2022年3月厦门市高三一检答案

厦门市2022届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-6BCDBBD7-12CDCDAA12.解析：由题意知，与关于直线对称，设，则，，，，，，在区间上单调递减，且，，在区间存在唯一零点，即为.令得：，即.由不等式得：，解得：，故选A.命题意图：考查三角函数的图象与性质、导数、零点、不等式等，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.15.16.15.解析：由三视图可得三棱锥的直观图如图所示，取的中点，连接，设为的外心，为三棱锥的外接球的半径，则在线段上，因为，即，解得：，所以，16.解析：（法一）由得：在坐标系中考察函数与的图象，所以，的最小值等价于直线与函数，交点横坐标之间距离的最小值.设直线与相切于点，则，解得：，所以，，故.（法二）由得：，则，令，则，当时，；当时，；当时，；所以，在单调递增，在单调递减，故，所以，三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题以递推数列为背景考查等差数列的判定以及利用基本量的求和运算，（Ⅰ）重点考查利用数列递推形式构造等差或等比数列以及等差数列的判定方法；（Ⅱ）主要考查数列求和应首先探寻通项公式，通过分析通项公式的特征发现求和的方法.满分12分．（Ⅰ）证明：法一：由，得 3分数列是首项为，公差为的等差数列 5分法二：由得 3分 4分数列是首项为，公差为的等差数列 5分（Ⅱ）解：设 7分由（Ⅰ）得，数列为公差为的等差数列即 8分，且是首项，公差为的等差数列 10分 12分18.本小题主要考查对频数分布表的理解与应用，古典概型、随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）由已知可得下表人数次数年龄[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]合计青年人102040608090300中年人221833371911140老年人151310125560本市一个青年人月骑车的平均次数：. 5分（Ⅱ）本市老年人或中年人中月骑车时间超过40次的概率为. 7分，，故. 9分所以的分布列如下：0123 11分. 12分19．本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合思想、化归与转化、或然与必然等数学思想．满分12分．证明：（1）法一：连接相交于点，取的中点为,连接.是正方形，是的中点，,又因为,所以且，所以四边形是平行四边形， 3分，又因为平面,平面平面 5分法二：延长相交于点,连接.因为，是的中点，所以且，所以四边形是平行四边形， 3分，又因为平面,平面平面 5分（2）是正方形，是直角梯形，，,平面,同理可得平面.又平面，所以平面平面,又因为二面角为，所以,,,由余弦定理得,所以,又因为平面，,所以平面， 7分法一：以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则, 8分所以,设平面的一个法向量为，则即令，则，所以 11分设直线和平面所成角为，则 12分法二：取的中点为,的中点为，连接.以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则 8分以,设平面的一个法向量为，则即令，则，所以 11分设直线和平面所成角为，则 12分20.本题考查函数单调性、极值、零点的基础知识，考查学生运算求解与推理论证的能力，运用导数工具解决函数与方程、不等式综合问题的能力。考查数形结合，分类与整合，转化与化归的数学思想。解：（1）法1：由已知 1分令， 2分单调递增，单调递减 3分综上：或时，有1个零点时，有2个零点时，有0个零点 5分法2：，， 1分时，单调递增，，所以，有1个零点 2分时，，单调递增，单调递减，时，，0个零点时，，1个零点 4分时，，，，所以，此时有2个零点综上：或时，有1个零点时，有2个零点时，有0个零点 5分（2）证明：法1：要证即证令， 7分9分单调递减 11分单调递增，单调递减，综上： 12分法2要证即证令， 7分令，令令 9分单调递增，单调递减单调递减，单调递减 11分单调递增，单调递减，综上： 12分21．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理运算和方程求解能力.运用化归转化手段.将切线长最短问题转化为椭圆上的动点到定点距离最短问题；考查圆锥曲线中的有关定值问题，从变化中寻找不变量，并通过必要的推理和运算化简求值.考查转化化归思想、分类整合思想.（Ⅰ）解：如图1，因为，所以，POMNyxPOMNyx图1故点在圆外，不妨设与圆相切于T，则有：切线长 1分代入得 3分由已知得：，解得：，所以椭圆的方程为： 4分POMNyx图2（Ⅱ）解：1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得，代入椭圆方程得：，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则的面积为POMNyx图22°当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：，由得：，整理得：（*）， 6分由1°知：，即，此时，方程（*）必有两个非零根，记为,则分别对应直线的斜率，由韦达定理得：，将代入得： 7分解法一：（求交点坐标）由上知：，设点N位于第一、三象限，点M位于第二、四象限，若点N位于第一象限，点M位于第二象限，ABOMNyxABOMNyxM1N1图3设ON：与椭圆方程联立可得： 9分 10分代入坐标有：同理，当点M、N位于其它象限时，结论也成立综上，的面积为定值. 12分解法二：（探寻直线MN方程特征）（接上）设OMNyx图4OMNyx图4将与椭圆方程联立可得：，，由得， 8分代入有：整理得：； 9分又而原点O到直线的距离为 11分.所以的面积为定值. 12分22．本题考查学生对直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的相互转化，利用极坐标方程求解弦长问题，三角形最值问题，通过直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的互化考查化归与转化、数形结合的思想.解：（Ⅰ）依题意得，曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为， 3分直线的直角坐标方程为． 5分（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为，由题意设，，则，即，得或（舍），，则， 7分到的距离为．以为底边的的高的最大值为．则的面积的最大值为． 10分23.本题考查学生对绝对值不等式的理解与运用，考查学生对绝对值函数的运算求解能力，考查分类与整合、函数与方程思想和数形结合等思想．本题以绝对值函数为背景，设置学生熟悉的绝对值函数化为分段函数以及不等式求解问题．解：（Ⅰ）解法一： 1分作出函数的图象……3分由的解集为及函数图象得得…………5分解法二： 1分①得得， 2分②得，不合题意 3分③得当时，，不符合，舍去当时， 4分综上不等式的解集为， 5分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 6分有解即 8分