2021届高中数学综合、交汇习题集06

《2021届高中数学综合、交汇习题集30篇》

在这套习题中，我们仅仅关注高中数学知识之间的跨界组合、综合交汇的

考查。它们也许是数列与函数的交汇、也许是函数与几何的交汇、也许统计与

圆锥曲线的交汇、也可能是基本不等式与解三角形的交汇……

第06篇

L"3si"a-sinocosa-2=0^"tano=2^（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.（2021届百师联盟新高考一轮联考）多选）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现

行的高等数学与数学分析教材中，对"初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限

次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数/（x）=x'（x〉0）,我们

可以作变形：/（x）=/=*=*""=（r=xlnx）,所以/（x）可看作是由函数/（f）=e'和

g（x）=xlnx复合而成的，即/（x）=V（x>0）为初等函数.根据以上材料，对于初等函数

/z（x）=£（x>0）的说法正确的是（）

A.无极小值B.有极小值1C.无极大值D.有极大值,

3.（皖，2021届六校教育研究会高三月考）多选）A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，规格为

21x29.7cm（210mmx297mm）,其边长之比非常接近1：血，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都

是采用这一国际标准.我们称这种边长比例满足1：、份的矩形为"优美矩形现有一长方体

ABCO-AgGR,其中AR=2JLAC=2框,AQ=4,则从此长方体的表面六个矩形中任意

选取一个矩形，则取到“优美矩形"的概率为（）.

1125

1-z

4.（皖，2021届阜阳一中高三检测）设若复数——（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于直

a+i

线y=x上，则。=（）

A.-1B.0C.1D.2

5.（2021届百师联盟高三联考）已知定义在R上的函数“X）满足x）=2,且在［0,+8）上

单调递减，若对任意的xwR,/(£—a)+/(x)<2恒成立,则实数。的取值范围为（)

A.(―℃,—1)B.f-oo,—]C..—,+℃]D.(l,+oo)

4+4

ah,,x-1

=ad—be,若不等式a—2

6.（皖，2021届太和一中高三月考）在R上定义运算:>1对

cda+1x

任意实数元恒成立，实数。的最大值为（）

2

2

22

7.（京，2021届延庆区高三统测）设。为坐标原点，直线X=a与双曲线C：r-"=1（。>0*>0）的两条

示铲

渐近线分别交于DE两点，若口00£的面积为4,则C的焦距的最小值为.

8.（闽，2021届龙海中学高三月考）己知集合M=,N=｛卜y=sinx,xeR｝,则MC|N

=（）

A.[-1,0]B.（0,1）C.[0,1]D.0

9.（闽，2021届龙海中学高三月考）已知函数/（x）=x-cosx（xeR）,a笈是钝角三角形的两个锐角，

则/（cos。/（sin/（填写：“〉”或“〈”或“=

10.（皖，2021届皖江名校高三联考）在棱长为1的正方体ABC。-A5G2中，M，N分别为棱AB，

C.D,的中点.平面a过B｝,M两点，且BN〃a.设平面。截正方体所得截面面积为S，且将正方体分成

39

两部分的体积比为匕：匕，有如下结论：①5=1②S=t，③匕:匕=1：3,④匕：匕=7：17,则下列

结论正确的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

11.（2021届百校联盟质量检测）已知三棱锥S—A8C中，S4L平面ABC，弘=AB=4,BC=6,

AC=2岳,则三棱锥S—ABC外接球的表面积为.

12.（闽，2021届龙海中学高三月考）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当

各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函

数关系用取整函数y=表示不大于X的最大整数）可以表示为

A.y=「打By=「x+31cy=「x+41Dy=「九+51

ILI^J'M'CT

TT

13.（2021届百师联盟新高考高三联考）已知0<4；则（）

4

A.（cos笋'〉（cos笋加〉（而8侬"B.（sin^cosS（cosrnS（cosros^

c.（cos^cosS（sinr>s，，>（cosrn"D.（cos8cos0>（cos雷.〉（sin夕斓

14.（京，2021届中关村中学高三月考）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，

用4表示解下〃（〃<9,〃eN*）个圆环所需的最少移动次数，｛4｝满足。“=1,且

[2a।-1,”为偶数

a=,则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）

"+2,“为奇数

[n-l

A.7B.10C.12D.22

3

《2021届高中数学综合、交汇习题集》第06篇参考答案

1,【答案】c

【解析】先解方程，再根据解的情况可判断两者之间的条件关系.

【详解】

因为3sin2a-sinacosa-2=0>所以si/a-sinocosa-2cos2go，即

(sina-2cos«)(sina+cosa)=0,

sina-2cosg0或sina+cosg0,

若cosgO,贝!lsina=0,这与sin?a+cos2a=1矛盾，故cosgO,

所以tana=2或tana=-1,

故"3sin2a-sinacosa-2=0是“tang2"的必要不充分条件.

故选：C.

2.【答案】AD

【详解】

1'kx

根据材料知：〃(X)=/=*户=e，

,/1.、'\n.x(j_]_11-In.v

所以•一lnx|=e'-|—lnx+=-ex(1-lnx)>

(x)x2x2Jx2

令〃'(x)=0得x=e,当0<x<e时，〃(x)>0,此时函数/?(x)单调递增；

当x〉e时，〃'(x)<0,此时函数〃(x)单调递减.

所以h(x)有极大值且为4(e)=/，无极小值.

故选：AD.

3.【答案】C

【解析】求出长方体的棱长，得出六个面中“优美矩形"的个数后可得概率.

【详解】

fAB^+AD1^8\AB=2

由题意:AV+A》=i2，解得A4=2,

'AB2+AD2+AA2=16IAD=22

I】I

所以长方体ABC。-A5G。的两个底面ABCD与A4GR是正方形，其他四个侧面都是"优美矩形"，

42

所求概率为p=_=_.

63

故选：C.

4,【详解】

化简n=a'型尸)="一号£+6,故复平面内对应点的坐标是(值工,-恐D，因为复数

4

1一’在复平面内对应的点位于直线y=无上,所以_二+1=“一],所以a=0.

a+ia2+1a2+1

故选：B.

5.【答案】B

，【详解】

令b(x)=/(x)-l,则尸(x)在[0,+8)上单调递减，又尸(―x)=/(—x)—l,

故/(x)+F(—x)=/(x)+/(—x)—2=0,所以尸(x)为定义在R上的奇函数，

故尸(x)在R上为减函数.

由/(d—q)+/(x)<2恒成立，得尸(丁―a)+«x)<0恒成立，即尸(£_。)<_«%)=«_%)恒

成立，可得f—a〉—x恒成立，

(1V1(n

即。<%2+*=(|*+1-_恒成立，所以实数”的取值范围为一。。,一_.

I2J4I4；

故选：B.

6.答案D

7.【答案】40

【详解】

...x2y2

•r0•7-瓦=1(a>0,力>0)

・・•双曲线的渐近线方程是y=+h.x,

a

=x=aC:x2-2=>>

直线与双曲线至户1(。0,/?0)的两条渐近线分别交于D,E两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限，

x=a[x=a

联立/b，解得《,，即b)

'y=—X[y=b

\x=a

联立[,解得，即E(a,-b)

\y~~~x[y="

Ia

\ED\=2b；

DODE面积为：Sa0DE=；ax2b=ab=4；

X22

・双曲线C：_y———=l(^>0,Z>>0)，

Q-b~

5

.,.其焦距为2c=2ylcr+b2>lyflab=2瓜=472；

当且仅当。=。=2时，取等号；

AC的焦距的最小值为43；

故答案为：4\/2-

8、答案C

9、>

10.【详解】

解:取AD的中点H,连接,HD】,BR,MD、,BN,

可得BN//MDt,则BN〃平面HMBR,故平面a即平面HMB.D,.

故截面HMBR为等腰梯形，可得B?=&,MH=更MB=HD=昱，

（尺、2（23&1（庐]3住9

高为也—匕'=△_甘「如。*=3.故①错误，②正确.

\2了1J，其面积S=c[-+2/x

\\J\J42卜21力4

另几何体为棱台，上底面积S=_,下底面积S=_,高44=1,

111△AM“京△为“151

故体积M4,TW'l!

7一

另一部分体积v=l-_17

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