专题6.5 正、余弦定理（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题6.5正、余弦定理题型一利用正弦余弦定理进行解三角形题型二判断三角形解的个数题型三三角形面积及其应用题型四判断三角形的形状题型五利用正弦定理求外接圆半径题型六利用正余弦定理进行边角互化题型七解三角形的实际应用题型一 利用正弦余弦定理进行解三角形例1．（2022春·福建·高二统考学业考试）的内角，所对的边分别为，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求的值.【详解】由正弦定理知：，则，，所以或，又，故.故选：B例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______.【答案】【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可.【详解】由三角形可得，解得，若该三角形为钝角三角形，注意到，则角为钝角或角为钝角，可得或，即或，解得或，故边的取值范围是.故答案为：.练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则角的度数为（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数.【详解】由，得，于是，由正弦定理得，∴，故选：B.练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在中，，点D在边BC上，且．(1)求；(2)求线段的长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；（2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解．【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又，；（2）因为，所以，，由，可得，在中根据正弦定理得：，又，，，所以．练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.(1)求的值；(2)若为边所在线段上一点，且，，，求b的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出，进而得；（2）在中，由余弦定理得，进而求得，在中，由正弦定理求得．【详解】（1）由，可得，于是得，又，则，所以；（2）在中，，由余弦定理得，所以，则，在中，由正弦定理有，即，解得.练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）中，，，，平分线与交于点，则_________.【答案】【分析】首先利用余弦定理求出、，即可得到，再由正弦定理计算可得.【详解】由余弦定理，，所以，所以，因为为的平分线，所以，所以，在中由正弦定理，即，所以.故答案为：练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形中，与相交于点O，平分，，，则的值_______.【答案】/【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解；【详解】在中，，由余弦定理得，所以.由正弦定理得，.即.又因为平分，所以.故答案为：题型二 判断三角形解的个数例3．（2022春·高三课时练习）已知在中，，若有两解，则正数的取值范围为____________．【答案】【分析】利用正弦定理得到，由题意则，且求解.【详解】解：由正弦定理得：，要使三角形有两解，则，且，即，解得：.故答案为：例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，则b的取值范围为___________.【答案】【分析】由正弦定理得，依题意得或，进而利用三角函数的性质可得结果.【详解】因为，，由正弦定理得，要使三角形有唯一解，则或，所以或，即或，解得或，则b的取值范围为.故答案为：.练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（

）A． B．3 C．5 D．【答案】BD【分析】由题意，则角A只有一个解，有或且，转化为边的关系即可.【详解】由正弦定理得，，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一个，则或且，所以或，选项BD符合.故选：BD．练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）中，.则满足这样的三角形的个数为（

）A．唯一一个 B．两个 C．不存在 D．有无数个【答案】B【分析】根据正弦定理进行求解即可【详解】已知，由正弦定理，，又，则，，或，满足条件的三角形有2个三角形.故选：B.练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（

）A．若，有一个解 B．若，无解C．若，有两个解 D．若，有一个解【答案】BCD【分析】根据题意，由正弦定理求得，结合选项中的取值范围，分类讨论，即可求解.【详解】因为且，由正弦定理，即，当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确；当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确；当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确；当，即，则，由，此时只有一解，故D正确.故选：BCD.练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：_____.【答案】（答案不唯一）【分析】取，根据正弦定理得到，确定三角形有两解，得到答案.【详解】取，则，即，，，或，验证满足，故有两个解，满足.故答案为：（答案不唯一）练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.【详解】由题设，过作于，如下图示，则，可得时，三角形有两解.当，即时，三角形不存在；当或2时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；故选：C题型三 利用正弦定理求外接圆半径例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在中，，，，则______.【答案】【分析】由余弦定理求解，由同角函数基本关系求出，代入面积公式求解即可.【详解】由余弦定理可得，解得，则，又，所以.故答案为：例6．（2023·北京·高一专题练习）在中，.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，因为，所以，且，所以或.（2）由（1）可知或，且，，所以即，由余弦定理可得，，即，解得或，当时，，当时，，所以的面积为或.练习11．（2023·全国·高三专题练习）在中，，AB边上的高为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，再结合余弦定理，即可求得的值，即可求解.【详解】解：在中，设边上的高为，则，所以，由余弦定理得，即，又由余弦定理得．故选：B.练习12．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在中，其三边分别为，，且三角形的面积，则角__________.【答案】/【分析】根据面积公式结合余弦定理计算出的值，即可求解出的值.【详解】因为，所以，则，又，所以.故答案为：.练习13．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，，设出长度，利用正弦定理可得与的等量关系，再用余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可.【详解】在中，，因为，所以，设（），则，由正弦定理可知，，即，则，在中，，，又，则，故，所以．故选：B．练习14．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）如图，在中，为钝角，，是的平分线，交于点，且，．

(1)求的大小；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中根据正弦定理可解；（2）先求，利用正弦定理可得BC，然后由三角形面积公式可解.【详解】（1）在中，由正弦定理得．所以．因为为钝角，所以.（2）根据条件，由（1）得．由题设，，在中，由正弦定理可得．又，所以的面积为．练习15．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.【答案】/【分析】根据余弦定理计算，，再根据面积公式计算得到答案.【详解】，，，则，解得，，.故答案为：题型四 三角形面积及其应用例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）若在中，，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到结果.【详解】因为在中，，由正弦定理可得，，所以，即，所以，即.所以为等腰三角形.故选:B例8．（2023春·浙江·高三期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是__________三角形．（填三角形的形状特征）【答案】直角【分析】边化角，结合降幂公式化简整理可得.【详解】解析：由正弦定理和降幂公式可得，即又，所以即因为，所以，即因为，所以，得，故为直角三角形．故答案为：直角练习16．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．的三角形【答案】A【分析】根据题意，先由降幂公式化简，然后由余弦定理可得，即可得到结果.【详解】因为，所以，所以，再由余弦定理可知，所以，即，所以△ABC是直角三角形.故选：A练习17．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立C．若，则△ABC必是等边三角形D．若，，则△ABC是等边三角形【答案】AD【分析】利用正弦定理，余弦定理解三角形逐项判断即可.【详解】由，利用正弦定理可得，∴，而在上单调递减，∴，故A正确；在锐角△ABC中，A，，，∴，∴，因此不等式恒成立，故B错误；由，利用正弦定理可得，∴，∵A，，∴，即，∴△ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形.故C错误；由于，，由余弦定理可得，可得，解得，∴，故D正确.故选：AD.练习18．（2023·上海·高三专题练习）在中，已知.(1)求；(2)若，判断的形状.【答案】(1)(2)等腰的钝角三角形【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角的余弦值.（2）利用三角形内角和关系计算出B、C角，根据角度判断三角形形状.【详解】（1）由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以，而为三角形内角，所以；（2）由（1）知，且，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以，所以是等腰的钝角三角形.练习19．（2023·江苏·高一专题练习）在中，，且，试判断的形状．【答案】等边三角形【分析】先利用余弦定理求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，进而求得，由此求得，据此得解.【详解】因为，所以，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，，又，所以，则，所以，因为，所以，故，即，又因为，所以，又，所以是等边三角形.练习20．（2023春·江西赣州·高三校考期中）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若，，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由，结合三角形面积公式及向量的数量积运算可得，得，由余弦定理结合条件可得，从而得出结果．【详解】由，可得，即，因为，可得，由余弦定理得：，因为，所以，即，即，又，所以是等边三角形．故选：D．题型五 判断三角形的形状例9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆为的外接圆，，，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】先利用正弦定理求外接圆的半径，再根据数量积的定义分析运算.【详解】如图，圆的直径为，故，，故.故选：B.例10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.【答案】2【分析】根据正弦定理和投影长求出，结合得到，利用正弦定理求出答案.【详解】由题意得，，，即，即，因为，所以，故，故.故答案为：2练习21．（2023春·河北·高三校联考期中）在中，，，则外接圆的半径为（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】根据内角和求出，再由正弦定理计算可得.【详解】因为，所以，解得.设外接圆的半径为，则，解得.故选：D练习22．（2023春·河南·高三校联考期中）已知外接圆的周长为，，则（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理可求的长度.【详解】因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径为2，则根据正弦定理可得，解得．故选：B.练习23．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若的外接圆半径，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理结合化简得到，求出角C的大小；（2）由正弦定理得到，由余弦定理求出，从而得到三角形面积.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，即，因为，所以，即，因为，所以．（2）因为，的外接圆半径，所以由，可得，因为，由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以的面积．练习24．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足(1)求；(2)若的面积为，且，求的周长【答案】(1)(2)cm【分析】（1）根据题意可求圆的直径，再结合正弦定理运算求解；（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.【详解】（1）设的外接圆半径为，则（cm），由正弦定理，可得.（2）∵，则，故为锐角，∴，由面积公式，即，可得，由余弦定理，即，可得，解得（cm），故的周长为（cm）.练习25．（2023·全国·高二专题练习）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由题知，，进而得，即，再结合正弦定理求解即可.【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，，又，，，，两式相加得：，即，，即，又，，.故选：B.题型六 利用正余弦定理进行边角互化例11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．【答案】【分析】利用正弦定理和余弦定理进行边角转化，可得到，代入即可求解.【详解】由，可得，化简得，又∵，∴，故答案为：例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求B；(2)设，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理边角互化化简，再由三角恒等变换即可得到，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理可得，再结合三角形的面积公式即可得到结果.【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，显然，则，又，所以.（2）由余弦定理可得，因为，，所以，即，解得或（舍去），所以，所以的面积.练习26．（2023·河北·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．(1)证明：；(2)若，，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用正余弦定理及三角恒等变换的知识进行“角化边”，即可证明；（2）结合（1）中的结论，结合余弦定理及面积公式进行化简求解.【详解】（1）因为，所以，所以，由正弦定理和余弦定理得，整理得，即，又，，所以．（2）由（1）得，由，，得．由余弦定理可得，即所以，所以△ABC的面积为．练习27．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理和同角的三角函数基本关系是可求，再根据两角和的正弦公式可求，故可得正确的选项.【详解】由及正弦定理，可得．由，可得．又，∴．又，解得，则，∴B为钝角，C为锐角．∴，．故，∴．故选:A.练习28．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知中角的对边分别为，．(1)求；(2)若，且的面积为，求周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；（2）由面积公式和余弦定理可得答案.【详解】（1）由和正弦定理可得，，因为，所以，所以，，，，；（2），，又，，，的周长为.练习29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，c.已知.(1)求角；(2)若，求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，再结合两角和与差的三角函数公式即可求解.（2）用两角和的余弦公式把拆开，结合二倍角公式即可求解.【详解】（1）由正弦定理得，即，（2）练习30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且，，则下面四个选项中错误的是（

）A． B．C． D．周长的最大值为3【答案】C【分析】依题意可得，利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式求出，即可求出，从而判断A，再利用余弦定理及基本不等式判断B，利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式判断C、D.【详解】由于，所以，由正弦定理可得，由于，所以，由于是三角形内角，则，故A正确；由余弦定理知，即，由于，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；又由正弦定理知，所以，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为3，故D正确；由得，，所以，故C错误.故选：C.题型七 解三角形的实际应用例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

(1)求灯柱的高（用表示）；(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.【答案】(1)(2)，米【分析】（1）分别在△、△中，应用正弦定理求、，即可得解析式；（2）应用正弦定理求得，并应用差角正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简得到，根据正弦型函数性质求最小值.【详解】（1）由题设，，，在△中，则，在△中，则.所以.（2）由题意，而，则，所以，结合（1）知：，又，所以，当，时，米.例14．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（

）A．海里 B．海里C．或 D．灯塔C在D的南偏西方向上【答案】ABD【分析】画出示意图，由题意确定相应角大小、边长度，利用正余弦定理求、，进而判断各项的正误.【详解】由题设，，，则，所以，则海里，A正确；所以海里，B正确；由，则，故，灯塔C在D的南偏西方向上，C错误，D正确；故选：ABD练习31．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

【答案】3280【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.【详解】解：由题可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，则.所以步.故答案为：3280练习32．（2023春·浙江·高三校联考期中）位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？(2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？(3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.【答案】(1)海里/时(2)海里/时(3)当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；（2）由两小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度；（3）设，可得，，再根据时间相等可确定速度，再利用三角函数性质可得的最值及时间的最值.【详解】（1）如图所示，，，，时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里，海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，所以小艇的航行速度海里/时；（2）如图所示，设小艇与海轮在点处相遇，经过小时后海轮航行的里程为海里，即，则在中，由余弦定理得，所以小艇航行的里程海里，故小艇的航速海里/时；（3）如图所示，因为，且小艇的最高航