202022学年下冲刺班练习-圆

得得8分、10分者，赢中考2022-2022学年下学期数学冲刺班专项练习（二）圆考点三：运用相似三角形的性质与判定计算圆中有关线段的长

3、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，联结BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)联结AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝eq\f(2,3)，求BF的长．考点四：运用方程思想解决圆的计算问题4、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD∶DC＝1∶3，AB＝8，求⊙O的半径．2022-2022学年下学期数学冲刺班专项练习（二）圆考点三：运用相似三角形的性质与判定计算圆中有关线段的长

3、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，联结BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)联结AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝eq\f(2,3)，求BF的长．解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥BC，∴OC＝OB，CD＝BD，∴△CDO≌△BDO，∴∠COD＝∠BOD.在△OCE和△OBE中，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOE,OE＝OE，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．(2)过点D作DH⊥AB，易证得△ODH∽△OBD，∴eq\f(OD,OB)＝eq\f(OH,OD)＝eq\f(DH,BD).又∵sin∠ABC＝eq\f(2,3)，OB＝9，∴OD＝6，∴OH＝4，HB＝5，DH＝2eq\r(5).又∵△ADH∽△AFB，∴eq\f(AH,AB)＝eq\f(DH,FB)，∴FB＝eq\f(36\r(5),13).【方法点拨】在圆中利用相似三角形的性质与判定来计算有关线段长度是常用方法之一．学生需要从结论入手展开思维，借助在图形上标注已知量，寻找未知与已知的联系，从而找到解决问题的突破口．在复杂图形中寻求或构建相似基本图形是解题的关键．在本题中，我们就通过添加辅助线DH，构建了两种相似基本图形进行计算．考点四：运用方程思想解决圆的计算问题4、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD∶DC＝1∶3，AB＝8，求⊙O的半径．解：(1)证明：联结OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.∵CD⊥PA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°，即CD⊥OC.∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．(2)过O作OF⊥AB于F，∴∠OFA＝90°.∵AB＝8，∴AF＝4.在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴AO2＝42＋OF2.∵∠FDC＝∠OFA＝∠DCO＝90°，∴四边形DFOC是矩形，∴OC＝DF，OF＝CD.∵AD∶DC＝1∶3，∴设AD＝x，则DC＝OF＝3x，OA＝OC＝DF＝DA＋AF＝x＋4，∴(x＋4)2＝42＋(3x)2，解