2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义8

8.1二分法与求方程近似解

【题型归纳目录】

题型一：求函数的零点

题型二：根据零点求函数解析式的参数

题型三：零点存在性定理的应用

题型四：根据零点所在区间求参数范围

题型五：根据零点的个数求参数范围

题型六：一次函数零点分布求参数范围

题型七：二次函数零点分布求参数范围

题型八：指对基函数零点分布求参数范围

题型九：函数与方程的综合应用

题型十：用二分法求近似解的条件

题型十一：用二分法求方程近似解的过程

题型十二：用二分法求函数零点的过程

【知识点梳理】

知识点一：函数的零点

1、函数的零点

(1)一般地，如果函数y=/(x)在实数a处的值等于零，即f(c)=O,则a叫做这个函数的零点.

知识点诠释：

①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

②函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标：

③函数y=f(x)的零点就是方程/(x)=0的实数根.

归纳：方程〃x)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有零点.

(2)二次函数的零点

二次函数>=江+bx+c的零点个数，方程/+bx+c=O的实根个数见下表.

判别式方程的根函数的零点

A>0两个不相等的实根两个零点

A=0两个相等的实根一个二重零点

A<0无实根无零点

(3)二次函数零点的性质

①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二重零点)，函数值变号.

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.

引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.

2、函数零点的判定

(1)利用函数零点存在性的判定定理

如果函数y=/(x)在一个区间［a,句上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即

■e)<0,则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点b),使〃毛)=0,这个毛

也就是方程/(x)=0的根.

知识点诠释：

①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个.若函数在区间内单调，则只有一

个；若不单调，则个数不确定.

②若函数/⑶在区间［a,句上有/(力/(加>0,/(x)在(a,3内也可能有零点，例如/(x)=d在［-1,1］上,

/(X)=X2-2X-3在区间［-2,4］上就是这样的.故/(X)在(a,b)内有零点，不一定有/(«)■/(/;)<0.

③若函数f(x)在区间［a,可上的图象不是连续不断的曲线，/(©在(a,6)内也可能是有零点，例如函数

/(x)=1+1在［-2,2］上就是这样的.

(2)利用方程求解法

求函数的零点时，先考虑解方程/(x)=0,方程/(x)=0无实根则函数无零点，方程/(x)=0有实根则

函数有零点.

(3)利用数形结合法

函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的

图象交点的横坐标.

知识点二：二分法

1、二分法

对于区间句上图象连续不断且/(a)./(6)<0的函数/(x),通过不断把它的零点所在区间一分为二，

使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法.

2、用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数y=〃x)定义在区间。上，求它在O上的一个零点xo的近似值x，使它满足给定的精确度.

第一步：在。内取一个闭区间项使/(/)与/(4)异号，即〃/)•〃区)<(),零点位于区

间向也］中.

第二步：取区间［4,4］的中点，则此中点对应的坐标为

%(d-%)=g(4+4)-

计算和f(g)，并判断：

①如果f(x0)=O,则/就是f(x)的零点，计算终止；

②如果<0,则零点位于区间［/，/］中，令4=%,伉=x()；

③如果则零点位于区间［%也］中，令4=%，4=4

第三步：取区间［q/J的中点，则此中点对应的坐标为

士=q+-(/?,-«,)=-(«!+/>!).

计算/(再)和f(q)，并判断:

①如果)=0,则占就是〃x)的零点，计算终止；

②如果,则零点位于区间中，令%=4也=不；

③如果/(aj/a)〉。，则零点位于区间［士,4］中，令%=X］,2=4；

继续实施上述步骤，直到区间“也;函数的零点总位于区间［4也］上，当凡和6“按照给定的精确度

所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=/(x)的近似零点，计算终止.这时函数y=〃x)的

近似零点满足给定的精确度.

知识点诠释：

(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②/(“)、/(b)的值比较容易计算且/(。)・/出<0.

(2)根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的.对于求方程

f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=((x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.

3、关于精确度

(1)“精确度'’与“精确到”不是一回事，

这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值£,即;“精确到”是指某讴歌数的数位达

到某个规定的数位.

(2)精确度£表示当区间的长度小于£时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用

该区间内的任意一个数值作零点近似值.

【方法技巧与总结】

1、函数“X)在区间［。,刃上的图象是一条连续不断的曲线，且/(X)具有单调性，则

函数/(X)在区间(血)内只有一个零点.

2、函数“X)在区间句上的图象是一条连续不断的曲线，函数/(X)在区间(4期内有零点，且函数

“X)具有单调性，则f(a)•"“<()

3、零点个数的判断方法

(1)直接法：直接求零点，令/(x)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

(2)定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间［a,句上是连续不断的曲线，且/(a)"伍)<0,

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)数形结合法：

①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数八力的图象与x轴交点的个数就

是函数/(X)的零点个数；

②两个函数图象：将函数〃x)拆成两个函数/i(x)和g(x)的差,根据〃x)=0=Mx)=g(x),则函数

的零点个数就是函数)，=/?(力和y=g(x)的图象的交点个数.

4、判断函数零点所在区间

(1)将区间端点代入函数求函数的值；

(2)将所得函数值相乘，并进行符号判断；

(3)若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，

则函数在该区间内至少一个零点。

5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法

（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；

（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围;

（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题.

【典型例题】

题型一：求函数的零点

例1.（2022•江苏•海门市第一中学高一阶段练习）函数y=*-2的零点是.

【答案】2

【解析】令，=0,则x-2=0,解得x=2,所以函数的零点是2.

故答案为：2.

例2.（2022•江苏・扬州中学高一阶段练习）函数y=/-4x+3的零点为.

【答案】1和3

【解析】由题意，X2-4X+3=0,（X-1）（X-3）=0,解得尸1或3,故函数的零点为1和3.

故答案为：1和3.

例3.（2022•全国•高一课时练习）函数丫=加+201+3,（亦0）的一个零点为1,则其另一个零点为.

【答案】-3

【解析】解法一：因为函数+的一个零点为1,

将（L0）代入得a+2«+3=0,解得a=-1.

所以y=*-2x+3.

令一X2—2X+3=0,解得玉=1,x2=-3,

所以函数的另一个零点为-3.

解法二：由函数y=ax2+2or+3,（"0）的一个零点为1,可得方程底+2or+3=0,（"0）的一个根为1,根

据根与系数的关系可得%+%=-叁=-2,所以另一个根为-3.故函数的另一个零点为-3.

a

故答案为：-3.

变式1.（2022.上海师大附中高一期末）已知函数〃司=犬+^-1的两个零点分别为不与，则+中?2=

【答案】1

【解析】依题意令〃x）=0,即/+》-1=0,

所以方程V+x-l=O有两个不相等实数根A、X-

所以王+%2=-1,Xf-X2=-\,

所以X；X,+不为？=X]X,(为+X,)=-1X(-1)=1；

故答案为：1

变式2.(2022•广西钦州•高一期末)已知指数函数的解析式为/(x)=4',则函数y=/(x)-2向的零点为

【答案】1

【解析】由解x)-20=4，-2旬=0得2'(2*-2)=0,x=l.

故答案为：I.

【方法技巧与总结】

求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从

而得到函数的零点.

题型二：根据零点求函数解析式的参数

例4.(2022.全国•高一专题练习)若为满足3*=2-x，々满足log；,x+x-2=0,则西+与=.

【答案】2

[解析1设“X)=3',g(x)=log3x,r(x)=2-x,

因为演满足3*=2-x，々满足l°g3X+x-2=0,

所以4时函数〃x)=3,与f(x)=2-x的交点横坐标，巧时函数8(力=1暇%与，耳=2-％的交点横坐标，

由于函数〃x)=3，与g(x)=log3X互为反函数，其图象关于直线丫=》对称，

所以两图象与直线t(x)=2-x的交点(司,乂),(々,必)也关于y=x对称，如图所示，

又由解得x=l,所以空歪=1,可得%+马=2.

故答案为：2.

例5.(2022・安徽•高一阶段练习)若正实数与是方程e*+l=aln(or-l)的根，则*—%=.

【答案】-1

【解析】由题可得：xex+x=axln(ax-l),即xe*+x=ln(ox-l)e”"f+ln(or-l),

令/.(x)=xe'+x,则/(x)在(0,+oo)上单调递增，

•.•正实数%是方程/+l=aln(G：—l)的根，

二.=CIX^—1,即C与—CIXQ=—1.

例6.(2022・全国•高一单元测试)已知实数满足a”>c,函数“x)=」一+—1+」一有两个零点

x-ax-bx-c

x],x2(xi<x2),则关于函数/(x)的零点4七的下列关系式一定正确的是()

A.x]<c<b<x2<aB.c<x]<b<a<x2

C.c<xx<x2<b<aD.c<xx<b<x2<a

【答案】D

[解析】方程一^―+-^7+-^—=0即为(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-/?)=O,

x-ax-bx-c

令g(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),

a>b>c,

二.g(a)=(a-h)(a-c)>0,g(b)=(b—a)(b-c)<0,g(c)=(c-a)(c-h)>0.

根据零点存在性定理得出在(c,b),3,a)上函数g(x)各有一个零点，所以C<X,<b<X2<〃.

故选：D.

变式3.(2022•北京市八一中学高一阶段练习)己知若为是函数〃x)=xlog“x—2021的一个零点，巧

是函数g(x)=M'-2021的一个零点，则占小的值为()

A.1B.2021C.20212D.4016

【答案】B

【解析】因为4是函数"x)=xlog“x-2021的一个零点，乙是函数g(x)=m、-2021的一个零点,

,2021.2021

所以x/og“Xi-2021=0,xX2-2021=0,gplog„x,=—,aXi=—,

X\X2

设函数y="(a>l)与y=网的交点为A,则A5,〉2)，必=%，

X工2

/、2021-/、2021

设函数y=log“x(a>l)与y=的交点为B,则8(不必)，％=一，

XX

因为函数y=log“x(a>l)与函数y=a*(n>1)互为反函数，

所以其图象关于，=x对称，

20212021

所以点AB关于y=x对称，即凡=%，所以由必==得办==，

即,巧=2021.

故选：B.

变式4.(2022•四川达州.高一期末)已知2是函数/(x)=x"-8("为常数)的零点，且式加)=56,则m的

值为()

A.-3B.-4C.4D.3

【答案】C

【解析】因为2是函数/(x)=x"-8("为常数)的零点，

所以2"=8,得〃=3,所以/。)=*3-8,

因为/(利)=56,所以机3_8=56,得力=4,

故选：C

变式5.(2022.湖北.高一阶段练习)若实数a,4满足ae&=2,夕访夕=2,则加=()

A.eB.1C.1D.2

【答案】D

22

【解析】由＜ze“=2可得e"=4,所以a是方程e*=上的解，

ax

2

即。是＞=@、与＞=一图象交点的横坐标，

x

由夕ln£=2可得=所以夕是方程lnx=2的解，

PX

2

即夕是y=lnx与y=4图象交点的横坐标，

x

2

在平面直角坐标系中分别作出），=e\y=lnx,），=上的图象如图所示，

x

因为y=e'与y=lnx互为反函数，图象关于直线》二"对称，

而〉二2女的图象也关于直线丁=为对称，

x

所以两个交点民房）关于直线丁=%对称，

.2

a=—

所以B,可得的=2,

2八

例7.（2022•北京市西城外国语学校高一期中）函数零点所在的一个区间是（）

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,-Ko)

【答案】C

【解析】令/(x)=g-x2=0,解得：x=6；>0,只有一个零点.

而/⑴=3一1=5>0，/(2)=^-4=-1<0,

由零点存在性定理知，函数7(X)=g-丁零M所在的一个区间是a,2).

X

故选：C.

例8.(2022•北京育才学校高一期中)函数f(x)=2x-l+W的零点所在区间是()

A.(0,；)B.(*)C.悖1)D.(1,2)

【答案】B

【解析】x>0,/(x)=2x-l+x=3x-l

所以在(0,+00)单调递增，

因为心=；1=_；<0

所以由零点存在性质定理知，/(X)的零点在(U).

42

故选：B

例9.(2022・陕西•咸阳市高新一中高一期中)函数〃x)=x3+e»-2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【解析】函数7•*)=/+/-2是定义在口上的连续递增函数，

/(0)=-1<0,/(l)=e-l>0,

由零点存在定理，函数/'(x)=/+e、-2零点所在的区间为(0,1).

故选：A

变式6.(2022•北京师大附中高一期中)函数/。)=丁+》-1的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【解析】因为/*)=/+戈7在xeR上单调递增，

/(-2)=-11<(),/(-1)=-3<0,

根据零点的唯一性定理知函数在(-2,-1)上无零点，故A错误；

/(-1)=-3<0,/(0)=-1<0,

根据零点的唯一性定理知函数在(-1,0)上无零点，故B错误；

/(0)-1<0,/(1)=1>0,

根据零点的唯一性定理知函数在(0,1)上有唯一零点，故C正确;

/⑴=1>0,/(2)=9>0,

根据零点的唯一性定理知函数在。，2)上无零点，故D错误；

故选:C.

变式7.(2022.北京・北师大实验中学高一期中)已知函数y=/(x)的图像是连续不断的，有如下的对应值表:

X123456

y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88

则函数y=〃x)在区间［1,6］上的零点至少有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】因为函数y=.f(x)的图像是连续不断的,

ja/(2)>0,/(3)<0,由零点存在性定理得：(2,3)内存在至少I个零点,

因为〃3)<0"(4)>0,故由零点存在性定理得:(3,4)内存在至少1个零点,

因为〃4)>0,/(5)<0,故山零点存在性定理得：(4,5)内存在至少1个零点,

综上：函数y=/(x)在区间［1,6］上的零点至少有3个.

故选：B

【方法技巧与总结】

解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，

即可得到答案.

题型四：根据零点所在区间求参数范围

例10.(2022•内蒙古包头•高一期末)已知F(x)=eR)为基函数，g(x)=a*(a>0,且a#1)的图

象过点(T，2).F(x)=/(x)-4g(x),若尸(x)的零点所在区间为(〃,〃+l)(〃eN),那么"=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】/(x)=ntd+2Q%wR)为幕函数，.机=1,/(x)=X3,

g(x)=a'3>0,awl)的图象过点(-1,2),

671=2,，。=万，8。)=优=(-)',

故尸(x)=/(X)-4g(x)=V-4•(夕=V-227在(0,+8)上单调递增，

由于尸(1)=-1,F(2)=7,故尸(x)在区间(1,2)上存在唯一零点，

尸(x)的零点所在区间为5,"+l)(”eN),那么〃=1,

故选：C.

例11.(2022•海南•高一期末)若函数/(x)=2*+3x+a在区间(0,1)内存在零点，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,-5)B.(-5,-1)

C.(0,5)D.(1,物)

【答案】B

【解析】函数f(x)=2，+3x+a在区间(0,1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，

由零点存在性定理知/(0>f⑴<0，gp(l+a)(5+a)<0,解得-5<a<-l

所以实数。的取值范围是(-5,-1)

故选：B

例12.(2022・全国•高一课时练习)若函数/。)=/+加+法+。有三个零点0,1,%,且x,e(l,2),贝Ua

的取值范围是()

A.(-2,0)B.(1,2)C.(2,3)D.(-3,-2)

【答案】D

【解析】因为函数〃幻=/+62+公+(7有三个零点0,1,马，所以=°八C，

[c=0

解得人J

\a^b=-\

所以/(x)=d+ax2+(—l—a)x=x(x—l)(x+a+l),所以无又与£(1,2),所以1<一1一"2,解得

—3<a<-2,

故选：D.

变式8.（2022・全国•高一课时练习）若函数〃%）=41。82%+叱4'+3在区间G,1）上有零点，则实数“的取值

范围是（）

A.STB.（一|,司。.卜3,同口.1|,」）

【答案】C

【解析】函数yu）定义域是（0,十8），

因函数y=log?x,y=4'在（0,+8）上都是单调递增的，而〃x）=a（log2X+4'）+3,

当。>0时，f（x）在（0,田）上单调递增，当"0时，f（x）在（0,e）上单调递减，当〃=0时，〃x）=3无零

点，

于是得当a*0时，函数/（力=41幅工+。4+3在（0,行）上连续且单调，

因函数/（》）在区间（；/）上有零点，则由零点存在定理有：即（-。+2a+3）（4a+3）<0,解

3

得一3<ci<—,

4

所以实数a的取值范围是13,-1]

故选：C

变式9.（2022・全国・高一专题练习）已知函数"力=怆％+2%-5的零点在区间化4+1）（丘2）上,则％=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题意，尸吆%»=2X-5都在（0,+8）为增函数

故函数〃x）=lgx+2x-5在（0,+功为增函数，

X/（2）=lg2+2x2-5=lg2-l<0,〃3）=lg3+2+3-5=lg3+l>0,

Q|J/（2）/（3）<0,

则函数〃x）=lgx+2x-5的零点在区间（2,3）上，

即欠=2

故选：B

变式10.（2022.江苏.高一单元测试）若函数〃％）=》+3”€町在区间（1,2）中恰好有一个零点，则。的值

可能是()

A.-2B.0C.1D.3

【答案】A

【解析】当。=一2时，函数f(x)=x-：在(1,2)上单调递增，又"1)=1—2<0,"2)=2—1=1>0,故〃x)

在区间(1，2)上恰有一个零点，满足题意，故A正确；

当。=0时，函数”力=了在(1,2)上单调递增，又/(1)=1>0,故f(x)在区间(1,2)上没有零点，故B不正

确；

当。=1时，函数/(x)=x+/在(1,2)上单调递增，又/(1)=1+1=2>0,故f(x)在区间(1,2)上没有零点，故

C不正确；

当0=3时，函数f(x)=x+;，所以/(x)在(1,石)上单调递减，在便,2)上单调递增，又f(@=2G>0,

故/(x)在区间。，2)上没有零点，不满足题意，故D正确；

故选：A.

0

变式11.(2022・全国•高一单元测试)已知函数f(x)=Ca『2若°,b,°互不相等，且

I入I9,X-3,X>Z

〃a)="(c),则加c的取值范围是()

A.[2,3]B.(2,3)C.[2,3)D.(2,3]

【答案】B

【解析】根据己知画出函数图象：

不妨设

f(a)=f(b)=f(c),

2

A-log,a=log2/?=-c+4c-3,

/.log2(aZ>)=0,

解得ab=\<2<c<3,

2<abc<3.

故选：B

例13.(2022•上海市建平中学高一期中)设实数a>0,且awl,beR.函数〃力=优+力(犬>0),若〃x)

的图象与x轴没有交点，则().

叫或《0<a<10<a<l

A.B

-l<Z?<0b<-l^b>0

0<a<10<a<\

a>1a>\

或，D.［八-2或'

-2<6<-l-1</?<-—--<b<0

2I2

【答案】B

【解析】(1)当。>1时,/(%)=相+6(x>0)单调递增,

为使_/(x)的图象与X轴没有交点，必须且只需：

f(0)=a°+b>0=>b>-l.

(2)当0<a<l时，〃x)=a*+/?(x>0)单调递减,

为使7U)的图象与x轴没有交点，必须且只需：

®f(O)=ao+b<O^b<-l；

②f(x)>0恒成立，即"+b>0=6>—a、恒成立，

又因为x>0,所以0<优<1,BP-1<-ax<0,

故匕20.

故选：B.

例14.(2022•浙江嘉兴•高一期中)函数/W满足在定义域内存在非零实数x,使得〃-x)=/(x),则称函

x-l,x>0,

数〃力为“有偶函数”.若函数f(x)=21八是在R上的“有偶函数”，则实数a的取值范围是()

ax'——x,x<0

2

A-a<l6B.0<<—C.0<。K—D.a<—

161616

【答案】D

【解析】因为/(x)为R上的“有偶函数”，故存在非零实数x,使得/(-x)=/(x),

若x<0,则一x>0,故方程一x-1=40?有解,

故a=-----T在(—8,0)上有解，而'=!77=-f—+-5->1+—,

2A-V'2xjcu4j16

而L<0,故y的值域为J,』，故

x2xxI16J16

若x>0,则-x<0,故方程丫-1=加+!》有解，

2

故4=7；----］在(0,+8)上有解，而y=J---y=—f--->1+—,

2xx2v2xx2U4j16

而L>0,故y=^---^的值域为1-8,故”4」.

x2xxI16J16

故选：D.

例15.(2022.浙江省普陀中学高一期中)已知函数/(x)=x-1,(户1),关于x的方程r(x)+/(x)+c=0有

J,(x=l)

5个不同的实数根，则实数c的取值范围是()

A.(0,1)51,+°°)B.(-(»,-2)u(-2,-1)C.(-<»,-2)(0,1)D.(-2,-1)(1,+<»)

【答案】A

【解析】设f=/(x),则原方程即产+"+c=0,

函数f(x)关于x的方程/(x)+"(x)+c=0有5个不同的实数根,

则方程产+初+c=0必有两根为％,t2.t\-t2=c,

且其中一个根为1,不妨设6=1,

即/*)=1与图象有3个交点，方程G=f(x)有2个根，

由图知，(0,1)5L+8),即f2=ce(0,D51,E).

故选：A.

变式12.(2022•陕西・咸阳市高新一中高一期中)已知函数,f(x)=]：-2x，x'a，(a>o),若函数

[S-x,x>a

g(x)=/(x)-3|^有三个零点，则〃的取值范围是()

A.(0,2)o[5,+oo)B.[5,+8)

C.(0,1)D.(0,1)55，+8)

【答案】A

[解析】因为函数g(x)=/(x)一3国有三个零点，

所以y=/(©的图象与、=3凶的图象有三个交点.

因为。>0,所以当x40时，由f一2n二一3%得，％=-1或x=0,

所以当xvo时，y=/W的图象与y=3凶的图象有两个交点，

则当x>0时y=/(九)的图象与y=3国的图象有1个交点.

令3x=8—x,得x=2,所以0<。<2符合题意；

令3X=Y-2X,得％=5或x=0(舍去)，所以符合题意.

综上，。的取值范围是(()，2)55,+8),

故选:A.

变式13.(2022♦上海市大同中学高一期中)已知函数/")=尸+3小xwR.若方程/(x)-dx-l|=O恰有4

个互异的实数根，则实数“的取值范围为()

A.(0,1)B.(9,+oo)C.(0,1)7(9,物)D.(1,9)

【答案】C

【解析】由y=/+3x开口向上且对称轴为x=—而y=a(x-l)恒过点(1,0),

所以/。)=|/+3》|的图象只需将y=/+3x函数值为负的部分翻折到*轴上方，

对应y=a|x-l|关于x=l对称，当。>0时图象在X轴上方，当。=0时图象为x轴，当。<0时图象在x轴下

方，

所以要使/(X)与)，=。卜-1|有4个交点，则”>0.

综上,/。)=|/+3*|与y="|x-l|的示意图象如下图:

当y=a|x-l|左侧与/(X)在xe(-3,0)上相交有4个交点，或丫=。1*-1|在x=l两侧与/⑶各有2个交点,

由图知：只需保证y=/+3x与y=〃(x-l)(a>0)相交即可，

令j?+3x=a(x-1),则X。+(3-a)x+a=0,A=(3-a)2-4a=(a-9)(a—l)>0,

所以0<a<l或a>9.

故选：C

变式14.(2022•吉林•东北师大附中高一期中)已知函数“X)是定义域为R的偶函数，当xNO时,

—x~+2x+1,04xK2

，如果关于x的方程对f(x)了+叭x)+l=0恰有7个不同的实数根,那么皿-"

小）h4x-5「

-----,x>2

X4-1

的值等于()

A.2B.-2C.1D.

【答案】A

4x-5_4（x+l）-9=4-普

【解析】当%>2时,x=

f（）x+1x+1

4x-5

且当3时，R=l，

又f(x)为R上的偶函数，则函数图象如下所示:

当f>2时,/(x)=r有2个解,

当t=2时,/(力=，有4个解，

当衣(1,2)时,〃x)=f有6个解，

当f=l时,〃力=『有3个解，

当f<l时，〃x)=r无解，

要想关于X的方程机[/(X)]-+“f(x)+l=0恰有7个根，

则关于f的方程加/+而+1=0要有两个不同的解，设出小L，

n1

贝|JA=2,右=1,由韦达定理得：1+2=---,1x2=一,

min

13

解得：ZH=-,H=--,

22

故加一”=；一(一张2.

故选：A

【方法技巧与总结】

体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供

了一种新的途径.

题型六：一次函数零点分布求参数范围

例16.(2022•全国•高一专题练习)函数/(x)=or+8的零点为4,则实数。的值为()

A.2B.—2C.；D.—

22

【答案】B

【解析】由题意得〃4)=4“+8=0,即a=—2.

故选：B.

例17.(2022・天津南开•高一期末)已知函数f(x)=ox-3(a>0,且存1),于(xo)=0,若(0,1),则

实数。的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+O))

【答案】D

【解析】因为函数f(x)=or-3(“>0,且存I)单调，

所以函数在区间(0,1)上至多有一个零点，

因为/(W)=0,且丸)6(0,1),

所以/'(())•F(l)=(1-3)•(a-3)<0,

解得a>3,

所以实数a的取值范围是(3,+00),

故选：D

例18.(2022•全国•高一专题练习)已知函数f(x)=3ar-l-2a在区间上存在零点，则()

【答案】C

【解析】/(x)=3ar-1-2a在区间(-1,1)上单调且存在零点，

/(-l)-/(l)=(-3a-l-2a)-(3a-l-2a)=(-5a-l)-(a-l)<0,

.1

,・a>I或a<——・

故选：c

变式15.(2022•全国•高一课时练习)若函数y=ax+l在(0,1)内恰有一解，则实数。的取值范围是()

A.a>-1B.a<-\C.a>\D.a<\

【答案】B

【解析】当。=0时不成立

取y=ar+l=0,x=--(«^0)

a

则0v—<1解得av—1

故答案选B

变式16.(2022•全国•高一•课时练习)已知函数〃x)=3ar-l-2a在区间(-1,1)上存在零点，则实数a的取值

范围是

A.(-oo,-l)ol7，+0°I

B.-,+oo

D.-co,--

【答案】C

【解析】因为函数/(x)=3ar-l-2a为一次函数，

要使其在区间(-1,1)上存在零点，

要保证其两端点分别在x轴的两侧，

所以〃力〃-1)<0

即f(1),f(—1)=(3a—1—2a)(—3a—1—2a)<0,

解得或a>l,

故选C项.

变式17.(2022•全国•高一单元测试)已知/(x)=2ar-l+3aJ(0)</(l)且在(1,2)内存在零点，则实数”的

取值范围是()

A-B.(罟)C.品)D.(我)

【答案】C

【解析】因为/1(0)</(1),故一l+3a<2a—1+3a即a>0.

而/(x)=2ar-1+3a,/(0)</⑴且在(1,2)内存在零点,

/(1)<05a-l<0

7a-l>0,解得U,

故,/(2)>OHP-

«>075

a>0

故选：A.

题型七：二次函数零点分布求参数范围

例19.(2022.贵州遵义.高一期中)若函数/。)=/+》+机的零点在区间(1,2)内，则机的取值范围为()

A.[-6,-2]B.(-6,-2)

C.(-<»,-6]U[-2,-K»)D.(―℃,—6)(—2,+oo)

【答案】B

【解析】因为f(x)在(1,2)上单调递增，目.f(x)的图象是连续不断的,

所以;；〃rn-解得-6(加〈一2.

[/(2)=4+2+«7>0

故选：B.

例20.(2022・广东•化州市第三中学高一期末)若方程+0r+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,

则。的取值范围是()

A.(0,3)B.[0,3]

C.(-3,0)D.(F,0)(3,+<»)

【答案】A

【解析】由-X?+ar+4=0可得x?-ar-4=0,

A=a2+16>0

-l<-<2,

令“力=丁-奴-4,由已知可得，2,解得0<a<3,

/(-l)=a-3<0

/(2)=-2a<0

故选：A.

例21.(2022.江苏.南京市金陵中学河西分校高一阶段练习)己知关于x的不等式(4x-3)2*加的解集中

恰有三个整数，则实数。的取值范围是()

91691-9169)

A.[-,3]B.(2,3]C.(2,D.

44瓦)

【答案】D

【解析】由题意可知，a>0,则不等式(4%-3)2%加可变形为(4x-3)2-W<0,

即[(4+2及口-3][(4-2向》-3卜0,

①当〃=4时，不等式为-24x+9W0,解得应]不符合题意；

O

②当a*时，不等式为关于x的一元二次不等式，

333

若不忑=匚皿，即a=0时，不等式的解集为{[},不符合题意;

若。〈心〈心’即。<大时，不等式的解集为1高｝，又°<&，

所以如果恰有三个整数，只能是1,2,3,

3Q169

故解得/”寸

若号；<°<篇’即〃>4时，不等式的解集为｛'I、".或、>七｝'

不会恰好有三个整数解，不符合题意.

9991

综上所述，实数。的取值范围为4，-64J

故选：D.

变式18.(2022•四川成都.高一开学考试)若关于x的方程炉一比+1=0有两个不相等的实根为、巧，且满足

0<为<1<%<2,则实数f的取值范围是()

A.(2,5)B.(2怖)

C.(^»,2)<J(5,+°o)D.(-8,2)u(g,+oc)

【答案】B

【解析】令/(x)=f—a+1,且“0)=1,

所以只需满足〃1)<0且/(2)>0即可，

即1一/+1<0且4-2/+1>0,解得2Vt<|,

故选:B.

变式19.(2022•山东•招远市第二中学高一阶段练习)已知实数a<%,关于x的方程/-(a+6)x+H+l=0有

两个实根占，9，且占<々，则实数小b,占，々的大小关系为()

A.a<xt<h<x2B.xt<a<x2<b

C.a<xt<x2<bD.xt<x2<a<b

【答案】C

［解析］由V-(a+6)x+ab+l=(x-a)(x-b)+1=0,

令f(x)=(x-a)(x-b)+1,g(x)=(x-a)(x-b),则g(x)=/(x)-l,

所以网，X?为/(x)与x轴交点横坐标，且占<%2，

将/(X)向下移动1个单位得到g(x)，且g(x)与x轴交点横坐标a力且a<b,

所以。<q42〈氏

故选：C

变式20.(2022•广东・深圳实验