第十章 分式（45道压轴题专练）

第十章分式（45道压轴题专练）1．（2023·上海·七年级假期作业）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（

）结论I：若n的值为5，则y的值为1；结论Ⅱ：x+y的值为定值；结论Ⅲ：若xm-3n=1，则y的值为A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错2．（2021·上海·九年级专题练习）若整数a使关于x的不等式组x-12≤11+x34x-a>x+1，有且只有45个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则A．-61或-58 B．-61或-59 C．或-59 D．-3．（2022秋·上海·七年级专题练习）当x分别取值12019，12018，12017，，12，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于(A．1 B．20192 C．1009 D．4．（2022秋·上海·七年级专题练习）如果，那么代数式1x-2⋅A．-2 B． C．1 D．25．（2020春·上海金山·八年级统考阶段练习）用换元法解方程3xx2-1+A．3y+1y=C．3y2-6．（2021·上海·九年级专题练习）已知a，b为实数且满足a≠-1，b≠-1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1．①若ab=1时，M=N；②若ab>1时，M>N；A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·上海·九年级专题练习）甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（

）A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定8．（2022秋·上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有2x+7x2+x-2A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝49．（2021·上海·九年级专题练习）若关于x的方程x+2x+3=mx+3无解，则mA．m=1 B．m=-1 C．m=2 D10．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若，则；②若a=3，则b+c=6；③若，则1-a1-b=1a+1b；A．1 B．2 C．3 D．411．（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）已知方程11+a+21+aA．8 B．14 C．16 D．3212．（2023·全国·八年级专题练习）已知两个分式：1x，1第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为M1；相除，结果记为N（即M1=1第二次操作：将M1，N1相乘，结果记为M2（即M2=M第三次操作：将M2，N2相乘，结果记为M3（即M3=M2×将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：①M3=M12；

②③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：M2n=④当x=1时，M2n-1⑤在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中：Nn以上结论正确的个数有（

）个．A．5 B．4 C．3 D．213．（2023春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）若关于x的不等式组3x-a>21-xx-12≥x+2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2022·八年级单元测试）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：甲说：我的工作效率比乙的工作效率少1乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的12丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（

）小时．A．20 B．21 C．1914 D．1915．（2023春·全国·八年级专题练习）已知两个分式：1x，1第一次操作：将这两个分式作和，结果记为M1；作差，结果记为N（即M1=1第二次操作：将M1，N1作和，结果记为M2（即M2=M第三次操作：将M2，N2作和，结果记为M3（即M3=M2+将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．①M3=2M1；②当x=1时，M2+M④在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中：Nn⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：M2n=2以上结论正确的个数有（

）个A．5 B．4 C．3 D．216．（2023春·上海·八年级专题练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为．17．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知：m2-9m+1=0，则m2+1m2=18．（2019春·上海·八年级上海市张江集团中学校考阶段练习）若关于x的方程x-ba=2-x-ab有唯一解，则19．（2022秋·七年级单元测试）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是.20．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：1xx+121．（2022春·上海·八年级专题练习）若关于x的方程-2x+m2017-x+4020=022．（2021春·上海杨浦·六年级校考期中）若x-1x-1=23．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）有正整数x<y<z，且k为整数，1x+1y+124．（2023春·浙江金华·七年级统考期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“快乐分解”．例如，因为528=22×24，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数（1）最小的“如意数”是；（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即M=A×B，A与B的和记为P（M），A与B的差记为Q（M），若PM25．（2023·重庆巴南·统考一模）若关于x的一元一次不等式组x-23<x+1x+a≤3至少有2个整数解，且关于y的分式方程y-a26．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为A=10a+d，十位数字与百位数字组成的两位数为B=10c+b，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数”（填“是”“否”）；若M为“开数”，记GM=b+13c-a-d，当GM能被727．（2023春·八年级课时练习）现有形状、大小、库存货物完全相同的A，B两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运完A仓库需要20小时，乙、丙两人合作搬运完B仓库需要24小时．现由乙先与甲合作搬运A仓库，同时丙在独立搬运B仓库，n小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息1.5小时立即到B仓库和丙一起搬运，若搬运完A，B两个仓库各用了27小时，则n=．28．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知x2-3x+1=0，则x3-29．（2023·全国·八年级专题练习）已知a>0,S1=1a,S2=-S1-1,S3=1S30．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于x的分式方程x+mx+2-mx-2=1的解不超过6，且关于y的不等式组m-6y>231．（2022秋·上海·七年级专题练习）某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A和B两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用500元，B型货车的总费用480元，每辆B型货车的运费是每辆A型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A型货车和B型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A型车和7辆B型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和B型车货各运多少吨？32．（2022秋·上海·七年级专题练习）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100-ax千米，乙距离终点为100-bx千米．分式100-ax100-bx对一切有意义的x33．（2019·上海·九年级上海交大附中校考自主招生）Sn为n的各位数字之和，例S（1）当10≤n≤99时，求nS（2）当100≤n≤999时，求nS（3）当1000≤n≤9999时，求nS34．（2022秋·上海·七年级专题练习）先化简，再求值，12x2-4x-35．（2022秋·上海·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则x+1x-1和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是（填序号）．①

②

③

④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．36．（2019秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）当x取何整数时，分式6x37．（2019秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）已知x2-5x-2019=0，求38．（2022秋·上海·七年级专题练习）某广告公司招标了一批灯箱加空工程，需要在规定时间内加工1400个灯箱，该公司按一定速度加工5天后发现，按此速度加工下去会延期十天完成，于是又抽调了一批工人投入灯箱加工，使工作效率提高了50%，结果如期完成工作，按规定时间是多少天？39．（2019秋·上海虹口·七年级校考阶段练习）已知x+3x-22=40．（2022秋·上海·七年级专题练习）阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将1-设分式1-3xx2-1=mx-1+nx+1，将等式的右边通分得：m(x+1)+n(x-1)(x+1)(x-1)=(m+n)x+m-n(x+1)(x-1)，由1-3xx2（1）把分式1(x-2)(x-5)表示成部分分式，即1(x-2)(x-5)=mx-2+nx-（2）请用上述方法将分式4x-41．（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx-1=b，其中a，b均为整数且(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．42．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式1-3xx2-1Mx-1+Nx+1x+1x-1=M+N(1)将分式2n+1n(2)按照（1）的规律，求3143．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的32(1)求甲、乙两种品牌篮球的单价．(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？(3)在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠a元30<a<50，甲种篮球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？44．（2023春·安徽亳州·七年级统考期末）如果两个分式P与Q的和为常数m，且m为正整数，则称P与Q互为“完美分式”，常数m称为“完美值”，如分式P=xx+1，Q=1x+1，P+Q=x+1x+1=1，则P与Q互为“完美分式(1)已知分式A=x-1x-4，B=x-7x-4，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“(2)已知分式C=3x-4x-2，D=Ex2-4，若C与D互为“完美分式”，且“完美值”①求E所代表的代数式；②求x的值．45．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x-1x+1，x2x+2这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，-2xx2x2x2请根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：①分式2x+2是______分式（填“真”或“假”②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：x2-3x+5x(2)把分式x2+2x-(3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．

第十章分式（45道压轴题专练）参考答案1．（2023·上海·七年级假期作业）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（

）结论I：若n的值为5，则y的值为1；结论Ⅱ：x+y的值为定值；结论Ⅲ：若xm-3n=1，则y的值为A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错【答案】B【分析】先由题意得到x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8，然后解方程组得到x=n-m2y=3m-n4，当n=5时，m=3，则此时y=3×3-54=1，即可判断I；①+②得4x+4y=8，即可判断②；根据1的任何次方为1，的偶次方为【详解】解：由题意得，x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8②-①得2x=n-m，解得x=n把x=n-m2代入①得n-m2∴方程组的解为x=n∵m+n=8，∴当n=5时，m=3，则此时y=3×3①+②得4x+4y=8，∴x+y=2，故结论Ⅱ正确；当x=1时，y=1，此时满足xm当时，则m=3n，此时m=6，n=2∴x=-2，y=4，此时满足xm当x=-1此时m=-∴m-3n=5-3×3=-4，此时满足xm综上所述，若xm-3n=1，则y的值为4或3或故选B．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（2021·上海·九年级专题练习）若整数a使关于x的不等式组x-12≤11+x34x-a>x+1，有且只有45个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则A．-61或-58 B．-61或-59 C．或-59 D．-61或或-59【答案】B【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定a的范围，结合a为整数，再确定a的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到a的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．【详解】解：∵由①得：x≤由②得：x＞a+13因为不等式组有且只有45个整数解，∴a+13＜∴-20≤a+13＜∴-60≤a+1＜-57,∴-61≤a＜-58,为整数，为-61,-∵，∴2y+a+2+60=y+1,∴y=而y≤0,且y≠-∴-∴a又-61∴a综上：a的值为：-61,故选B．【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．3．（2022秋·上海·七年级专题练习）当x分别取值12019，12018，12017，，12，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于(A．1 B．20192 C．1009 D．【答案】D【分析】先把x=n和x=1n代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把【详解】解：设f(x)=xf(∴f(则原式=f(故选：D．【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为x=1代入代数式后的值．4．（2022秋·上海·七年级专题练习）如果，那么代数式1x-2⋅A．-2 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由可得x2+2x=2，再化简1x-2⋅x【详解】解：由可得x21=1=x=x=-=-=-2故答案为A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到x2+2x=25．（2020春·上海金山·八年级统考阶段练习）用换元法解方程3xx2-1+xA．3y+1y=C．3y2-7y+1=0【答案】D【分析】由xx2-1=【详解】解：∵x∴x∴3xx2-1+x故答案为D．【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法和解分式方程的去分母是解答本题的关键．6．（2021·上海·九年级专题练习）已知a，b为实数且满足a≠-1，b≠-1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1．①若ab=1时，M=N；②若ab>1时，M>N；③若ab<1时，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求出M对于①当ab=1时，可得M-N=0，所以对于②当ab>1时，不能确定的正负，所以②错误；对于③当ab<1时，不能确定的正负，所以③错误；对于④当a+b=0时，MN=-【详解】M=a(b+1)+b(a+1)(a+1)(b+1)M①当ab=1时，M-N=0，所以M=N，①正确；②当ab>1时，2ab-2>0，如果a=-3，b=-12此时M-N=2ab-2(a+1)(b+1)<0，M<N③当ab<1时，2ab-2<0，如果a=-3，b=-14此时M-N=2ab-2(a+1)(b+1)>0，M>N④当a+b=0时，M=N=MN=-故选B．【点睛】本题关键在于熟练掌握分式的运算，并会判断代数式的正负．7．（2021·上海·九年级专题练习）甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（

）A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定【答案】C【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的质量，比较即可．【详解】甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：乙杯中红墨水的比例为am+a，蓝墨水的比例为m再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是a-a•am+a=mam+a乙杯中减少的蓝墨水的数量是a•mm+a=mam+a∵①=②∴故选C．【点睛】考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系；用到的知识点为：纯墨水的质量=总质量×相应的浓度．8．（2022秋·上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有2x+7x2+x-2A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【分析】先计算Mx+2+Nx-1=M+Nx+-M+2Nx2+x-2【详解】解：M=M=M+N∴2x+7x2∴M+N＝解得：M＝故选B．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．9．（2021·上海·九年级专题练习）若关于x的方程x+2x+3=mx+3无解，则mA．m=1 B．m=-1 C．m=2 D．m=【答案】B【分析】先去分母方程两边同乘以x+3，根据无解的定义即可求出m【详解】解：方程去分母得，x+2=则x=当分母x+3=0即x所以m-2=-3即m故选B．【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．10．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若，则；②若a=3，则b+c=6；③若，则1-a1-b=1a+1b；④若c=4，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据所给条件，对各项进行变形，利用整体代入、解方程、通分、完全平方式进行计算即可验证．【详解】解：∵∴①当时，2a-3ab+2b5a+7ab+5b=2(a+b)-3ab5(a+b)+7ab②当a=3时，∴解得：b=3∴b+c=32③∵(11a∴1-a④当c=4，则a+b=ab=4∴a2+b综上所述，正确的结论有4个；故选：D．【点睛】本题考查代数式求值及恒等式证明，根据题意，结合四个结论中的代数式恒等变形是解决问题的关键．11．（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）已知方程11+a+21+aA．8 B．14 C．16 D．32【答案】C【分析】利用平方差公式，将方程左边分步通分，进而得到1-a161-a【详解】解：1=====16∴161-a16∴1-∵1====1-∴1+a=，故选：C．【点睛】本题考查分式的化简、代数式求值，灵活运用平方差公式，将分式分步通分求解是解答的关键．12．（2023·全国·八年级专题练习）已知两个分式：1x，1第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为M1；相除，结果记为N（即M1=1第二次操作：将M1，N1相乘，结果记为M2（即M2=M第三次操作：将M2，N2相乘，结果记为M3（即M3=M2×将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：①M3=M12；

②③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：M2n=④当x=1时，M2n-1⑤在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中：Nn以上结论正确的个数有（

）个．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可．【详解】解：∵M1=∴M2=∴M3=∴MN……M2n-1=M2n=由M3=1x由N4=1x+14=81，则由M2n=1x2n由当x=1时，M2n-1由N3N4=x+1故选C．【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键．13．（2023春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）若关于x的不等式组3x-a>21-xx-12≥x+23-1的解集为x≥1，关于A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值．【详解】解：解不等式：3x-a>21-x，得：x>解不等式：x-12≥x+2∵不等式组的解集为x≥∴2+a5<1，即：解关于y的分式方程yy+1得y=-∵分式方程的解为整数解，∴2a-1为整数，且-a+1a-1≠±1，a-1≠0，即∴所有满足条件的整数a的值有：2，，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由条件得到a的取值范围．14．（2022·八年级单元测试）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：甲说：我的工作效率比乙的工作效率少1乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的12丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（

）小时．A．20 B．21 C．1914 D．19【答案】D【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则甲的工作效率是1x，乙的工作效率是1【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则甲的工作效率是1x，乙的工作效率是1x+解得：x=20，经检验x=20是原方程的根，且符合题意，甲的工作效率是120，乙的工作效率是1∵丙的工作效率是乙的工作效率的12丙的工作效率是12∴一轮的工作量为：120∴6轮后剩余的工作量为：1-∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，∴乙还需要工作的时间为120∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）．故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．15．（2023春·全国·八年级专题练习）已知两个分式：1x，1第一次操作：将这两个分式作和，结果记为M1；作差，结果记为N（即M1=1第二次操作：将M1，N1作和，结果记为M2（即M2=M第三次操作：将M2，N2作和，结果记为M3（即M3=M2+将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．①M3=2M1；②当x=1时，M2+M④在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中：Nn⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：M2n=2以上结论正确的个数有（

）个A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】通过计算确定第2n个式子的变化规律和第2n-1个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可．【详解】解：，，，，，，，，……当2n-1为奇数时（1除外），，，当2n为偶数时，M2n=2n∵，故①正确；当x=1时，M2+M4+M6+M8==30，故②错误；，解得x=1或-2，故③错误；当n=2k-2时，=x，x不是定值，故④错误；由规律知，⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查分式的化简以及探究式子的规律，解决问题的关键是确定式子的变化规律．16．（2023春·上海·八年级专题练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【答案】10或-4或【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【详解】解：（1）x=-此时有，即，解得m=10；（2）为原方程的增根，此时有，即，解得m=-（3）方程两边都乘(x+2)(x-得，化简得：．当m=3时，整式方程无解．综上所述，当m=10或m=-4或m=3时，原方程无解．故答案为：10或-4或3【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．17．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知：m2-9m+1=0，则m2+1m2=【答案】79【分析】先将m2-9m+1=0变形求出m2+1=9m，再将原式通分得到(【详解】∵m2∴m2∴，=，=(m=(9m)=79，故答案为：79.【点睛】此题考查分式的加法计算，分式的通分，正确将将原式变形后代入分式中进行计算是解题的关键.18．（2019春·上海·八年级上海市张江集团中学校考阶段练习）若关于x的方程x-ba=2-x-ab有唯一解，则【答案】a+b【分析】根据隐含条件，a≠0，b≠0，先去分母、去括号、移项，再合并，保证未知数的系数不等于【详解】解：，b≠0∴两边同乘以ab得，整理后，得(b+a)x=因方程有唯一解，故a+b≠故答案为：a+b≠【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，一元一次方程有唯一解的条件是：未知数的系数不等于0．19．（2022秋·七年级单元测试）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是.【答案】m>1且【分析】先对分式方程进行通分，因式分解后得出m与x的关系，由于分式方程的解为正数，且要保证分式方程有意义，故可知x的取值范围，再利用m与x的关系，求出m的取值范围.【详解】等式左边为：等式右边：左边等于右边则有：解，得：6x+2=2m-x，即x=要满足方程得解为正数，即x>0，且必须保证分式方程有意义，故x≠3且x≠-2，综合解得分式方程的解为x>0且x≠3故27(m-1)>0且解得m>1且，即为m的取值范围.【点睛】本题考查分式方程的解法，要想分式方程有解，前提必须保证分式有意义（即分母不为0），再根据得到的关系式求出m的取值范围.20．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：1xx+1【答案】2019【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.【详解】∵1x(x+1)11……1∴原式=(=1=2019x【点睛】此题考查分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.21．（2022春·上海·八年级专题练习）若关于x的方程-2x+m2017-x+4020=0【答案】15【详解】显然x≠2017，由题意得：m=2x-40202017-x，令y=2017-x，则x=2017∴m=2(2017-y2)-4020∵m是正整数，y≥0，∴y=1时，m=12，y=2时，m=3，∴正整数m的所有取值的和为15，故答案为15．【点睛】本题考查了方程的整数解问题，解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令y=2017-x从而使得用x表示m22．（2021春·上海杨浦·六年级校考期中）若x-1x-1=【答案】x＜1【详解】根据x-1的绝对值与本身的比为-1，说明绝对值与本身互为相反数，故可知x-1＜0，即x＜1.故答案为x＜1.23．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）有正整数x<y<z，且k为整数，1x+1y+1【答案】81【分析】由x，y，z为正整数，x<y<z且1x+1y+1z=k，k为正整数可得k只能为【详解】解：，y，z为正整数，且x<y<z，∴x≥1，y≥2，z≥∴0<k=即0<k≤又∵k∴k=1，x≠若x≥3，则1即1x只能为2，∴12+1y若y≥4，则1y即1y只能为3，∴12+∴(y+z)故答案为：81．【点睛】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是分类讨论x，y，z的值．24．（2023春·浙江金华·七年级统考期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“快乐分解”．例如，因为528=22×24，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数（1）最小的“如意数”是；（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即M=A×B，A与B的和记为P（M），A与B的差记为Q（M），若PM【答案】1653968【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得；（2）设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，从而可得A=10m+n，B=10m+6-n，再求出PMQM=20m+62n-6=10m+3n-3，根据A≥B，自然数M的个位数字不为0，以及QM=A-B=2n-6≠0，可得n为5【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0，∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：M=11×故答案为：165；（2）由题意，设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至∴A=10m+n，B=10m+6-∴PM=A+B=20m+6，∵A≥B，自然数M的个位数字不为∴n为5、4或者3，∵QM∴n为5或者4，∴PMQ当n=5时，PM不符合题意，舍去；当n=4时，PM∵PMQM能被7整除，且m为∴满足条件的整数m只有6，∴A=64，B=62，即M=64×故答案为：3968．【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键．25．（2023·重庆巴南·统考一模）若关于x的一元一次不等式组x-23<x+1x+a≤3至少有2个整数解，且关于y的分式方程y-a【答案】-【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a≤4，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=a+32，由分式方程有正整数解，确定出【详解】解：x-2解不等式①得：x>解不等式②得：x≤则根据题意可知，不等式组的解集为：-5∵关于x的一元一次不等式组x+1>x-1则该不等式的整数解至少包含：-2，，∴3解得：a≤分式方程y-ay解得：y=a+3∵a≤∴y=a+3∵y是正整数，且y≠∴y=1或，或a=3，∴满足条件的整数a的积为-1故答案为：-3【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤以及解分式方程的步骤是解题关键．26．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为A=10a+d，十位数字与百位数字组成的两位数为B=10c+b，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数”（填“是”“否”）；若M为“开数”，记GM=b+13c-a-d，当GM能被7【答案】是8892【分析】根据“开数”的定义判断1029是否为“开数”；若M为“开数”，则A-B=10a+d-10c+b=-a+b，由此可得d=10c-11a，代入GM可得GM【详解】解：M=1029时，A=10×1+9=19，B=10×A-B=19-20=-1，千位数字与百位数字和为：1+0=1，∵与1互为相反数，∴1029是“开数”；若M为“开数”，则A-∴d=10c∴G∵GM是∴若要M最大，则b=8，a=8，c=9，∴d=10c∴M最大值为8892．故答案为：是，8892．【点睛】本题考查数字整除问题，运用题设条件进行数值分析是解题的关键．27．（2023春·八年级课时练习）现有形状、大小、库存货物完全相同的A，B两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运完A仓库需要20小时，乙、丙两人合作搬运完B仓库需要24小时．现由乙先与甲合作搬运A仓库，同时丙在独立搬运B仓库，n小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息1.5小时立即到B仓库和丙一起搬运，若搬运完A，B两个仓库各用了27小时，则n=．【答案】6【分析】可设单独搬运甲需要x小时，乙需要y小时，丙需要z小时，根据等量关系：甲、乙两人合作搬运完A仓库需要20小时；乙、丙两人合作搬运完B仓库需要24小时；搬运完A、B两个仓库各用了27小时；列出方程组求解即可．【详解】解：设单独搬运甲需要x小时，乙需要y小时，丙需要z小时，依题意有1①×27-③得7y+20n=540⑤，②×27-④得y-8n=12联立⑤⑥得n=6y=60经检验得，n，y的值是原方程组的解，∴n的值为6.故答案为：6．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．28．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知x2-3x+1=0，则x3-【答案】13【分析】根据已知条件易得，x2-3x=-1，x-3+1x=0，从而可得【详解】解：∵x2∴，x2-3x=-1，x∴x+1∴x+1∴x2∴x=x=x=x=3====13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键．29．（2023·全国·八年级专题练习）已知a>0,S1=1a,S2=-S1-1,S3=1S【答案】-【分析】先找到规律Sn的值每6个一循环，再求出S1+S2【详解】解：S1，，S4S5S6，…，∴Sn的值每6∵S====-∵2022=337×∴S1故答案为：-337【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每630．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于x的分式方程x+mx+2-mx-2=1的解不超过6，且关于y的不等式组m-6y>2【答案】-【分析】先解分式方程，求得分式方程解x=2-2m，再由分式方程的解不超过6，得2-2m≤6且2-2m≠±2，解得：m≥-2且m≠0、m≠2，然后解不等式组得-4≤m<m-26，根据不等式组有四个整数解，得-1<m-26≤0，解得：-4<m≤2，所以且m≠0，又因为m为整数，则【详解】解：解方程x+mx+2-m∵x+mx+2-m∴2-2m≤6且2-解得：m≥-2且m≠0、m≠解不等式组m-6y>2y-4≤3y+4，得-∵不等式组有四个整数解，∴-1<解得：-4<m∴且m≠0∵m为整数，∴，-2，∴符合条件的整数m的和为：-1故答案为：-2【点睛】本题考查根据分式方程解的情况和不等式组的整数解求字母系数值，熟练掌握解分式方程和不等式组是解题的关键．31．（2022秋·上海·七年级专题练习）某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A和B两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用500元，B型货车的总费用480元，每辆B型货车的运费是每辆A型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A型货车和B型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A型车和7辆B型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和B型车货各运多少吨？【答案】（1）每辆A型货车运费100元，每辆B型货车的运费120元；（2）每辆A型货车运3吨，B型货车运4吨【分析】（1）设每辆A型货车运费为x元，则每辆B型车运费为1.2x元；根据题意，列分式方程并求解，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，可得A型货车和B型货车的数量；结合题意，设每辆A型货车运a吨，每辆B型货车运b吨，列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】（1）设每辆A型货车运费为x元，则每辆B型货车运费为1.2x元由题意得：500x解得：x=100经检验，x=100时，x≠0，1.2x≠∴每辆A型货车运费100元，每辆B型货车的运费120元；（2）根据（1）的结论，A型货车的数量为：500100∴B型货车的数量为：9-设每辆A型货车运a吨，每辆B型货车运b吨，由题意得：5a+4b=31a+7b=31解得：a=3b=4∴每辆A型货车运3吨，B型货车运4吨．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、分式方程的性质，从而完成求解．32．（2022秋·上海·七年级专题练习）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100-ax千米，乙距离终点为100-bx千米．分式100-ax100-bx对一切有意义的x【答案】（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b．【分析】（1）根据“时间=路程÷速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；（3）设100-ax100-bx=k，从而可得【详解】（1）由题意得：t=100=2.5+2，=4.5（小时），答：走完全程所用的时间为4.5小时；（2）甲走完全程所用的时间为1002乙走完全程所用的时间为100V因为100V所以乙先到；（3）设100-ax100-bx=k，则整理得：100-∵分式100-ax100-bx对一切有意义的x∴k的值与x的取值无关，∴kb-a=0，即a=kb，∴100-解得k=1，∴a=b，故a，b应满足的条件是a=b．【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．33．（2019·上海·九年级上海交大附中校考自主招生）Sn为n的各位数字之和，例S（1）当10≤n≤99时，求nS（2）当100≤n≤999时，求nS（3）当1000≤n≤9999时，求nS【答案】（1）1.9，见解析；（2）10919，见解析；（3）【分析】（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则nSn=10a+ba+b（2）设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c，根据（1）中的方法进行求值即可；（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d，参照（1）中的方法进行求解即可．【详解】解：（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则nS要使nSn的值最小，则则∵10≤n≤99，∴a=1,b=9，nSn最小为19（2））设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c；要使nSn=∵100≤n≤999，∴a=1,c=9，nSn∴b=9，n（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d；则nS则a=1,d=9，nSn=999+99b+9cnSn的最小值为1099【点睛】本题主要考查分式的性质及运算的运用，关键是会用整体思想及转化思想把复杂问题简单化．34．（2022秋·上海·七年级专题练习）先化简，再求值，12x2-4x-【答案】，32．【分析】先根据分式的运算法则化简原式，然后再求出不等式的整数解，然后选择合适的整数解代入已化简的分式即可．【详解】解：原式=[==∵∴所以不等式组的整数解是0,1,2,3要使分式有意义，x的值只能取1，所以原式=1+2【点睛】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及求不等式组的整数解等知识点，正确化简分式和求不等式组的整数解是解答本题的关键．35．（2022秋·上海·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则x+1x-1和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是（填序号）．①

②

③

④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．【答案】（1）②；（2）a-2+-9a-2；（3），当x=【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；（2）把分式先变形为a2（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．【详解】解：（1）①2x+3x=2+3x；②3+x3=1+x∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；故答案为：②；（2）原式；（3）原式====2x+4根据题意得：原式；当原式的值为整数时，x+1应该是2的因数，∴x+1=1或x+1=-1或x+1=2或解得：x=0或x=-2或x=1或x=-∵x≠0且x≠-1且x≠1且x≠-∴当x=-【点睛】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．36．（2019秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）当x取何整数时，分式6x【答案】x=0或-1或-2或-5．【分析】先把分式6x2-12x+61-x3【详解】解：6∴要使61-x的值是正整数，则分母1-x即1-x=1或2或3或则x=0或-1或-2或-5．【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式6x2-12x+637．（2019秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）已知x2-5x-2019=0，求【答案】2023.【分析】将代数式x-23-x-12【详解】解：x=====∵x∴x∴原式=2019+4=2023【点睛】本题考查的是代数式的化简求值，能熟练化简代数式，并且能转化求出x2-38．（2022秋·上海·七年级专题练习）某广告公司招标了一批灯箱加空工程，需要在规定时间内加工1400个灯箱，该公司按一定速度加工5天后发现，按此速度加工下去会延期十天完成，于是又抽调了一批工人投入灯箱加工，使工作效率提高了50%，结果如期完成工作，按规定时间是多少天？【答案】25天.【分析】根据计划的天数列出相应的分式方程，解方程即可得到答案【详解】设工厂前5天每天加工x个，1400x得x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，140040答：规定的时间是25天.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意，找到题中的等量关系列方程，注意检验不能缺.39．（2019秋·上海虹口·七年级校考阶段练习）已知x+3x-22=【答案】A=1，B=5.【分析】将等式右边相加得到x+3x-22=A(x-2)+B(x-2)【详解】x+3xx+3xx+3x∴x+3=A(x-x+3=Ax-∴A=1，-2A+B=3.∴A=1，B=5.【点睛】此题求解分式方程中其它未知数的值，根据化简后分母相同得到分子中对应相等的关系，由此解得A与B的值.40．（2022秋·上海·七年级专题练习）阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将1-设分式1-3xx2-1=mx-1+nx+1，将等式的右边通分得：m(x+1)+n(x-1)(x+1)(x-1)=(m+n)x+m-n(x+1)(x-1)，由1-3xx2（1）把分式1(x-2)(x-5)表示成部分分式，即1(x-2)(x-5)=mx-2+nx-（2）请用上述方法将分式4x-【答案】（1）-13，；（2）2【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】解：(1)∵mx∴m+n=0-解得：m=-(2)设分式4x-32x+1x-2将等式的右边通分得：mx-2+n2x+1由4x-32x+1x-2=得m+2n=4-解得m=2n=1所以4x-32x+1x-2=41．（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx-1=b，其中a，b均为整数且(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．【答案】(1)a+b=0(2)或8或9【分析】（1）由分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值即为增根；（2）将x=a代入ax+bx-1=b求得b=a+2+4a-2，根据题意可得a-2=±1或-2或±4【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到x-解得：x=1，将分式方程化为整式方程：ax+b=bx整理得：a-将x=1代入a-bx+2b=0得：a+b=0即若方程有增根，则a+b=0．（2）解：∵x=a是方程的解，将x=a代入ax+bx-1=b得：整理得：a2∴b=a∴b=a2∵a，b均为整数且a≠∴a-2=±1或-2或±4当a-2=-1时，即a=1，b=a当a-2=1时，即a=3，b=a当a-2=2时，即a=4，b=a当a-2=-4时，即a=-2，b=a当a-2=4时，即a=6，b=a综上，b的值为或8或9．【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．42．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式1-3xx2-1Mx-1+Nx+1x+1x-1=M+N(1)将分式2n+1n(2)按照（1）的规律，求31【答案】(1)2n+1n(2)2021【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；（2）根据（1）的规律变形，再计算即可．【详解】（1）解：设，∴2n+1n∴M+N=2M=1∴2n+1n（2）3===20【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．43．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更