直接请写出第n个方程和它的解．（n为正整数）【变式11-1】一系列方程，第1个方程是x+＝3，解为x＝2；第2个方程是，解为x＝6；第3个方程是，解为x＝12；…根据规律第10个方程，解为．【变式11-2】一列方程如下排列：＝1的解是x＝2；＝1的解是x＝3；＝1的解是x＝4；…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2020的方程：．1．（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣72．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣23．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质24．（2023•顺德区校级三模）下列等式变形中，不正确的是（）A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若am＝bm，则a＝b C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x5．（2023•东河区模拟）如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（）A．a＝b B．a＞b C．a≠b D．a＜b6．（2023•岳麓区校级三模）下列变形中，正确的是（）A．若a＝b，则a+1＝b﹣1 B．若a﹣b+1＝0，则a＝b+1 C．若a＝b，则 D．若，则a＝b7．（2023•英德市二模）下列方程中，解是x＝2的方程是（）A．3x+6＝0 B．2x+4＝0 C． D．2x﹣4＝08．（2023•广灵县模拟）下列等式变形正确的是（）A．若x＝y，则 B．若ac＝bc，则a＝b C．若x2＝4x，则x＝4 D．若，则a＝b9．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是．10．（2021•重庆）若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为．1．（2023春•泉州期中）下列各式是一元一次方程的是（）A．3x﹣1＝5 B．x﹣y＝3 C．x+3 D．3x+y＝52．（2022秋•永川区期末）如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣63．（2022秋•金华期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（）A．350克 B．300克 C．250克 D．200克4．（2022秋•仪征市期末）若关于x的方程mx﹣2＝x+1的解是x＝3，则m的值为（）A． B．2 C．1 D．5．（2022秋•丹东期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（）A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2 B．若3a＝2b，则9a＝4b C．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5 D．若3a＝2b，则6．（2022秋•隆化县期末）小马虎在做作业，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是x＝9．请问这个被污染的常数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022秋•南昌期末）已知关于x的方程5x+3k＝21与5x+3＝0的解相同，则k的值是（）A．﹣10 B．7 C．﹣9 D．88．（2023•余江区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：．9．（2022秋•白云区期末）一个两位数