第5.1.1讲任意角新高一数学宝典（人教A版2019）

第五章三角函数第5.1.1讲任意角一、学习目标1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.二、重点难点1、任意角的概念2、轴线角象限角3、终边相同的角三、核心知识一、任意角1、角的分类2、角的加法与减法名称定义图示正角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角零角一条射线

做任何旋转形成的角（1）两角相等：如果两角α，β的且旋转量相等，就称α=β。（2）角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β。（3）角的减法：①把射线OA绕端点O按旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记作α②角的减法：：α－β＝.二、象限角：1.前提：角的顶点与重合，角的始边与重合。2.分类：若交的终边在第几象限，就说这个角是第几。若角的终边在上，则这个角不属于任何一个象限。三、终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合即任一角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。三、核心例题题型1任意角的概念1．下列说法中正确的是（

）A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【详解】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确；选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误；选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A2．手表走过2小时，时针转过的角度为（

）A．60° B．60° C．30° D．30°【答案】B【详解】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转，因此时针转过的角度为负数.所以手表走过2小时，时针转过的角度为.故选：B3．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又分针走过了10分钟，走过的角度大小为，综上，分针走过的角度是．故选：D．4．已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【答案】D【详解】因为A={|为锐角}，D={|为小于的正角}，对于集合，小于的角包括零角与负角，对于集合，C={|为第一象限角}，所以A=D，故选：D5．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（）A．逆时针， B．顺时针，C．逆时针， D．顺时针，【答案】B【详解】由题意可得，设，则，解得，所以射线绕端点顺时针旋转，故选：B题型2轴线角象限角6．角是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，又是第二象限角.故选：B.7．若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若是第一象限角，则，，则是第四象限角，故D错误；，则是第一象限角，故A错误；，则是第二象限角，故B错误；，则是第三象限角，故C错误.故选：C.8．若是第二象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【详解】由题意是第二象限角，所以不妨设，所以，由象限角的定义可知是第四象限角.故选：D.9．若为第二象限角，则的终边所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D【详解】因为为第二象限角，则，因此，而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角，当为偶数时，为偶数，则为第二象限角，所以的终边所在的象限是第二、四象限.故选：D10．若是第二象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【详解】由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，所以是第二象限角．故选：B.题型3终边相同的角11．下列各角中，与角终边重合的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】与角终边重合的角为：，则当时，，故C正确.经检验，其他选项都不正确.故选：C.12．与角终边相同的角可表示为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，角与角的终边相同，与角终边相同的角可表示为.故选：B.13．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】当时，，当时，,所以选项C满足题意.故选：C.14．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，故选：C．15．下列角的终边与角的终边关于轴对称的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，与角的终边关于轴对称的角为当时，，正确.经验证，其他三项均不符合要求.故选：.当堂达标一、单选题1．下列各角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对选项A，，故A错误.对选项B，因为，故B正确.对选项C，，故C错误.对选项D，，故D错误.故选：B2．下列各命题正确的是（

）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一，二象限角C．不相等的角终边必不相同D．相等的角终边相同【答案】D【详解】为第一象限角，显然不是锐角，A错误；为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误；与的终边相同，C错误；两角相等终边相同，D正确.故选：D3．若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】角是第二象限角，则,所以，故角的终边在第三象限，故选：C4．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意.故选：A.5．已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【详解】因为为第三象限角，所以所以当为偶数时，记,所以所以为第二象限角，当为奇数时，记,所以所以为第四象限角，所以为第二或第四象限角，故选:A.6．将的终边逆时针旋转，与的终边重合，则与终边相同的角的集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，则且，所以与终边相同的角的集合为.故选：B7．已知集合，则M，P之间的关系为（）A．M=P B．C． D．【答案】B【详解】因为，，所以.故选：B.8．已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，速度为每分钟转A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则大小是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】由题意得，，故，因为，所以，，因为18分钟时回到出发位置，所以，故，可得，所以，因为，所以或，或，即或.故选：C.二、多选题9．下列结论正确的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上的角的集合为D．若角为锐角，则角为钝角【答案】AC【详解】对于选项A：因为，且为第二象限角，所以是第二象限角，故A正确；对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误；对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确；对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角，例如，则为直角，故D错误；故选：AC.10．下列表示中正确的是（

）A．终边在轴上的角的集合是B．终边在第二象限的角的集合为C．终边在坐标轴上的角的集合是D．终边在直线上的角的集合是【答案】ABC【详解】A，B中表示显然正确；对于C，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，其并集为，故C中表示正确；对于D，终边在直线上的角的集合为或，其并集为，故D中表示不正确．故选：ABC三、填空题11．把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.【答案】【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.故答案为：.12．已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是．【答案】【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是，所以角的取值范围是，故答案为：四、解答题13．用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）【详解】（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为．（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为．14．已知，.(1)指出各自终边所在的象限；(2)在内找出与终边相同的所有角.【详解】（1），在第二象限；在第一象限；（2），与终边相同的角为，取范围内与它们终边相同的所有角有与终边相同的角为，取，则范围内与它们终边相同的