新高考数学二轮复习讲义第十五讲平面向量（含解析）

第十五讲：平面向量【考点梳理】平面向量的两个定理（1）向量共线定理：如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；反之，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则一定存在唯一的实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理：如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量SKIPIF1<0，都存在唯一的一对实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，我们把不共线向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0关于基底SKIPIF1<0的分解式．2.平面向量的坐标运算①已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<03.平面向量线性运算的常用结论（1）已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s,t，使得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，AD是BC边上的中线，则SKIPIF1<0【典型题型讲解】考点一：平面向量的线性运算和数量积运算【典例例题】例1．（2022·广东珠海·高三期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高；O为SKIPIF1<0上靠近点A的三等分点，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C．例2．（2022·广东中山·高三期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为60°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．12【答案】C【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.【方法技巧与总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，O为AB外一点.【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）在SKIPIF1<0的等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】以SKIPIF1<0为原点建立直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A2．（2022·广东汕尾·高三期末）对于非零向量SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】对于非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，充分性成立，但SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的方向不定，不能推出SKIPIF1<0，必要性不成立，故选：A．3．（2022·广东清远·高三期末）已知P是边长为4的正三角形SKIPIF1<0所在平面内一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．16 B．12 C．5 D．4【答案】C【详解】如图，延长SKIPIF1<0到D，使得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以点P在直线SKIPIF1<0上．取线段SKIPIF1<0的中点O，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．显然当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：C.4．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】通过向量加法的平行四边形法则可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，选项A正确；SKIPIF1<0，选项B错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向不同，选项C错误；延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,通过向量减法的三角形法则可知SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，选项D正确.故选：AD.5．（多选）（2021·广东汕头·高三期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，SKIPIF1<0，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为0，所以A正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以B正确；SKIPIF1<0，所以C不正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D不正确.故选：AB6.（2022·广东·金山中学高三期末）已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0【详解】试题分析：由题意SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0考点：本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积的运算点评：解决本题的关键是掌握向量垂直的充要条件7.（2022·广东汕尾·高三期末）已知非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．（2022·广东广州·一模）已知菱形ABCD的边长为2，SKIPIF1<0，点P在BC边上（包括端点），则SKIPIF1<0的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图示，以C为原点，SKIPIF1<0为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.因为菱形ABCD的边长为2，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因为点P在BC边上（包括端点），所以SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典型题型讲解】考点二：平面向量的坐标运算【典例例题】例1．（2022·广东深圳·二模）已知点SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.例2.（2022·广东韶关·一模）已知向量SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0可以表示平面内任一向量B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角【答案】BC【详解】当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，SKIPIF1<0可以表示平面内任一向量，所以SKIPIF1<0，解得:SKIPIF1<0且SKIPIF1<0A错误；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，B正确；若SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，C正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，夹角不是锐角，SKIPIF1<0错误.故选：SKIPIF1<0.例3.在正方形ABCD中，M是BC的中点．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故选：B【方法技巧与总结】熟记平面向量的坐标运算公式，学会建立直角坐标系.【变式训练】1.（2021·广东佛山·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数k的值为______．【答案】-4【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<02.（2022·广东湛江·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<03．（2022·广东广东·一模）已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.5．（2022·广东茂名·二模）已知向量SKIPIF1<0（t，2t），SKIPIF1<0＝（﹣t，1），若（SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0）⊥（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0），则t＝_____．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为（SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0）⊥（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．6.已知正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________；SKIPIF1<0___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】【详解】解：以A为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正方向建立平面直角坐标系，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；10.【巩固练习】一、单选题1．下列说法错误的是（

）A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线C．单位向量长度都相等 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为非零向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【详解】规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；方向相反的两个向量一定共线，故B正确；单位向量长度都为1，故C正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0成立，但SKIPIF1<0不一定成立，故D错误；故选：D.2．已知下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0⑤若SKIPIF1<0，则对任一非零向量SKIPIF1<0有SKIPIF1<0；⑥若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中至少有一个为SKIPIF1<0；⑦若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是两个单位向量，则SKIPIF1<0.则以上结论正确的是（

）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤【答案】C【详解】（1）SKIPIF1<0，故错误；（2）SKIPIF1<0根据数乘的定义，正确；（3）SKIPIF1<0是表达式错误，0是数量，SKIPIF1<0是向量，这样的表达式没有意义，故错误；（4）SKIPIF1<0，故错误；（5）当向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故错误；（6）同（5），错误；（7）SKIPIF1<0，故正确；故选：C.3．在边长为1的正方形ABCD中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．0 B．1 C．2 D．2SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0.故选：C.4．下面四个命题哪些是平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线的充要条件（

）A．存在一个实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两向量中至少有一个为零向量C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向相同或相反 D．存在不全为零的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【详解】当SKIPIF1<0为零向量，SKIPIF1<0为非零向量时，SKIPIF1<0，则AC选项错误.当SKIPIF1<0为非零向量且SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0，则B选项错误.根据共线向量基本定理的推论可知，D选项正确.故选：D5．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，且向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量不共线，∴存在实数k，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：B．6．SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，点E满足SKIPIF1<0，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】在△ABC中，由余弦定理得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为A、B、D三点共线，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A7．在SKIPIF1<0中，E，F分别为SKIPIF1<0的中点，点D是线段SKIPIF1<0（不含端点）内的任意一点，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为点D是线段SKIPIF1<0（不含端点）内的任意一点，所以可设SKIPIF1<0，因为E，F分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A，B，D错误，C正确，故选：C.8．已知D，E为SKIPIF1<0所在平面内的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．-3 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A.二、多选题9．已知向量SKIPIF1<0不共线，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三点共线，则角SKIPIF1<0的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】【详解】SKIPIF1<0三点共线，即SKIPIF1<0共线，所以存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：CD．10．如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】以A为坐标原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又F为SKIPIF1<0的重心，则SKIPIF1<0，直线AG的方程为SKIPIF1<0，直线BC的方程为SKIPIF1<0，联立解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：ACD．11．已知向量SKIPIF1<0，将向量SKIPIF1<0绕原点SKIPIF1<0逆时针旋转90°得到向量SKIPIF1<0，将向量SKIPIF1<0绕原点SKIPIF1<0顺时针旋转135°得到向量SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】解：由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；SKIPIF1<0，