鲁教版数学八年级下册全册课件(五四制)

鲁教版八年级下册数学全册优质课件菱形的性质与判定第一课时观察下面几幅图片，我们不难发现其中包含一些平行四边形，但这些平行四边形又有哪些共同的特征呢？与左图相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。

想一想（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？做一做

（2）菱形中有哪些相等的线段？用菱形纸片折一折，回答下列问题：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形两条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。结论已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。求证：

（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD。证明证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）。又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD。（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形。又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）。在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD。菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质。定理：菱形的四条边都相等。定理：菱形的两条对角线互相垂直。例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=2，求AB和AC的长。解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD（菱形的四条边都相等）

（菱形的对角线互相垂直）

(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，∵

是等边三角形∴AB=BD=2在中，由勾股定理，得课堂小结1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。3.菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。作业习题：知识技能、数学理解。谢谢2025/4/23第二课时菱形的性质与判定温故知新1.菱形的定义?2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需补充

就可以判定它是一个菱形。3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为

cm。展示交流上节课我们布置了几个任务:1.在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形;2.想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形;3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.请向同学们展示你的作品,全班交流。探索新知根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?先想一想,再与同伴交流。小明的想法平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题。受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形。小丽的想法我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形。但“四边相等的平行四边形是菱形”嘛……实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样。你是怎么想的?你认为小明的想法如何?与同伴交流一下。试一试对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD。

求证:□ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是线段AC的垂直平分线∴BA=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形∵四边形ABCD是平行四边形又∵AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?AC议一议以下是小刚的作法你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与同伴交流。如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD是菱形。请尝试证明下面的定理已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求证:

四边形ABCD是菱形证明:∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)四条边相等的四边形是菱形定理四条边相等的四边形是菱形∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形

做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试。先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形。你能说说这样做的道理吗?证明:在△AOB中,∴AB2=OA2+OB2∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.∴AC⊥BD∴□ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)例2已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1。求证：□ABCD是菱形∵AB=,OA=2,OB=1运用巩固1.课本随堂练习2.课本习题6.2知识技能1课堂小结1.本节课重点学习了什么知识,应用了哪些数学方法？2.判定一个四边形是菱形有哪些方法?3.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？谢谢2025/4/23第三课时菱形的性质与判定1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，（1）三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？（2）对角线AC与BD有什么位置关系？（3）若∠ADC=120°，求AC的长。☆回忆：菱形有哪些性质？答案：（1）6；（2）垂直平分；（3）

。知识回顾2025/4/232.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：。添加方式2：。☆回忆：菱形有哪些判定？一组邻边相等AC⊥BD1.典型例题：如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm。求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积。☆思路启迪：菱形的对角线有什么特点？知识应用1.典型例题（☆规范书写过程）

☆思考：菱形面积是如何求出的？菱形解（1）∵四边形ABCD是菱形，∴，即，∴在中，由勾股定理可得：∴（2）

2.变式训练：如图所示，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD=12cm，AC=16cm。求：（1）菱形的边长；

（2）求菱形一条边上的高。答案:（1）10cm；（2）9.6cm。☆思考：求菱形面积的方法有几种？☆知者加速1：已知菱形的周长为40，一条对角线长为16，则这个菱形的面积是。3.方法启迪（1）同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？（2）求菱形面积的方法有几种？☆重大发现：菱形的面积等于其对角线乘积的一半。☆知者加速1答案：96。如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？做一做如图你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？拓展提高1.如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC=

°，AC=

cm。2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是

cm²。效果测试3.已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（）。A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4.已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，求证：（1）△ADE≌CDF；

（2）∠DEF=∠DFE。效果检测答案：1.120；2.163.B4.提示：（1）SAS证明全等；（2）对应边相等。☆知者加速2：如图，在Rt△ABC=90°，BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。2025/4/231.通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？2.请从以下三个方面进行总结：知识收获、方法收获、关注问题。3.总结完成后请小组内进行交流。课堂小结1.必做题：课本知识技能。2.选做题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F。当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积。布置作业谢谢2025/4/23第一课时矩形的性质与判定观察下面的图片，我们能够发现其中包含了一些特殊的平行四边形，这些特殊的平行四边形有哪些共同的特征呢？2025/4/23矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。想一想（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？性质边角对角线对称性矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。

通过观察，可以发现矩形的四个角都是直角，对角线相等。下面我们来证明这些结论。推理论证已知：

如图，四边形ABCD是矩形∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。求证：

（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；

（2）

AC=BD。矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角。矩形的性质定理2：矩形的对角线相等。结论：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。想一想：矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?完善性质结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。思考：矩形是不是中心对称图形?如果是，那么对称中心是什么？总结一下矩形有哪些性质？归纳概括矩形的性质：从边来说，矩形的对边平行且相等；从角来说，矩形的四个角都是直角；从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(

）。A.对角相等

B.对边相等

C.对角线相等

D.对角线互相平分议一议如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，那么BE是Rt

中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得出怎样的结论？

定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。练一练：已知△ABC中，∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线。（1）若BD=3㎝，则AC＝_____㎝；（2）若∠C=30°,AB＝5㎝，则AC＝_____㎝，BD＝_____㎝。你能证明这个定理吗？例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD(矩形的对角线相等)OA=OC=AC，OB=OD=B。∴OA=OD。∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°。又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD=2AB=2×2.5=5。2025/4/23本节课你学到了什么？（1）矩形定义；（2）矩形的性质；（3）直角三角形的性质；（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=5。求BD与AD的长。2.一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求矩形较短边的长。作业习题：知识技能。谢谢2025/4/23第二课时矩形的性质与判定一个角是直角有一个角是直角的平行四边形。矩形平行四边形矩形的两条对角线相等且互相平分。矩形的对边平行且相等。矩形的四个角都是直角。边对角线角矩形的定义：矩形的性质知识回顾如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？问题（2）：当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？问题（1）：随着的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？对角线相等的平行四边形是矩形。猜想：2025/4/23四边形ABCD是平行四边形，AC，DB是它的两条对角线，AC=BD。四边形ABCD是矩形。已知：求证：对角线相等的平行四边形是矩形吗？ABCD证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

，

又∵，，∴∴∵∴∴∴是矩形（矩形的定义）。ABCDAC=BD四边形ABCD是矩形。矩形判定方法一：对角线相等的平行四边形是矩形。ABCD想一想我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形吗？能证明你的结论吗？与同伴交流。猜想：你能证明上述结论吗？有三个角是直角的四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形吗?证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，

∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。∴AD∥BC，AB∥CD。求证：四边形ABCD是矩形。∴四边形ABCD是平行四边形。已知：如图，在四边形ABCD，∠A=∠B=∠C=90°。DBCA∴四边形ABCD是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。∠A=∠B=∠C=90°四边形ABCD是矩形。DBCA矩形判定方法二：议一议：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流。例2：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=1。求□ABCD的面积。ABCDO已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC。求证：四边形ABCD是矩形。ABCDM练一练1：已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC。求证:四边形OCMD是矩形。练一练2：ABCDOM有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；矩形的判定方法：课堂小结布置作业知识技能。谢谢2025/4/23第三课时矩形的性质与判定1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5cm，则∠DAO=

，AC=

cm，S矩形ABCD=

.2.如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件

，可使它成为矩形。复习导入例3如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.例题解∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=DO=BD（矩形的对角线相等且互相平分）.∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）.∵ED=3BE，∴BE=OE.又∵AE⊥BD，∴AB=AO.∴AB=AO=BO.2025/4/23你还有其他的解法吗？和同学交流即△ABO是等边三角形.∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.在Rt△AED中，∵∠ADB=30°，∴AE=AD=×6=3.例3如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.2025/4/23例4如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=（∠BAC+∠CAM）

=×180°=90°.2025/4/23在△ABC中，∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°.∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.你还有其他的解法吗？和同学交流例4如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.巩固提高想一想

在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图）（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形练习课堂小结1、说说你的收获。2、说说你的困惑。3、说说你的方法。作业（一）习题6.6知识技能1、2问题解决3（二）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论。谢谢2025/4/23第一课时正方形的性质与判定图中四边形都是矩形，但有些矩形比较特殊，你能说出这些特殊矩形的特征吗?合作学习我们给出定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.议一议：（1）正方形是菱形吗?（2）你认为正方形有哪些性质？与同伴交流从我们得到数据分析：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.矩形性质边角对角线菱形性质边角对角线请同学们参照下表或独立整理矩形菱形的性质.2025/4/23于是我们得到了正方形的两条定理：定理

正方形的四个角都是直角，四条边都相等定理正方形的对角线相等且互相垂直平分想一想：正方形有几条对称轴解析：正方形有4条对称轴.经验层面：可通过折叠.分析层面：正方形具有矩形、菱形的所有性质，所以必然具有矩形过每组对边中点的对称轴和菱形过对角线的对称轴.性质应用例1：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延长BE交DE于点M，（如图）.∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流.这是老师的，你的呢？随堂练习1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.1：解：图中共有8个等腰三角形.2：解：图中的全等三角形共有3对，分别是△ADC与ABC,△FCD与FCB,△FAD与△FAB.选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF，又∵AF=AF∴△FAD≌△FAB.课堂小结1.正方形的性质：包括边、角、对角线以及对称性.2.将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系.3.建立起适合自己的知识结构并内化为自己数学品质的一部分.布置作业A层作业：习题6.7知识技能T1，T2B层作业：数学理解T3谢谢2025/4/23第二课时正方形的性质与判定将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？第一环节情景引入正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形。2.对角线垂直的矩形是正方形。3.有一个角是直角的菱形是正方形。

如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。证明：∵，，∴四边形BECF是平行四边形。∵四边形ABCD是矩形，∴，又∵BE平分，CE平分∴∴∴EB=EC∴BECF是菱形(菱形的定义)在中,∵,∴∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)第三环节猜想结论，分组验证1.如图，在ΔABC中，

EF为ΔABC的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A=

。

②若EF=8cm,

则AC=

。BFECA2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？DHGBFECA3.四边形EFGH的形状有什么特征？如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四边形可以是：依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边的中点能得到一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。议一议（1）依次连接菱形或矩形各边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明。（2）依次连接平行四边形各边的中点呢？依次连接四边形各边的中点所得到的新四边形的形状与那些线段有关系？有怎样的关系？特殊四边形的中点四边形：平行四边形的中点四边形是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形。矩形的中点四边形是菱形。正方形的中点四边形是正方形。等腰梯形的中点四边形是菱形。直角梯形的中点四边形是平行四边形。梯形的中点四边形是平行四边形。特殊四边形的中点四边形：归纳：特殊四边形的中点四边形：◆平行四边形的中点四边形是平行四边形◆矩形的中点四边形是菱形◆菱形的中点四边形是矩形◆正方形的中点四边形是正方形◆等腰梯形的中点四边形是菱形◆直角梯形的中点四边形是平行四边形◆梯形的中点四边形是平行四边形问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？3.你是从什么角度考虑的？4.你从哪儿得到的启发？5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形。对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形。对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形。归纳：一般四边形的中点四边形：

决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形第四环节学以致用ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGHABCD是凸四边形AB、AD在同一线段上ABCD是凹四边形ABCD是扭曲四边形拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形。图形发散练习随堂练习证明：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线垂直的矩形是正方形。第五环节课堂小结1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？第六环节布置作业必做：1.做课后习题。2.用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。谢谢2025/4/23二次根式2、什么是一个数的算术平方根？如何表示？1、什么叫做一个数的平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根.其中0的算术平方根是0.

用(a≥0)表示.

一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.a的平方根是(a≥0)2025/4/23

正数有两个平方根且互为相反数；

0有一个平方根是0；

负数没有平方根.

3、平方根的性质：4、16的平方根是什么?算术平方根是什么？4

2025/4/231、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：

和

2025/4/23(1)正方形的面积为2，它的边长是多少？面积为3呢？面积为S呢？议一议：(2)正方形的面积为S，如果把它的面积增加1，新正方形的边长是多少？观察问题（1）（2）所得到的式子，你发现它们有什么共同特点？它们都是形如的式子，并且被开方数都是非负数.2025/4/23

表示一些正数的算术平方根;a叫被开方数.形如（a≥0)的式子叫做二次根式;二次根式2025/4/23请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号；5.既可表示开平方运算，也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根；4.a≥0，

≥0

(双重非负性)；形如（a≥0)的式子叫做二次根式.6.根据算术平方根的定义，.2025/4/23

例1当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解:(1)由于被开方数是非负数，

可知a＋1≥0，得a≥﹣1.当a≥﹣1时，在实数范围内有意义.2025/4/23

例1当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解:(2)由于被开方数是非负数，

可知1－3a≥0，得a≤.当a≤

时，在实数范围内有意义.2025/4/23当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？思考：呢？x≥0x取任意实数2025/4/23

例2计算：解:分析：本题考查的是二次根式性质的应用.2025/4/231、a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?解：（1）由于被开方数是非负数，可知2a≥0，即a≥0.（2）由于被开方数是非负数，可知5+a≥0，即a≥－5.练习2025/4/232、计算：解:2025/4/233、已知a，b为实数，且满足你能求出a及a+b的值吗？解：依题意知：2b-1≥0，1-2b≥0，所以b=，把b=代入原式，得a=1，所以a+b=答案：a=1，

a+b=2025/4/23习题7.1作业通过本课时的学习，需要我们掌握：（1）二次根式的概念；（2）根号内字母的取值范围；（3）二次根式的性质：；

.

2025/4/23谢谢2025/4/23第一课时二次根式的性质1.什么叫二次根式？2.二次根式有意义的条件是什么？3.二次根式的性质有哪些？一般地，形如的式子叫二次根式，a叫被开方数。被开方数a

≥0。二次根式的双重非负性：2025/4/231.经历二次根式的性质:①

②

的发现过程,体验归纳,猜想的思想方法；2.会灵活运用上述两个性质进行计算和化简二次根式。2025/4/23（1）计算：（2）猜一猜，当a≥0时，二次根式的值是什么？议一议2025/4/23二次根式的性质：=（a≥0）（a＜0）当a≥0时，a若当a<0时，二次根式

的值又是什么？与同伴交流。2025/4/23想一想2.从取值范围来看：

a≥0a取任何实数1.从运算顺序来看：先开方,后平方先平方,后开方3.从运算结果来看:=aa

（a≥0）-a

（a＜0）=∣a∣=2025/4/23性质运用运用这条性质可以把能开尽方的被开方数开出根号外。例1化简：解：2025/4/23做一做计算下面的算式：6620202025/4/23议一议：观察上面得到的运算结果，你发现了什么规律？你能用自己的语言表述吗？

积的算术平方根的性质用公式如何表示？公式成立的条件是什么？2025/4/23性质运用运用这条性质可以把能开尽方的被开方数开出根号外。例2化简：解：2025/4/23检测1化简：化简：检测2展示台2025/4/23想一想：式子有意义吗？如果有意义，它应该等于多少？2025/4/231.用心算一算:（1）数a在数轴上的位置如图,则0-2-112025/4/23思考：（1）已知x

＜0，化简：试一试：2025/4/23点击中考:(河南省)实数p在数轴上的位置如图所示，化简：2025/4/23随堂练习1.判断下列各式是否成立：（1）；（2）。2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）。2025/4/23通过本课时的学习，需要我们掌握：（1）二次根式的性质：=（a≥0）（a＜0）（2）会利用二次根式的性质进行计算和化简。习题：知识技能。作业2025/4/23谢谢2025/4/23第二课时二次根式的性质1.什么叫二次根式？2.二次根式有意义的条件是什么？3.二次根式的性质有哪些？一般地，形如的式子叫二次根式。a叫被开方数。被开方数a≥0。二次根式的双重非负性：2025/4/231.经历二次根式的性质:的发现过程,

并会利用此性质进行计算；2.理解最简二次根式的概念，并会将一个二次根式化为最简二次根式。2025/4/23议一议：观察上面的运算结果，你发现了什么规律？你能用自己的语言表述吗？计算下列各式：即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。2025/4/23例3．化简：性质运用运用这条性质可以把能开尽方的被开方数开出根号外。解：2025/4/23小明在学习本节内容后,做一道化简题：解：原式=遇到带分数应该先把带分数化成假分数!解：原式=跟踪练习：2025/4/23如何化去根号内的分母？与同伴进行交流。

议一议

可以先利用分式的基本性质将1/2的分子与分母乘2，使分母成为完全平方数，再利用商的算术平方根的性质化去根号内的分母，即：2025/4/23例4.化去下列各式根号内的分母：解：2025/4/23观察上面的化简结果，等，发现它们有什么特点？（1）被开方数都不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的方的因数或因式。满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。注意：二次根式的化简结果必须是最简二次根式。

概念形成

2025/4/231.化简：（1）；（2）。2.化去下列各式根号内的分母：（1）；（2）。3.把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）。2025/4/231.商的算术平方根的性质:3.运用二次根式的性质化简时应该注意：（1）结果要化成最简二次根式；（2）被开方数是小数要化成分数，是带分数要先化成假分数，然后再运用性质。2.最简二次根式;习题：知识技能。作业2025/4/23谢谢2025/4/23二次根式的加减二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.最简二次根式2025/4/231.了解同类二次根式的概念并会判断；2.掌握二次根式的加、减运算法则，会进行二次根式的加减运算.2025/4/23（1）如图，两个长方形的宽都是m，它们的长分别是2m和3m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。你有什么发现？方法1：议一议方法2：2025/4/23（2）如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正方形的边长比小正方形的边长大多少？与同伴进行交流。大正方形的边长为小正方形的边长为所以，所求的是都不是最简二次根式2025/4/23

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。判断同类二次根式的关键是什么？(1)化成最简二次根式；(2)被开方数相同，根指数相同

(都等于2)。归纳总结2025/4/232.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A.B.

D.B1.下列各式中，哪些是同类二次根式？2025/4/23一般地，二次根式加减时，可以先将各个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合并。有括号时，要先去括号。简单来说就是：先化简,后合并。二次根式的加减法则同类二次根式可以像同类项那样进行合并。2025/4/23例计算：解：注意:不是同类二次根式的不能合并解：2025/4/23二次根式加减法的步骤：（3）合并同类二次根式。一化二找三合并（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；2025/4/23

比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？二次根式的加减实质是合并同类二次根式；整式的加减的实质是合并同类项。2025/4/23下列计算是否正确？为什么？FFFT想一想2025/4/231.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

，，，2.计算：（1）；（2）2025/4/23课本习题作业1.判断同类二次根式的关键是什么？（1）化成最简二次根式，（2）被开方数相同，根指数相同(都等于2)2.二次根式加减运算的步骤:（3）合并同类二次根式。

（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；2025/4/23谢谢2025/4/23第一课时二次根式的乘除2.二次根式的性质：（a≥0）（1）a（2）当a≥0时，=；当a≤0时，=.aa-a1.什么是最简二次根式？（1）被开方数都不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的方的因数或因式.2025/4/23（4）（a≥0，b＞0）（3）（a≥0，b≥0）积的算术平方根商的算术平方根2025/4/23掌握二次根式的乘、除法运算法则，会进行简单的二次根式的乘除运算。2025/4/23（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）我们学过了积的算术平方根和商的算术平方根公式，那么把他们反过来呢？二次根式的运算性质乘法法则除法法则2025/4/23你能用二次根式的运算性质来计算吗？例1计算：解：2025/4/23例1计算：解：你能用二次根式的运算性质来计算吗？2025/4/23想一想（1）你能说出例1中各题每步计算的一句吗？（2）例1（3）还有其他的解法吗？分子、分母同时乘以，分子、分母分别进行二次根式的乘法运算，再化简即可.2025/4/23例2计算：解：二次根式的乘除运算顺序与整式的乘除运算顺序相同，都是按照自左向右的顺序进行的.当然，有括号的先算括号里面的.2025/4/231.计算：2025/4/232.计算：2025/4/23二次根式的运算（乘除运算）（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）乘法法则除法法则习题7.5，知识技能．作业2025/4/23谢谢2025/4/23第二课时二次根式的乘除二次根式乘法和除法法则（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）2025/4/231.整式乘法中单项式乘多项式的法则用字母如何表示？2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母如何表示？3.乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字母如何表示？2025/4/23会在二次根式的运算中运用乘法公式，能进行二次根式简单的四则运算.2025/4/23我们已经学习了二次根式的加减法与乘除法，那么你会做下面的题目吗？例3计算：解：想一想，例3中的各题还有其他解法吗？2025/4/23二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，都是从高级到低级进行运算.即：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.归纳总结2025/4/23(a-b)(a+b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2多项式乘多项式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd平方差公式：完全平方公式：2025/4/23你能用上面公式来计算吗？例4计算：原式原式注意：运算结果中有理数部分写在前面，无理数部分写在后面。解：2025/4/23温馨提示：在二次根式运算中，乘法交换律、结合律、分配律及乘法公式仍然适用。原式原式例5计算：解：2025/4/23（2）1.计算：（1）2025/4/232.计算：（2）（3）（4）（1）2025/4/23

2.解答：已知,,求x2+xy+y2的值。检测反馈1.计算：（2）（3）（4）（1）2025/4/23运算结果中有理数部分写在前面，无理数部分写在后面.2.在二次根式运算中，乘法交换律、结合律、分配律及乘法公式仍然适用.1.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，都是从高级到低级进行运算.即：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.习题7.6，1．(3)~(6)2．作业2025/4/23谢谢2025/4/23第一课时一元二次方程1.经历从实际问题中抽象出一元二次方程概念的发生过程；2.理解一元二次方程的概念；3.了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次项、二次项系数，一次项、一次项系数和常数项。2025/4/23幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。你能求出这个宽度吗？2025/4/23x5m8mABCD18m2探究1

设所求宽度为x米，则长为(8-2x)米，宽为(5-2x)米。(8-2x)(5-2x)=18

2x2-13x+11=0

2025/4/23观察等式：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：根据题意，可得方程：x＋1,x＋2,x＋3,x＋4。(x＋1)2(x＋2)2＋(x＋3)2(x＋4)2＝＋x2＋探究2x2-8x-20=0

2025/4/23如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。若梯子的顶端下滑1m。那么梯子的底端向外滑动多少米？探究32025/4/238m易求滑动前梯子底端距墙

m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙

m；根据题意，可得方程：

66+xBCAEF6mxm10m72+(x＋6)2=1021mx2+12x-51=0

2025/4/23有什么相同之处？观察所得方程:(8-2x)(5-2x)=18

(x＋1)2(x＋2)2＋(x＋3)2(x＋4)2＝＋x2＋

(x＋6)2+72=1022x2-13x+11=0

x2-8x-20=0

x2+12x-51=0

共同点:(1)两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(3)未知数最高次数为2次；(4)可化成ax2+bx+c=0(a≠0)。2025/4/23只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式的整式方程叫做一元二次方程。2025/4/23判一判：下列方程哪些是一元二次方程?解:(1)、(4)2025/4/23

把ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。2025/4/23方程一般形式二次项系数一次项系数常数项练一练：把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：31-7-5101-8

42025/4/231.根据题意列出方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。2.把方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。2025/4/23本节课你学了哪些新知识呢？2.会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系。1.学习了什么是一元二次方程，它的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）和有关概念，如二次项、一次项、常数项；二次项系数、一次项系数等。2025/4/23作业课后练习。2025/4/23

提出一个问题往往比解决一个问题更重要。———爱因斯坦2025/4/23谢谢2025/4/23第二课时一元二次方程1.探索一元二次方程的解或近似解．2.培养估算意识和能力．3.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力．

2025/4/231.什么是一元二次方程？2.一元二次方程的一般形式是什么？3.对于一元二次方程

(1)(8-2x)(5-2x)=18；(2)(x+6)2+72=102

你能将其转化为一般形式吗？

幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？85xxxx

（8－2x）（5－2x）18m25

解：设所求的宽度为xm，根据题意，可得方程

(8－2x)(5－2x)=18

即2x2-13x+11=0

2025/4/23（1）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？（2）x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.1.x表示宽度，故x>0；2.8-2x＞0,5-2x>0，故x<2.5.所以x的大概范围是：0<x<2.5.2025/4/23（3）填写下表：x00.511.522.52x2-13x+111150-4-6-9（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．2025/4/23做一做如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？x8m110m7m6m解：设梯子底端滑动的距离为xm,根据题意，可得方程(x+6)2+72=102，

即

x2+12x-15=02025/4/23（1）小明认为梯子底端也向外滑动了1m，他的说法正确吗?为什么?当x=1时，

x2+12x-15=1+12-15=-2.2025/4/23（2）梯子底端向外滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么?当x=2时，x2+12x-15=4+24-15=13.当x=3时，x2+12x-15=9+36-15=30.（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?x表示滑动距离，故x>0；所以x的大概范围是：x>0.2025/4/23（4）x的整数部分是几?十分位是几?当x=1时，x2+12x-15=-2<0.当x=2时，x2+12x-15=13>0.1<x<2.x的整数部分是1，十分位不确定.2025/4/23小亮的做法：所以1＜x＜1.5135.25-2-8.75-15x2+12x-1521.510.50x2025/4/23x2+12x-153.761.42.291.30.841.2-0.591.1x小亮继续计算：所以1.1＜x＜1.2因此x的整数部分是1，十分位是1。2025/4/23用“夹逼”思想解一元二次方程的步骤：①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；②根据题意所列的具体情况再次进行排除；③列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。什么情况下适合用估算？2025/4/23

1.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗？

2025/4/23

2.是估算方程x2-3x-5=0的根.2025/4/23通过本堂课你有哪些收获？如何通过“夹逼法”估算一元二次方程的解？如何通过“列表法”估算一元二次方程的值？2025/4/23习题8.2

第1、2题。作业：2025/4/23

提出一个问题往往比解决一个问题更重要。

———爱因斯坦2025/4/23谢谢2025/4/23第一课时用配方法解一元二次方程(1)理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。(2)会用直接开平方法解一元二次方程。(3)初步理解配方法。2025/4/23怎样解一元二次方程呢？比如，解一元二次方程：x2-9=0。如果将常数项-9移到方程的右边，可以得到x2=9。根据平方根的意义，x就是9的平方根，而9的平方根就是+3和-3，因此应该有x=3。这就是说，x=3就是方程x2-9=0的一个根；同样，x=-3也是方程x2-9=0的一个根。这时，我们说方程x2=9有两个根x1=3，x2=-3。2025/4/23议一议可以直接开平方，这样的方程有什么特征？你能借助这个经验接下面的两个方程吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。（1）（2）2025/4/23

如果一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式的完全平方式，而另一边是一个非负数，那么就可以根据平方根的意义，通过开平方求出这个方程的根。2025/4/23

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。开平方法解一元二次的依：平方根的意义。2025/4/23利用完全平方式平方根的意义求出x的值这样的方程你会处理吗？解：原方程就是开平方，得所以2025/4/231.解下列方程：（2）0.01x2－0.25=0

（1）49x2=25（3）（4）2025/4/23（2）（4）2.解下列方程：（1）（3）2025/4/23形如x2=a(a≥0)的方程，用开平方法。即若二元一次方程的左边是一个含有未知数的一次式的完全平方数，右边是一个非负数，可以根据平方根的意义，通过开平方法求解。这节课你收获了什么？2025/4/23课后习题作业2025/4/23谢谢2025/4/23第二课时用配方法解一元二次方程(1)理解配方法；(2)会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。2025/4/231.若一个数的平方等于9，则这个数是

，若一个数的平方等于7，则这个数是。

2.一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？

3.用字母表示因式分解的完全平方公式。

上节课我们求了x2+12x-15=0的近似解,你能得到它的精确值吗？议一议

解方程x2+12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x2+12x-15=0转化成你会解的方程的形式吗？2025/4/23

解这个一元二次方程，要设法将其转化为熟悉的形式左边是含有未知数的一次式的完全平方式；

右边是一个常数。2025/4/236为此，将方程两边同时加上512025/4/23

把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。即两边开平方，得因此，方程有两个根

，

这里，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为的形式，当时，两边开平方便可求出它的根。2025/4/23各等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+bx的式子如何配成完全平方式？x2+2x+___=(______)2x2-4x-___=(_____)2x2+8x+___=(______)2x+6x-x+填上适当的数，使下列等式成立。做一做2025/4/23用配方法解二次项系数是1的一元二次方程在时，添上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？常数项是一次项系数的一半的平方。2025/4/23解方程：x2+8x-9=0解:把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9两边都加上一次项系数8的一半的平方，得x2+8x＋42=9＋42（x+4）2=25开平方，得x+4=±5即x+4=5,或x+4=-5所以x1=1，x2=-92025/4/23总结：用配方法解一元二次方程的步骤移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；开方：根据平方根意义，方程两边开平方;求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解。2025/4/23用配方法解方程x2＋12x+9=0方程的两边都加上36，得x2+12x+36=﹣9+36即(x+6)2=27解:移项得x2+12x=﹣9开平方，得所以2025/4/231.填上适当的数，使下列等式成立：（1）（2）（3）（4）2.解下列方程：（1）（2）（3）（4）2025/4/23谈谈你的收获1.用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？2.用配方法解一元二次方程应注意什么问题？2025/4/23课后习题。作业2025/4/23谢谢2025/4/23第三课时用配方法解一元二次方程1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；2.会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。2025/4/23上节课我们学习了配方法解一元二次方程的基本步骤:例如，x2-6x-40=0移项，得x2-6x=40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即(x-3)2=49开平方，得x-3=±7即x-3=7或x-3=-7所以x1=10,x2=-4练一练解下列一元二次方程:1.x2-6x=-82.-x2+5x-9=03.x2=10x-30请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别。1.x2+6x+8=02.3x2+18x+24=0这两个方程有什么联系？2025/4/23如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同除以二次项系数，这样就可以利用上节课学过的知识解方程了！2x2+8x+6=0------x2+4x+3=03x2+6x-9=0-