2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第三十九讲指数函数（原卷版）

第三十九讲：指数函数【教学目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；图象和性质；3.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域的问题；4.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式；求简单的函数定义域与值域的问题．【基础知识】一、指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.注意点：(1)函数的特征底数a>0，且a≠1；(2)指数幂的系数为1.二、指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)最值无最值过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称注意点：(1)函数图象只出现在x轴上方；(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)；(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴；(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴；(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．【题型目录】考点一：指数函数的概念考点二：指数函数求值和解析式考点三：指数函数过定点考点四：指数函数图象考点五：指数型函数的奇偶性考点六：指数函数的定义域和值域考点七：已知指数函数值域求参考点八：复合函数的值域考点九：指数比较大小考点十：构造函数比较大小考点十一：复合函数的单调性考点十二：分段函数单调性考点十三：指数函数不等式考点十四：指数函数的实际应用考点十五：指数函数的综合应用【考点剖析】考点一：指数函数的概念例1．若函数为指数函数，则（） A．或 B．且 C． D．变式训练1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4变式训练3．函数是指数函数，则（） A．或 B． C． D．且考点二：指数函数求值和解析式例2．幂函数和指数函数均过点，则（） A．函数的解析式为 B．函数的解析式为 C．当，不等式恒成立 D．函数和的图象有且只有一个交点变式训练1．已知函数，则的值是（） A． B． C． D．2变式训练2．若函数是指数函数，且，则（） A． B． C． D．变式训练3．设函数，且，，则（） A．24 C．26考点三：指数函数过定点例3．函数恒过定点（） A． B． C． D．变式训练1．指数函数，且的图像必过定点（） A． B． C． D．变式训练2．函数（且）的图象恒过定点（） A． B． C． D．变式训练3．已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（） A．4 B．6 C．7 D．8考点四：指数函数图象例4．函数（，且）的图象可能是（） A． B． C． D．变式训练1．指数函数与的图象如图所示，则（） A． B． C． D．变式训练2．若的图像如图，（，是常数），则（） A．， B．， C．， D．，变式训练3．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（） A． B． C． D．考点五：指数型函数的奇偶性例5．已知函数，则（） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数变式训练1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（） A． B． C． D．变式训练2．已知函数，若，则（） A．4 B．6 C． D．变式训练3．（多选）已知函数，则（） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数考点六：指数函数的定义域和值域例6．下列函数中，值域为的是（） A． B． C． D．变式训练1．当时，函数的值域是（） A． B． C． D．变式训练2．设函数，则函数的定义域为（） A． B． C． D．变式训练3．若定义运算，则函数的值域是（） A． B． C． D．考点七：已知指数函数值域求参例7．若指数函数在上的最大值和最小值的和是6,则（） A．2或3 B．3 C．2 D．3变式训练1．若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（） A． B．1 C．或2 D．2变式训练2．函数（，且）在上最大值与最小值的差为2，则（） A．或2 B．2 C． D．变式训练3．若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（） A． B． C． D．或考点八：复合函数的值域例8．函数．若恒成立，则实数的取值范围是___________．变式训练1．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_______.变式训练2．函数的值域为____________．变式训练3．已知函数，，则其值域为__________．考点九：指数比较大小例9．设，则的大小关系是（） A． B． C． D．变式训练1．已知，则的大小关系是（） A． B． C． D．变式训练2．若，则的大小关系为（） A． B． C． D．变式训练3．已知，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（） A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a考点十：构造函数比较大小例10（多选）若，则下列结论正确的是（） A． B． C． D．变式训练1．（多选）若，则下列关系正确的是（） A． B． C． D．变式训练2．若，，且满足，那么（） A． B． C． D．变式训练3．（多选）若m，，，则（） A． B． C． D．考点十一：复合函数的单调性例11．函数单调递增区间为（） A． B． C． D．变式训练1．函数的单调递增区间是（） A． B． C． D．变式训练2．函数的单调递增区间是（） A． B．[2，＋∞） C． D．变式训练3．设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D．考点十二：分段函数单调性例12．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练1．若函数在上是增函数，则的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练2．设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练3．若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为_____________.考点十三：指数函数不等式例13．已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)解不等式变式训练1．已知指数函数的图像过点.(1)求函数的解析式；(2)求不等式的解集.变式训练2．已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；(2)解关于的不等式：；变式训练3．已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；(2)解关于的不等式：.考点十四：指数函数的实际应用例4与储藏温度的关系为（为常数）.若牛奶在的冰箱中，保鲜时间约是，在的冰箱中，保鲜时间约是，那么在的冰箱中保鲜时间约是（） A． B． C． D．变式训练1．一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（） A． B． C． D．变式训练2．下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型的是（） A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B．我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D．信件的邮资与其质量间的函数关系变式训练3．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）参考数据：． A． B． C． D．考点十五：指数函数的综合应用例15．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练1．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（） A． B． C．或 D．或变式训练2．若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．变式训练3．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D．【课堂小结】1．知识清单：(1)指数函数的定义．(2)指数函数的图象．(3)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点．(4)比较大小．(5)解不等式、方程．(6)定区间上的值域问题．(7)指数函数性质的综合运用．2．方法归纳：待定系数法；数形结合法；转化与化归.3．常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1；形如函数y＝af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)＝0；常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1.【课后作业】1．若＋有意义，则的取值范围是（） A． B． C． D．且2．函数是指数函数，则有（） A．或 B． C． D．，且3．已知函数，若，则（） A． B．0 C．1 D．24．下列函数中，满足的是（） A． B． C． D．5．函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（） A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)6．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7．下列结论中，正确的是（） A．函数是指数函数 B．函数的值域是 C．若，则 D．函数的图象必过定点8．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，，9．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（） A．2 B．3 C． D．10．如图所示，函数的图象是（） A． B． C． D．11．函数（）的图象可能是（） A． B． C． D．12．若，则函数与的图象大致是（） A． B． C． D．13．函数的定义域为（） A． B． C． D．14．函数的值域为（） A． B． C． D．15．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（） A． B． C．或 D．或16．蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式．蒸发是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象．溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10℃时蒸发速度是0.2L/h，在20℃时蒸发速度是0.4L/h，则该液体在40℃时蒸发速度为（）翻译这两句信息，可得方程组这就是将文字信息翻译或数学语言的体现17．已知，，，则（） A