工程力学9-组合变形

9.4平面应力状态应力分析9.3梁斜弯曲时的强度计算9.2杆件承受拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算9.1组合变形的概念与实例第9章组合变形时的强度计算

工程力学9.5广义胡克定律9.6强度理论和相当应力9.7圆轴承受弯扭组合变形时的强度计算9.1组合变形的概念与实例一、基本变形1.轴向拉伸与压缩2.剪切3.扭转4.平面弯曲二、组合变形由两种或两种以上基本变形组合而成的变形称为组合变形，将其强度计算称为组合变形时的强度计算。压弯组合压弯组合弯扭组合9.1组合变形的概念与实例自测题45自测题45-3直角折杆ABCD如图所示，外力F作用在BCD平面内且平行于BC，则CD段为

变形，BC段为

变形，AB段为

变形。CD段为弯曲变形BC段为拉弯组合变形AB段为弯扭组合变形自测题45-4如图所示，则：图a所示为

变形；图b所示为

变形；图c所示为

变形；图d所示为

变形。自测题45拉弯组合弯扭组合扭转弯曲三、组合变形的分析方法9.1组合变形的概念与实例解决组合变形时的强度计算问题通常采用叠加法。

构件在外力作用下，若在小变形且材料服从胡克定律的条件下，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷作用所引起的应力和变形不受其他载荷的影响。9.1组合变形的概念与实例分析组合变形时强度计算问题的一般步骤：(1)将载荷分解为若干简单载荷，使构件在各简单载荷下只产生基本变形(2)分析基本变形时的内力,确定危险截面(3)确定危险点，应用叠加原理进行应力叠加(4)对危险点的应力状态进行分析(5)利用强度条件进行强度计算四、组合变形类型9.1组合变形的概念与实例第一类组合变形是危险点的应力叠加后为单向应力状态

如：拉伸（压缩）与弯曲的组合变形、斜弯曲等第二类组合变形是危险点的应力叠加后为复杂应力状态

如：弯曲与扭转的组合变形、拉伸（压缩）与扭转的组合变形等可以使用单向应力状态的强度条件需要使用复杂应力状态下的强度条件9.2杆件承受拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算9.2.1拉（压）与弯曲组合变形的受力方式拉弯组合变形偏心拉伸

9.2.2拉（压）与弯曲组合变形时的应力拉（压）与弯曲组合变形时的内力：轴力和弯矩杆件的危险截面：轴力FN和弯矩Mmax

所在截面轴力FN引起的正应力：弯矩Mmax引起的正应力：

危险点的应力：为正应力，应用叠加法求。9.2杆件承受拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算9.2.3拉（压）与弯曲组合变形时的强度条件拉（压）与弯曲组合变形时的危险点是单向应力状态。强度条件为：对于抗拉和抗压强度不等的材料，强度条件为：9.2杆件承受拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算例9-1：图示梁，承受集中载荷F作用，试校核该梁的强度。已知：载荷F=10kN，梁长l=2m，载荷作用点与梁轴线的距离e=0.2m，方位角α=45º，梁为No.16工字钢，许用应力[σ]=160MPa。解：

(1)梁的外力分析(2)梁的内力分析，确定危险截面画梁的轴力图和弯矩图危险截面在固定端A截面。例9-1(3)梁的应力分析，确定危险点（4）强度校核查型钢表可得NO.16工字钢：故该梁强度足够。例9-1解：

例9-2：图示为钻床结构简图，若F=15kN，材料的许用拉应力[σ]+=35MPa，许用压应力[σ]-=120MPa。试求圆截面立柱所需的直径d。

解：（1）确定危险截面（2）确定立柱横截面上的内力（3）确定最大应力例9-2（4）强度计算例9-2解：先按弯曲正应力强度条件初选直径d。取d=121mm。再按拉伸与弯曲组合变形校核强度。例9-2强度足够。作业9-19-49.3梁斜弯曲时的强度计算9.3.1梁斜弯曲的概念9.3.2产生斜弯曲的加载方式9.3梁斜弯曲时的强度计算9.3.3梁斜弯曲时横截面上的正应力9.3梁斜弯曲时的强度计算9.3.4梁斜弯曲时的最大正应力和强度条件9.3梁斜弯曲时的强度计算强度条件例9-3：图示矩形截面悬臂梁。已知：F1=1kN，F2=2kN。试确定危险截面、危险点所在位置，并计算梁内最大正应力值。若将截面改成直径的圆形，试计算最大正应力。解：（1）外力分析（2）内力分析例9-3（3）应力分析例9-3解：（4）若将截面改成的圆形例9-3解：例9-4：一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁，如图所示。吊车大梁由No.25a热轧普通工字钢制成，许用应力[σ]=160MPa，跨度l=4m。起吊的重物的重量F=40kN，作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角θ=5°，并且通过截面的形心。试校核吊车大梁的强度。

解：

（1）外力分析（2）内力分析，确定危险截面例9-4（3）应力分析，确定危险点，并校核梁的强度

由型钢表查得No.25工字钢的两个抗弯截面系数分别为

故此梁强度不够。例9-4解：

（4）讨论例9-4解：

作业9-79-89.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念低碳钢拉伸实验塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸实验为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢扭转实验铸铁扭转实验9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念微元

单元体单元体边长无穷小；应力沿边长无变化；单元体各个面上的应力是均匀分布的；两个平行面上的应力大小相等。9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念原始单元体用横截面和与之正交的纵向截面截取的单元体回顾横力弯曲时横截面上点的应力:考虑中性层上的A点：正应力等于0，切应力最大。考虑梁边缘上的B点：正应力最大，切应力为0。

同一面上不同点的应力各不相同。此即应力的点的概念。9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念例9-5：如图所示的受轴向拉伸的直杆，已知拉力为F，横截面面积为A，试用原始单元体表示M点处的应力状态，并确定应力的大小。解：（1）求内力（2）取原始单元体（3）求应力例9-5例9-6：如图所示简支梁上A、B点位于跨中截面左侧，C点位于跨中截面右侧。已知：F=2kN，l=1m。试用原始单元体表示A、B、C三点处的应力状态。解：（1）作内力图（2）取原始单元体例9-6（3）求应力例9-6解：

主单元体：

各侧面上切应力均为零的单元体。

主平面：

切应力为零的平面。

主应力：

主平面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念主应力排列规定：按代数值大小若9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念三个主应力中只有一个不等于0

单向应力状态9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念三个主应力中有两个不等于0

二向（平面）应力状态9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念三个主应力都不等于0

三向（空间）应力状态9.4平面应力状态应力分析9.4.1应力状态的概念9.4.2任意方向面上应力的确定已知一平面应力状态：efanaxyzabcdtxtysxsytysysxtxdabctxtytxxsxsxsysytyy斜截面的外法线与x轴间的夹角为

的截面。

截面--9.4平面应力状态应力分析应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力

拉为正，压为负；2）切应力

使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对

角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。efbtytxatasasxsy9.4平面应力状态应力分析9.4.2任意方向面上应力的确定ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa9.4平面应力状态应力分析9.4.2任意方向面上应力的确定ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa9.4平面应力状态应力分析9.4.2任意方向面上应力的确定由此可得，任一斜截面上的应力分量为：利用三角函数公式9.4平面应力状态应力分析9.4.2任意方向面上应力的确定xyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxefanadabctxtytxx(b)sxsxsysytyy任一斜截面上的应力分量为：9.4平面应力状态应力分析9.4.2任意方向面上应力的确定例9-7：分析轴向拉伸杆件的最大切应力作用面，说明低碳钢试件拉伸时发生屈服的主要原因。

解：9.4.3应力状态中的主应力与最大切应力sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，对a求导数可得到其极值。

若a=a0时，导数为0通过上式可以求出相差π

/2的两个角度a0

，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。9.4平面应力状态应力分析若将a0的值代入切应力公式:可得:ta0=0得到以下结论:1)切应力为0的平面上，正应力为极值；2)切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是正应力极值。将a0代入sa的计算公式，计算得到正应力极值。9.4.3应力状态中的主应力与最大切应力9.4平面应力状态应力分析采用同样的方法对ta式求导若a

=a1时，则a1确定的斜截面上的切应力极值。代入公式:9.4.3应力状态中的主应力与最大切应力9.4平面应力状态应力分析最大正应力所在的平面:最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°。最大切应力所在的平面:9.4.3应力状态中的主应力与最大切应力9.4平面应力状态应力分析进一步分析可知，过一点应力状态中的最大切应力为例9-8：某原始单元体各面上的应力如图所示（应力单位为MPa）。试求：(1)ab斜截面上的正应力和切应力；(2)该点的主应力和最大切应力。解：(1)求

ab斜截面上的正应力和切应力

(2)求主应力和最大切应力例9-8作业9-10b9-119.5广义胡克定律1、广义胡克定律的简单推导前面谈到的胡克定律:单向拉伸条件下杆件产生横向应变:纯剪切情况下:最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图所示:根据切应力互等定理：则独立的应力分量只有六个。对于各向同性材料:

小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。

利用叠加法可求得各方向上的线应变。1、广义胡克定律的简单推导9.5广义胡克定律=++++1、广义胡克定律的简单推导9.5广义胡克定律利用同样的方法可以求得

y和

z方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，

与正应力无关，因此:以上被称为广义胡克定律。1、广义胡克定律的简单推导9.5广义胡克定律当单元体的周围六个面皆为主平面时:ε1、ε2、ε3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。1、广义胡克定律的简单推导9.5广义胡克定律例9-9：图示圆轴直径为d，其两端承受外力偶矩Me作用。今由实验测得轴表面与轴线成45°方向的线应变ε45°。试求外力偶矩Me之值。材料的弹性常数E、ν均为已知。

解：例9-9：图示圆轴直径为d，其两端承受外力偶矩Me作用。今由实验测得轴表面与轴线成45°方向的线应变ε45°。试求外力偶矩Me之值。材料的弹性常数E、ν均为已知。

解：例9-10：已知一点的应力状态如图所示，且单元体的边长，试求沿其对角线方向的线应变。

解：作业9-129-149.6强度理论和相当应力

前面建立了杆件在基本变形下危险点为单向应力状态和纯剪切状态下的强度条件，但是实际杆件，并非都是单向或者纯剪切，而是复杂应力状态。

复杂应力状态下，人们不再通过试验来建立强度条件，而是根据一定的试验结果，对失效现象加以观察、分析和归纳，寻找失效的规律，从而对失效的原因作一些假说，这些假说通常就称为强度理论。强度理论认为:

无论何种应力状态，也无论何种材料，只要失效形式相同，则失效原因就是相同的，且这个原因是应力、应变或变形能等中的一种。这样，造成失效的原因就与应力状态无关，从而便可由简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的强度条件。失效现象主要有两种:屈服和断裂。相应的强度理论大致也分为两类:一类是解释断裂失效的；另一类是解释屈服失效的。9.6强度理论和相当应力四种主要的强度理论：1、第一强度理论（最大拉应力理论）2、第二强度理论（最大伸长线应变理论）3、第三强度理论（最大切应力理论）4、第四强度理论（形状改变比能理论）9.6强度理论和相当应力9.6.1第一强度理论（最大拉应力理论）

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。断裂判据:强度条件:

适用条件：铸铁等脆性材料，在单向拉伸、扭转或双向、三向应力状态下。存在问题：没有考虑

2、

3对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。9.6强度理论和相当应力9.6.2第二强度理论（最大伸长线应变理论）

认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。断裂判据:强度条件:适用条件：混凝土或石料等脆性材料轴向受压。9.6强度理论和相当应力9.6.3第三强度理论（最大切应力理论）

认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。单向拉伸情况下:屈服判据:强度条件:9.6强度理论和相当应力

仅适用于拉压性能相同的材料。9.6.4第四强度理论（形状改变比能理论）

认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。单向拉伸情况下屈服判据:任意应力状态下:强度条件:9.6强度理论和相当应力

仅适用于拉压性能相同的材料。上述四个强度理论的强度条件可写成如下统一的格式sri称为相当应力。9.6强度理论和相当应力

但是，必须指出材料的失效形式还与其所处的应力状态、强度等有关。例如，低碳钢在三向拉伸时，呈现脆性断裂，应用第一强度理论；铸铁在三向压缩时，呈现屈服，应用第三或第四强度理论。即无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，呈现断裂失效，应用第一强度理论；而在三向压应力相近的情况下，呈现屈服失效，应用第三或第四强度理论。因此，即使同一种材料，在不同的应力状态，也