材料力学课件

第1章绪论本章主要内容§1-1材料力学的任务§1-2变形固体的基本假设§1-3外力、内力及应力的概念§1-4位移、变形及应变的概念§1-5构件的分类杆件的基本变形桥梁结构§1-1材料力学的任务四、工程力学的典型应用案例木牛流马工业机器人并联机床鸟巢国家大剧院苏通大桥鸟巢国家大剧院航空航天比萨斜塔四川彩虹桥坍塌一、对构件的三项基本要求具有足够的强度

构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。例如储气罐不应爆破。(破坏——断裂或变形过量不能恢复）具有足够的刚度

构件在外载作用下，抵抗可恢复变形的能力。例如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。满足稳定性要求

构件在某种外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。例如柱子不能弯等。

上面提到了术语1、构件ComponentorMember：组成机械的零件或构筑物的杆件统称为构件。2、结构Structure：由构件组成的体系，工程结构是工程实际中采用的结构。3、载荷Load：构件和结构承受的负载或荷重。载荷有——内载荷与外载荷4、变形Deformation：在载荷的作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形。二、材料力学的任务1）研究材料的力学性能

2）研究构件的强度、刚度和稳定性等

3）合理解决安全与经济之间的矛盾

构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。三、材料力学的作用——

承前启后的阶段性

1.后续的力学（其它的变形体力学）学好材料力学对学习其他变形体力学的奠基作用结构力学，弹性力学，塑性力学，断裂力学，流体力学

2.后续的专业课程建筑结构机械设计结构设计原理3.有助于学习其它工程：土木、机械、航空、航天、交通、运输、材料、生物、工程、仪表等4.今后工程工作中直接受益§1-2变形固体的基本假设连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质

在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，故构件一般都是变形固体。均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同小变形与线弹性范围ABCFδ1δ2

δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。§1-3外力及其分类外力：按外力作用的方式体积力:是连续分布于物体内部各点的力如物体的自重和惯性力面积力:如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力等按时间分布力：集中力：静载：动载：缓慢加载（a≈0）快速加载（a≠0），或冲击加载

外力作用引起构件内部的附加相互作用力。求内力的方法－－截面法1、切2、留3、代4、平内力§1-4内力、截面法及应力的概念FSMFFaa一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到应力的国际单位为Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa应力总量P可以分解成:垂直于截面的分量σ－－正应力平行于截面的分量τ－－切应力应力§1-5变形及应变F位移线位移角位移变形线变形角变形应变线（正）应变角（切）应变AA’C’D’E’CDE构件的分类：杆件、板壳、块体杆件：直杆：折杆：曲杆：等截面直杆、变截面直杆等截面折杆、变截面折杆*等截面曲杆、变截面曲杆*拉压变形拉（压）、剪切、扭转、弯曲剪切变形杆件的基本变形：§1-6构件的分类杆件的基本变形扭转变形弯曲变形本章小结一、知识点1、了解材料力学的任务，基本假设。2、了解外力、内力、应力等基本概念。3、掌握截面法求内力的方法。4、了解基本变形的分类及对应实例。二、重点内容1、掌握截面法求内力的方法。第2章轴向拉伸与压缩§2–1引言§2–2用截面法计算拉(压)杆的内力§2–3拉压杆的强度条件§2-4拉压杆的变形胡克定律§2-5材料拉伸和压缩时的力学性能§2-6温度和时间对材料力学性能的影响§2-7拉伸、压缩超静定问题本章主要内容§2–1引言轴向拉压的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、概念轴向拉压的变形特点：轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的外力称为压力。轴向拉伸，对应的外力称为拉力。力学模型如图二、工程实例一、内力

指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。§2–2用截面法计算拉(压)杆的内力二、截面法·

轴力

内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步骤：①截开：在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。②代替：任取一部分，弃去部分对留下部分的作用，以内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）2.轴力——轴向拉压杆的内力，用N表示。例如：截面法求N。

APP简图APPPAN截开：代替：平衡：①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；②反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。三、轴力图—N(x)的图象表示。3.轴力的正负规定:

N与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N>0NNN<0NNNxP+意义[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、

P

的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力N1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN1同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：

N2=–3P

N3=5PN4=P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的P

，轴力N增量为正；遇到向右的P

，轴力N增量为负。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力N(x)为：qq

LxO[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)Nxxq(x)NxO–四、应力的概念问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度

应力；

②材料承受荷载的能力。1.定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

P

AM①平均应力(

A上平均内力集度)②全应力（总应力）：(M点内力集度)2.应力的表示：③全应力分解为：p

M

垂直于截面的应力称为“正应力”(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearStress)。

应力单位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。（直杆在轴向拉压时）

abcd受载变形后：各纵向纤维变形相同。PPd´a´c´b´五、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。2.拉伸应力：sNP轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：拉正压负.5.应力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突变处，应力急剧变大。

4.Saint-Venant原理：离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。变形示意图：(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)应力分布示意图：二、安全系数n：静载:n=1.25~2.5一、极限应力sjx：指材料破坏时的应力.三、许用应力：

动载:n=2~3.5or3~9(危险性大)杆件能安全工作的应力最大值

采用安全系数原因:1.极限应力的差异. 2.横截面尺寸的差异. 3.载荷估计不准. 4.应力计算的近似性. 5.构件与工程的重要性. 6.减轻设备自重的要求.n↑安全↔n↓经济

§2–3拉（压）杆的强度条件其中

max--（危险点的）最大工作应力②设计截面尺寸：依强度准则可进行三种强度计算：①校核强度：③确定许可载荷：

四、强度条件(拉压杆)：

五、三类强度问题：

[例3]已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力

[

]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：N=P

=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。[例4]已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力[

]=170MPa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m①整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mq4.2mRARBHA③应力：④强度校核与结论：

此杆满足强度要求，是安全的。②局部平衡求轴力：

qRAHARCHCN[例5]简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使BD杆最轻，角

应为何值？已知BD

杆的许用应力为[

]。分析：xLhqPABCD

BD杆面积A：解：

BD杆内力N(q)：取AC为研究对象，如图YAXAqNBxLPABCBD杆轴力最大值:YAXAqNBxLPABC③求VBD

的最小值：拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkka①采用截面法切开,左部平衡由平衡方程：Pa=P则：Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。由几何关系：代入上式，得：其中s0为a=0面,即横截面上的正应力.PkkaPa②仿照证明横截面上正应力均布也可证斜截面……PPkka斜截面上全应力：PkkaPa③pa分解为：pa=反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当

=90时，当

=0,90时，当

=0时，(横截面上存在最大正应力)当

=±45时，(45°斜截面上剪应力达到最大)tasaa2、单元体：

单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质—a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。3、拉压杆内一点M

的应力单元体:

1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。补充：

sPMssss取分离体如图3，a逆时针为正；ta绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：4、拉压杆斜截面上的应力ssss

tasaxs0图3例6直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为[

]=100MPa；许用剪应力为[

]=50MPa，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A=4cm²，试问:为使杆承受最大拉力,

角值应为多大?(规定:

在0~60度之间)。联立(1)、(2)得：PPmna解：Pa6030B(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左侧由正应力控制杆的强度，B点右侧由剪应力控制杆的强度，当a=60°时，由(2)式得解(1)、(2)曲线交点处：讨论：若Pa6030B1

1、杆的纵向总变形：

3、纵向线应变：2、线应变：单位长度的变形量。一、拉压杆的变形及应变§2－4拉压杆的变形胡克定律abcdLPPd´a´c´b´L15、横向线应变：4、杆的横向变形：二、胡克定律(弹性范围内)

※“EA”称为杆的抗拉压刚度。

3、泊松比（或横向变形系数）

1、拉压杆的胡克定律

2、单向应力状态下的胡克定律E—拉压弹性模量

C'1、怎样画小变形放大图？

变形图严格画法，图中弧线；

求各杆的变形量△Li

，如图；

变形图近似画法，图中弧之切线。例8小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2PC"2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L2B'解：变形图如图2，B点位移至B'点，由图知：例9设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：方法1：小变形放大图法

1）求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXACPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）变形图如左图,C点的垂直位移为：§2－5材料拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；

2、试验对象：标准试件。dh力学性能：材料在外力作用下,在强度与变形方面表现出的特性。3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。二、低碳钢试件的拉伸图(P--

L图)三、低碳钢试件的应力--应变曲线(

--

图)(二)低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段(es

段)es--屈服段:

s---屈服极限滑移线：塑性材料的失效应力:

s

。２、卸载定律：１、

ｂ---强度极限３、冷作硬化：４、冷拉时效：(三)、低碳钢拉伸的强化阶段(ｓｂ段)

1、延伸率:

2、截面收缩率：

3、脆性、塑性及相对性(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段(bf段)

四、无明显屈服现象的塑性材料

0.2s0.2名义屈服应力:

0.2

，即此类材料的失效应力。五、铸铁拉伸时的机械性能

ｂL---铸铁拉伸强度极限（失效应力）六、材料压缩时的机械性能

ｂy---铸铁压缩强度极限；

ｂy

（4—6）

ｂL

七、安全系数、容许应力、极限应力n1、许用应力：2、极限应力：3、安全系数：解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故，不可再应用“弹性定律”。应如下计算：例10铜丝直径d=2mm，长L=500mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm，则大约需加多大的力P？由拉伸图知：s(MPa)e(%)一、温度对材料力学性能的影响（短期，静载下）§2–6温度和时间对材料力学性能的影响

但在260°以前随温度的升高，

b反而增大，同时

、

却减小。但象低碳钢这种在260°以前的特征，并非所有的钢材都具有。总趋势:温度升高,E、

S

、

b下降；

、

增大。0100200300400500216177137700600500400300200100100908070605040302010Ed温度对铬锰合金力学性能的影响200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800d80706050403020100

P(kN)------0510153020100

Dl(mm)---0510153020100

P(kN)

Dl(mm)温度降低，塑性降低，强度极限提高1、蠕变：

在高温和长期静载作用下，即使构件上的应力不变，塑性变形却随时间而缓慢增加，直至破坏。这种现象称为蠕变。注意：应力没增加，杆自己在长长！P经过较长时间后P加静载二、蠕变与松驰（高温，长期静载下）构件的工作段不能超过稳定阶段！

etOABCDE不稳定阶段稳定阶段加速阶段破坏阶段

e0材料的蠕变曲线应力不变温度越高蠕变越快T1T2T3T4s1s2s3s4温度不变应力越高蠕变越快蠕变变形是不可恢复的塑性变形。2、应力松弛：

在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小。这种现象称为应力松弛。杆也是自己长了一段！经过较长时间后卸载加静载温度不变e2e1e3初应力越大，松弛的初速率越大初始弹性应变不变T1T3T2温度越高，松弛的初速率越大§2－7拉伸、压缩超静定问题1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力

（外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。不稳定平衡稳定平衡静定问题超静定问题例11设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、

L3=L

；各杆面积为A1=A2=A、A3

；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：

、平衡方程:PAN1N3N2

几何方程——变形协调方程：

物理方程——弹性定律：

补充方程：由几何方程和物理方程得。

解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:CABD123A1

平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——胡克定律；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：例12木制短柱的四角用四个40

40

4的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求许可载荷P。

几何方程

物理方程及补充方程：解：

平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2

解平衡方程和补充方程，得:

求结构的许可载荷：

方法1:角钢面积由型钢表查得:

A1=3.086cm2所以在△1=△2

的前提下，角钢将先达到极限状态,即角钢决定最大载荷。

求结构的许可载荷：另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？

若将木的边长变为25mm，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:

、几何方程解：

、平衡方程:2、超静定问题存在装配应力。二、装配应力——预应力1、静定问题无装配应力。

如图，3号杆的尺寸误差为

，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13A1N1N2N3

、物理方程及补充方程：

、解平衡方程和补充方程，得:dA1N1N2N3AA1

、几何方程1、静定问题无温度应力。三、温度应力ABC12CABD1232、超静定问题存在温度应力。（可自由伸缩）（不可自由伸缩，→内力→应力＝热应力）

aaaaN1N2例13如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃

时被固定,杆的上下两段的面积分别

=cm2，

=cm2，当温度升至T2

=25℃时,求各杆的温度应力。

(线膨胀系数

=12.5×；

弹性模量E=200GPa)

、几何方程：解：

、平衡方程：

、物理方程解平衡方程和补充方程，得:

、补充方程

、温度应力(一)低碳钢拉伸的弹性阶段(oe段)1、op--比例段:

p--比例极限2、pe--曲线段:

e--弹性极限一、知识点1、掌握横截面和斜截面的应力计算方法2、掌握轴力图的画法3、了解虎克定律4、了解拉压杆的强度条件5、掌握超静定问题的解法二、重点内容1、轴力图的画法2、超静定问题的解法本章小结第3章剪切和挤压

本章主要内容§3-1剪切与挤压的概念§3-2剪切和挤压的强度计算剪切的工程实例§3-1剪切与挤压的概念剪切件简化如下图螺栓连接铆钉连接销轴连接平键连接榫连接焊接连接剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。一.剪切的强度计算FF得切应力计算公式：切应力强度条件：常由实验方法确定

假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的§3-2剪切和挤压的强度计算二.挤压的强度计算

假设应力在挤压面上是均匀分布的得实用挤压应力公式挤压强度条件：常由实验方法确定*注意挤压面面积的计算FF挤压强度条件：切应力强度条件：脆性材料：塑性材料：

为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足例1：图示接头，受轴向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。

2.板的剪切强度解：1.板的拉伸强度3.铆钉的剪切强度

4.板和铆钉的挤压强度

结论：强度足够。例2：冲头简化如图所示。冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为F=400kN，冲头材料的许用压应力MPa，钢板的许用切应力MPa，求在最大冲力作用下所能冲剪得圆孔最小直径d和板的最大厚度t。解：(1)确定圆孔的最小直径d。(2)计算钢板的最大厚度t。mmmmmm

焊缝剪切计算有效剪切面三.其它连接件的实用计算方法本章小结一、知识点1、了解剪切变形的特点2、掌握剪切实用计算3、掌握挤压实用计算二、重点内容1、剪切实用计算2、挤压实用计算第4章扭转本章主要内容

§4-1圆轴扭转的概念与实例扭矩与扭矩图

§4-2圆轴扭转时的应力和强度计算

§4-3圆轴扭转时的变形与刚度计算

§4-1圆轴扭转的概念与实例扭矩与扭矩图一、圆轴扭转的概念与实例

1、扭转的概念

杆件的两端受到大小相等、转向相反且作用平面直垂于杆轴线的力偶的作用，致使杆件各横截面都绕杆轴线发生相对转动，杆件表面的纵向线将变成螺旋线。

2、扭转的受力特点：受一对等值、反向、作用面在横截面内的力偶作用时，圆轴产生扭转变形。

3、圆轴扭转的变形特点：各横截面绕杆轴线发生相对错动。

轴：以扭转变形为主的杆件称为轴4、实例

发生扭转变形的水轮机轴

二、扭矩与扭矩图１、外力偶矩的计算

已知轴传递的功率，轴的转速，力偶矩的计算公式为：其中：P---功率（kW)

T---外力偶矩(N.m)

n---轴的转速（r/min)２、扭矩：（１）、截面法分析扭转的内力——扭矩(T)当杆件受到外力偶矩作用发生扭转变形时其横截面上的内力偶矩。（用T表示；单位：N.m或kN.m)（２）、扭矩的正负号规定右手螺旋法则。（３）、指定截面扭矩的计算方法。用一假想的截从要求内力处将杆件切开分成两段，取其中的任意一段为研究对象，画出其受力图，利用平衡方程，求出内力（扭矩）注意：在受力图中，扭矩最好假设成正方向，如上图。

由力偶平衡得：

Me-T=0即：T=Me

3、扭矩图：用一个图形来表示截面上的扭矩随其截面位置变化关系。例1：图示圆轴的外力偶矩

MB=636.6N.m，MA=1591.5N.m，MC=954.9N.m。试作出其扭矩图。解：1、用一截面从1-1处将轴切开，取左部分为研究对象，受力图如图（c)由（c）图可得：T1-MB=0所以

T1=636.6N.m2、用一截面从2-2处将轴切开，取右部分为研究对象，受力图如图（d)由（d）图可得：T2+MC=0所以

T2=-954.9N.m3、作扭矩图如图(b)§4-2圆轴扭转时的应力和强度计算目的要求：掌握扭转横截面上的应力分布规律和强度条件的应用。

教学重点：强度条件及其应用。

教学难点：切应力互等定理和剪切胡克定律。

§4-2圆轴扭转时的应力和强度计算一、切应力互等定理和剪切胡克定律

１、切应力互等定理

相互垂直两个平面上的切应力必然成对存在，且大小相等、方向都垂直指向或背离两平面的交线。２、剪切胡克定律τ＝τ’

（１）、切应变：切应力只产生角应变，单元体的直角的改变量称为切应变。

（２）、剪切胡克定律在剪切比例极限的范围内，切应力和切应变成正比。比例常数为材料的切变模量（G）。

τ＝Gγ

二、圆轴扭转时横截面上的应力１、切应力及其分布规律２、横截面上任一点的切应力计算公式其中：T---截面上的扭矩

ρ---要求应力的点到圆心O点的距离３、横截面上最大切应力发生在周边上，计算公式为4、实心和空心圆截的惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp

(1)实心圆截面（2）空心圆截面三、圆轴扭转时的强度计算１、强度条件２、例题例1：如图所示，一钢制圆轴两端受外力偶m作用，已知m=2.5KN，直径d=6cm，许用应力[τ]=60MPa，试校核该轴的强度。解：1、计算轴的扭矩T

将轴在离左端任一距离处用截面切开，取左段为脱离体，画出其受力图如下图，由平衡条件可得：T=M2、校核强度

此轴满足强度要求§4-3圆轴扭转时的变形与刚度计算目的要求：掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条件。

教学重点：圆轴扭转的刚度条件。教学难点：对圆轴扭转的刚度条件的理解和应用。

§4-3圆轴扭转时的变形与刚度计算一、圆轴扭转时的变形计算

1、扭转角(φ)：圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。

2、单位扭转角(θ)：单位长度上的扭转角。(rad/m)

其中：T---截面上的扭矩

Iρ---截面对圆心O点的极惯性矩

L---两截面之间的距离G---剪切弹性模量二、圆轴扭转时的刚度计算

１、刚度条件

其中：[θ]---许用单位扭转角（rad/m或°/m)三、刚度计算举例

例2：如图所示的实心传动轴，Nk1=50KW，Nk2=150KW，Nk3=100KW，n=300r/min，许用应力[τ]=100MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa，试设计此轴的直径D。

解：1、求外力偶矩

2、求各段的扭矩

T1=M1=1591.7N.m

T2=M1-M2=3183.3N.m

4、设计直径由5、按刚度条件设计D

由强度计算和刚度计算可知

D≥69.4mm【例9】已知解放牌汽车的传动轴AB，如图所示，是由45号无缝钢管制成，外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，传递的最大力矩为M=1.5kN⋅m，材料的许用应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，[θ]=2o/m。(1)试校核其强度和刚度；(2)若改用相同材料的实心轴，并要求它和原来的传动轴的强度相同，试计算其直径D1

；生物力学中，动物骨头的内外直径比为8：11，若采用这一比例，试计算其外径D2；

(3)比较以上三种设计的重量。解：(1)校核传动轴AB的强度和刚度

按强度条件

MPa<按刚度条件

o/m<(2)计算另外两种轴的直径。

mmmm(3)比较以上三种设计的重量：结论：虽然最好的设计方法是第二种设计方案，但第三种设计方案外径较小，当然在实际的工程应用中根据实际情况，选取合适的设计方案。

本章小结一、知识点1、掌握圆轴扭转切应力的计算2、了解圆轴扭转时的强度条件3、了解圆轴扭转时的刚度条件二、重点内容1、圆轴扭转时的强度计算2、圆轴扭转时的刚度计算第5章平面的几何性质

§5–1面积矩与形心位置

§5–2惯性矩、惯性积、极惯性矩

§5–3惯性矩和惯性积的平行移轴定理

§5–4惯性矩和惯性积的转轴定理、截面的主惯性轴和主惯性矩本章主要内容一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)

是面积与它到轴的距离之积。dAxyyx§5-1静矩与形心位置二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)等厚均质质心：等于形心坐标dAxyyx例1

试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1xy一、惯性矩：(与转动惯量类似）

是面积与它到轴的距离的平方之积。

dAxyyxr二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。§5-2惯性矩、惯性积、极惯性矩dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果x或y

是对称轴，则Ixy=0一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC§5-3惯性矩和惯性积的平行移轴定理注意:C点必须为形心例2

求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆一、惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxax1y1x1y1§5-4惯性矩和惯性积的转轴定理、截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到

=

0

时；恰好有与

0

对应的旋转轴x0

y0

称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。2.形心主轴和形心主惯性矩：

主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩：3.求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC⑤求形心主轴方向

—

0

⑥求形心主惯性矩例3

在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：①建立坐标系如图。②求形心位置。③

建立形心坐标系；求：IyC

，IxC

，IxCy

db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1本章小结一、知识点1、熟练计算典型形状的静矩和形心2、熟练计算典型形状的惯性矩、惯性积、惯性半径3、掌握平行移轴公式的应用方法二、重点内容1、常见形状的二次矩计算2、平行移轴公式第6章梁弯曲内力及强度计算

本章主要内容

§6-1概述

§6-2受弯杆件的简化

§6-3剪力和弯矩

§6-4剪力图和弯矩图

§6-5载荷集度剪力和弯矩间的关系

§6-6平面刚架和曲杆的内力

§6-7横力弯曲时的正应力及正应力强度计算

§6-1概述起重机大梁1镗刀杆车削工件火车轮轴弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁受力特点：外力垂直于轴线变形特点：轴线由直线变成曲线常见弯曲构件截面具有纵向对称面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线平面弯曲梁的载荷与支座集中载荷分布载荷集中力偶固定铰支座活动铰支座固定端§6-2受弯杆件的简化2火车轮轴简化吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷非均匀分布载荷简支梁外伸梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式FNFSM

FS剪力，平行于横截面的内力合力

M

弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩FByFNFSM§6-3剪力和弯矩3FAyFAyFNFSMFByFNFSM

截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_

截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。+_

左上右下为正；反之为负

左顺右逆为正；反之为负解：1.确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力FAyFSEME

求图示简支梁E截面的内力FAyFByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEOFAyFBy

截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。FAyFSE2FFAyFBy

截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。FAy2FMEq悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为

§6-4剪力图和弯矩图4qxBAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFabBAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CMabBAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCx3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx§6-5载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：5

载荷集度、剪力和弯矩关系：q＝0，Fs=常数，剪力图为水平线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q>0），抛物线呈上凹形；分布载荷向下（q<0），抛物线呈下凹形。3.

剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.

集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变q(x)=0的区间q(x)=C的区间集中力F作用处力偶M作用处FS图M图

载荷集度、剪力和弯矩关系：水平线FS>0,斜直线，斜率>0FS<0,斜直线，斜率<0FS=0,水平线，斜率=0q(x)>0,斜直线，斜率>0q(x)<0,斜直线，斜率<0q(x)>0,抛物线，上凹q(x)<0,抛物线，下凹FS=0,抛物线有极值有突变突变量=F斜率有突变图形成折线突变量=F无影响有突变突变量=M微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：

根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。

应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。

建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。

应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/2yxFSxMx2．确定控制面支座反力内侧截面均为控制面。即A、B截面。

3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。

5．根据微分关系连图线BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN

梁简支受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力求得A、B

二处的约束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平衡方程

2．确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系

5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。

FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左侧开始画剪力图。Fs（kN）0.891.11（-）（-）4．从A截面左侧开始画弯矩图。

M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从D右到B左从B左到B右qBADa4aFAyFBy试画出梁剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2．确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

qa

3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。

5．根据微分关系连图线9qa/47qa/4qa（+）Mx

81qa2/32qa2xFS

(kN)解法2：1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。3．从A截面左侧开始画剪力图。

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。B点的弯矩为

-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为

1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左侧开始画弯矩图

81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-）

Fs试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA平面刚架：

某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。7§6-6平面刚架和曲杆的内力横杆CB：C点向左为xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。试：画出刚架的内力图。解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程竖杆AB：Bqly3、根据各段的内力方程画内力图横杆CB：MFNFSql＋－＋平面曲杆

某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。§6-7横力弯曲时的正应力

正应力强度计算利用上式可以进行三方面的强度计算：①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷梁的正应力强度条件BAl=3mq=60kN/mxC1mFSx90kN90kNMx30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.校核梁的强度解：求支反力2.求C截面上K点正应力例题6-7

图示简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，求：2.C截面最大正应力C

截面弯矩C

截面惯性矩BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kNFSx90kN90kN例题BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3.校核梁的强度全梁最大弯矩截面惯性矩例题例6-8：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。解：由弯矩图可该梁满足强度条件，安全型截面铸铁梁，截面尺寸如图示试校核梁的强度。作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足分析：yz52（1）求截面形心(2）求截面对中性轴z的惯性矩

解：（4）B截面校核（3）作弯矩图（5）C截面要不要校核？本章小结一、知识点1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，及剪力和弯矩的正负号规定3、熟练建立剪力方程、弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图4、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值和弯曲正应力强度条件及其应用二、重点内容1、剪力图和弯矩图2、弯曲正应力强度条件及其应用

第7章弯曲变形的计算§7-1概述§7-2挠曲线的近似微分方程§7-3用积分法求弯曲变形§7-4用叠加法求弯曲变形§7-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§7-5简单超静定梁本章主要内容§7-1概述§7-2挠曲线的近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度w：截面形心在y方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：略去高阶小量，得所以

由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：

由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：

积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件

－弹簧变形例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF§7-3用积分法求弯曲变形4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，§7-4用叠加法求弯曲变形

设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：

若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC

；B截面的转角

B1）将梁上的载荷分解wC1wC2wC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解wC1wC2wC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角

C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解3）将结果叠加

2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。§7-5简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。l/2l/2+解：分析：此题属于1次超静定问题。用变形比较法列出变形比较条件其中，解得：FBB(a)ACFC(b)BAFFBFAMAABCl/2l/2FFBFAMA+用叠加法解得C处的挠度为：FC(b)BAFBB(a)AC其中，BAl/2l/2FFBFAMA+FC(b)BAFBB(a)AC如果没用顶尖的作用，在刀尖作用点处挠度为：求得有无顶尖作用时，在刀尖处变形比为：结论：可见用顶尖可有效地减小工件的变形，因而，在细长轴加工中要设置顶尖，甚至使用跟刀架。BA解例6

求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统3）进行变形比较，列出变形协调条件4）由物理关系，列出补充方程所以5）由整体平衡条件求其他约束反力

例7

梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。

从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理关系解FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得补充方程：确定A端约束力：FBFBMAFAMCFCyB1yB2确定C

端约束力MAFAMCFCA、C

端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图例8：结构如图所示，设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同，拉杆BC的拉压刚度EA为已知，求拉杆BC的轴力。解：将杆BC移除，则AB,CD均为静定结构，杆BC的未知轴力FN作用在AB、CD梁上，如图（b）、（c）所示。为1次超静定。对于AB梁：对于CD梁：

BC杆的伸长：补充方程：§7-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件

建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：

根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。

B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：

解例8已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角

θ

=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。例7已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角

θ

=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：2.提高梁刚度的措施1）选择合理的截面形状2）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式2）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型3）采用超静定结构1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、学会用变形比较法解简单超静定问题本章小结一、知识点二、重点内容1、掌握计算梁变形的积分法和叠加法2、学会用变形比较法解简单超静定问题第8章应力状态分析§8-1应力状态的概念§8-2二向应力状态分析——解析法§8-3二向应力状态分析——图解法§8-4三向应力状态§8-5广义胡克定律§8-6复杂应力状态下的应变能密度本章主要内容低碳钢

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁§8-1应力状态的概念脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁FlaS13S平面zMzT4321yx

单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主单元体。空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零xyα

1.斜截面上的应力dAαnt§8-2二向应力状态分析——解析法列平衡方程dAαnt利用三角函数公式并注意到化简得xya正负号规则：正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即2.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零

由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。

所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1

σ2

σ3试求（1）

斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。

已知解：（1）

斜面上的应力

（2）主应力、主平面

主平面的方位：

代入表达式可知主应力方向：主应力方向：（3）主单元体：

这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆

§8-3二向应力状态分析——图解法RC

1.应力圆的画法D(sx,txy)D/(sy,tyx)cRADxyoB1BA1A2.应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面上的正应力和切应力一一对应D(sx,txy)D/(sy,tyx)cxyHn

oB1BAA1H

例题2：分别用解析法和图解法求图示单元体

(1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上。 单位：MPa解：(一)使用解析法求解

(二)使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：三个主应力都不为零的应力状态

§8-4三向应力状态1.