模块1 构件的外力分析

模块1

构件的外力分析学习情境1基本概念与静力学公理学习情境2受力分析学习情境3平面力系及合成学习情境4物体系统的平衡学习情境5空间力系简介模块1

构件的外力分析【知识目标】理解静力分析的基本概念、掌握静力学公理、约束和约束反力；掌握受力图画法、理解力在直角坐标轴上的投影和合力投影定理；掌握平面汇交力系平衡方程、合力矩定理、力偶系的合成与平衡；理解力的平移定理及平面一般力系的简化与平衡条件掌握物系受力图画法，掌握平面一般力系的平衡计算；认识空间力系的平衡条件、理解空间力系平衡问题的平面解法。模块1

构件的外力分析【技能目标】根据构件的工作条件，进行构件的外力分析，并画出受力图；对构件所受平面力与力系，进行平衡分析与计算；对轴类构件进行简单空间力系的分析与计算。模块1

构件的外力分析

构件指机器、机械和工程结构的基本单元，如起重机（如图1-1所示）的横梁AB、拉杆BC等。它们在工作中都会受到力的作用。外力指作用在构件上的各种形式的载荷，包括重力、推力、拉力、转动力矩等。学习情境1基本概念与静力学公理1.1.1基本概念

1.力与力的投影力是物体间相互的机械作用。力对物体的效应取决于力的三要素，即力的大小、方向和作用点。力是一个既有大小又有方向的量，称为矢量。矢量可用一具有方向的线段来表示，如图1-2所示。力的国际单位为牛顿（N）。1.1.1基本概念

1.力与力的投影如图1-3所示，力F在x轴和y轴的投影计算公式分别为投影的正负号规定如下:若从a到b的方向与x轴正向一致，则取正号；反之则取负号。力在坐标轴上的投影是代数量。

1.1.1基本概念

2.力系与等效力系

作用于一个构件上的若干个力称为力系。若两个力系对构件的作用效应完全相同，则这两个力系称为等效力系。如果一个力系与另一个力系对物体的作用效应相同，则这两个力系互称为等效力系。若一个力与一个力系等效，则称这个力为该力系的合力，而该力系中的各力称为这个力的分力。已知分力求其合力的过程称为力的合成，已知合力求其分力的过程称为力的分解。1.1.1基本概念

3.平衡与平衡力系平衡是指物体相对于地球处于静止或匀速直线运动的状态。若一力系使物体处于平衡状态，则该力系称为平衡力系。1.1.1基本概念4．力矩与力偶力矩是表示力使构件绕某点转动作用大小的力学量，等于力乘以力到该点的垂直距离，符号为MO(F)，单位为N·m。并规定力绕该点逆时针转为正，顺时针转为负，如图1-4所示。

1.1.1基本概念4．力矩与力偶力偶指在同一物体上两个数值相等、作用线互相平行而指向相反的力，符号为M或M(F，F′)。汽车驾驶员两只手作用于方向盘上时即可看作力偶的作用，如图1-5所示。力偶矩是指以力与力偶臂的乘积作为度量力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量。力偶矩的单位是：N·m。1.1.1基本概念5.质点、刚体质点是具有一定质量而其几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。在分析物体的运动规律时，如果物体的形状和大小与运动无关或对运动的影响很小，则可把物体抽象为质点。刚体是指受力时保持形状、大小不变的力学模型。在研究物体的平衡问题时，若物体的微小变形对平衡问题影响很小，则可把物体当作刚体。1.1.2静力学公理1.二力平衡公理作用于刚体上的两个力使刚体处于平衡状态的充要条件是:这两个力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，如图1-6所示。符合此条件的构件称为二力构件或二力杆。用矢量表示为：FA=-FB。1.1.2静力学公理2.作用与反作用定律两构件相互作用时，它们之间的作用与反作用力必然等值、反向、共线，但分别作用于两个构件上，如图1-7所示。1.1.2静力学公理3.加减平衡力系公理

在已知力系上加上或者减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

如图1-8所示的小车，在A点作用力F和在B点作用力F对小车的作用效果是相同的。1.1.2静力学公理4．力的平行四边形公理作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来确定，如图1-8(a)所示。其矢量表达式为：FR=F1+F2。为方便起见，在利用矢量加法求合力时，可不必画出整个平行四边形，而是从A点作矢量F1，再由F1的末端B作矢量F2，则矢量AC即为合力FR。这种求合力的方法称为力的三角形法则，如图1-8(b)所示。显然，若改变F1、F2的顺序，其结果不变，如图1-8(c)所示。学习情境2受力分析1.2.1约束及约束反作用力

1．柔索约束由绳索、链条、胶带等柔性物体所构成的约束称为柔索约束。柔索约束只能限制物体沿柔索伸长的方向运动，而不能限制其他方向的运动，所以柔索约束反力的方向总是沿柔索中心线且背离被约束物体，即为拉力，通常用符号FT表示，如图1-10所示。1.2.1约束及约束反作用力

2.光滑面约束

约束反力N的作用线过两构件的接触点，沿接触面的法线方向指向被研究构件，如图1-11所示。

1.2.1约束及约束反作用力

3.铰链约束

两个带孔的构件由销钉连接，可以有相对转动。连接处可以看成光滑面接触。（见图1-12）。此类约束常称为固定铰链约束。1.2.1约束及约束反作用力

4.固定端约束又称为插入端约束，是工程实际中常见的一种约束类型，如插入墙体的外伸凉台、固定在车床卡盘上的车刀、立于路边的电线杆等，如图1-14（a）、(b)、(c)所示。平面问题中通常用简图1-14（d）、（e）表示，其约束反力在外力作用面内可用简化了的两个正交分力Fx、Fy和力偶矩M来表示，如图1-14（f）所示。1.2.2物体的受力分析及受力图要对物体进行受力分析，必须将所要研究的物体（称为研究对象），从与它相联系的周围物体中分离出来，单独画出其图形，这一过程称为取分离体。在分离体的图形上，画出所有的主动力和周围物体对它的约束反力，这种图称为受力图。画受力图时应注意的事项是：①画出研究对象的轮廓；1.2.2物体的受力分析及受力图画受力图时应注意的事项是：②研究对象在工程结构中所受的约束的类型，以确定各接触处反力的个数和方向；③反力的方向不能确定时可假设方向（通过后面所讲的平衡计算可以确定反力的实际方向）；④主动力和约束反力不能多画也不能漏画。【例1.1】如图1-15（a）所示，一球C用绳AB挂靠在光滑的铅垂墙上，试画出球C的受力图。解

(1)选取球C为研究对象，画出其分离体图。(2)画主动力:在球心点C处画上重力G。

(3)画约束反力:球在B点受到柔索约束，在D点受到光滑接触面约束。在解除约束的B点画上沿绳索中心线背离球的拉力FTB，在D点画上沿接触面公法线并指向球的压力FND。球受同平面的三个不平行力的作用而平衡，这三个力的作用线必汇交于一点即C点。如图1-15(b)所示。【例1.2】水平梁AB在C处受到F力的作用（见图1-16（a））。A处为固定饺链支座，B处为活动铰链支座。画梁AB的受力图。

解（1）以梁AB为研究对象，画出其分离体图。（2）画主动力：C处画上F力。（3）画约束反力：A处为固定铰链支座，可假设有两个垂直相交的反力NAx、NAy；

B处为活动铰链支座，有一个反力NB，垂直于支承面向上（见图1-16（b））。梁AB的受力图如图1-16（c）所示。学习情境3平面力系及合成平面力系是指各力作用线都在同一平面内的力系，是工程中最常见的一种力系。当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它看作该对称平面内的平面力系问题。如作用在屋架、汽车、皮带轮、圆柱直齿轮等物体上的力系都可以视为平面力系。1.3.1平面汇交力系平面汇交力系如图1-18所示。1.3.1平面汇交力系1.力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。2.合力投影定理关于单个作用力的投影参见学习情境1中的内容，合理的投影如图1-19所示。合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，计算公式为注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b(或由a1到b1)的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。

1.3.1平面汇交力系3.平面汇交力系的平衡条件

平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力FR等于零。即可得【例1.4】起重机起吊一重量G=300N的减速箱盖，图1-20（a）所示。求钢丝绳AB和AC所受的拉力。解以箱盖为研究对象，其受的力有：重力G、钢丝绳的拉力TB和TC，此三力交于A点（见图1-20（b））。建立坐标系Axy（图1-20（c）），列投影方程：∑Fy=0，TBsin30°+TCsin60°-G=0∑Fx=0，TBcos30°-TCcos60°=0

得TB=150N

TC=260N【例1.5】

如图1-21（a）所示，圆球重G=100Ｎ，放在倾角为α=30°的光滑斜面上，并用绳子AB系住，绳子AB与斜面平行。试求绳子AB的拉力和斜面对球的约束力。解（1）选圆球为研究对象，取分离体画受力图。主动力:重力G。约束反力:绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。受力图如图1-21（b）所示。（2）建立直角坐标系Oxy，列平衡方程并求解。∑Fx=0 FT-Gsin30°=0

FT=50N(方向如图所示）∑Fy=0 FN-Gcos30°=0

FN=86.6N（方向如图所示）解（3）若选取如图1-21（c）所示的直角坐标系，列平衡方程得:∑Fx=0 FTcos30°-FN

cos60°=0∑Fy=0 FT

sin30°+FN

sin60°-G=0

联立求解方程组得:FT=50N（方向如图所示）

ＦN=86.6N（方向如图所示）【例1.6】

如图1-22（a）所示三角支架由杆AB、BC组成，A、B、C处均为光滑铰链，在销钉B上悬挂一重物，已知重物的重量G=10kN，杆件自重不计。试求杆件AB、BC所受的力。

解（1）取研究对象，画受力图。取销钉B为研究对象；主动力:重力G；约束反力:由于杆件AB、BC的自重不计，且杆两端均为铰链约束，故AB、BC均为二力杆件，杆件两端受力必沿杆件的轴线，根据作用与反作用力关系，两杆的B端对于销钉有反作用力F1、F2，受力图如图1-22（b）所示。（2）建立直角坐标系Bxy，列平衡方程并求解。∑Fy=0 F2sin30°-G=0

Ｆ2=20kN∑Fx=0 F2cos30°-F1=0F1=17.32kN综上所举例子，解静力学平衡问题的一般方法和步骤如下：

1）选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2）画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。3）建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

1.3.2力矩与平面力偶系1.合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。如图1-24所示，设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、…Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。力系中各力对平面内任一点O的矩之和Mo(F)

计算公式为1.3.2力矩与平面力偶系1.合力矩定理如合力矩为零，则该组力对构件无转动作用，亦即力矩平衡。1.3.2力矩与平面力偶系2.力对点之矩的解法力对点之矩求解方法有两种：

1）用力矩的定义式，即力和力臂的乘积求力矩。这种方法的关键在于确定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。

2）运用合力矩定理求力矩。在工程实际中，有时力臂的几何关系较复杂，不易确定时，可将作用力正交分解为两个分力，然后应用合力矩定理求原力对矩心的力矩。【例1.8】如图1-25（a）所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h，求力F对O点的力矩。解（1）利用力矩的定义进行求解如图1-25（b），过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa

。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有（2）利用合力矩定理求解如图1-25（c）所示，将力F分解成一对正交的分力，力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即1.3.2力矩与平面力偶系3.力偶的性质

1）力偶无合力，力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。

2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的位置无关。

3）力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。力偶的等效条件：（1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。如图1-26（a）所示，不论将力偶加在A、B位置还是C、D位置，对方向盘的作用效应不变。2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。如图1-26(b)所示。1.3.2力矩与平面力偶系4.平面力偶系的合成与平衡

作用于物体同一平面内的一组力偶称为平面力偶系。平面力偶系可以合成为一个合力偶，此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代数和。即平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即【例1.9】如图1-27所示，联轴器上有四个均匀分布在同一圆周上的螺栓A、B、C、D，该圆的直径AC＝BD＝150mm，电动机传给联轴器的力偶矩m＝2.5kN·m，试求每个螺栓的受力。解:(1)取联轴器为研究对象，画受力图。假设四个螺栓受力均匀，即：

F1=F2=F3=F4=F(2)列平衡方程

每个螺栓的受力大小均为8.33kN，方向分别与F1、F2、F3、F4相反。【例1.10】

如图1-28（a）所示，梁AB受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm，梁长l=5m，梁的自重不计，求两支座的约束反力。解（1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图，如图1-28(b)所示。

FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。

（2）列平衡方程求解1.3.3平面一般力系作用在物体上的各力的作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行，这样的力系称为平面一般力系。如图1-29所示的悬臂起重机横梁AB。1.3.3平面一般力系1.平面一般力系的简化

1）力的平移定理如图1-30所示，作用于刚体上的力F可平移到刚体上的任一点，但必须附加一个力偶，此力偶之矩等于原来的力F对平移点之矩.1.3.3平面一般力系1.平面一般力系的简化

2）平面一般力系向平面内任意一点的简化作用于简化中心O点的平面汇交力系可合成为一个力，称为该力系的主矢FR′，其作用线过简化中心点O。各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶矩，称为该力系的主矩MO。主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上,如图1-31所示。平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢和一个主矩，主矢的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩的值一般与简化中心的选择有关。

1.3.3平面一般力系2.平面一般力系平衡的条件

平面一般力系平衡的充分与必要条件是：该力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零。即

平面一般力系的平衡方程为【例1.11】如图1-32（a）所示，求A、B处的约束反力。解:(1)取杆AB为研究对象，画受力图，如图1-32（b）所示；

(2)列平衡方程

求解得1.3.3平面一般力系3．平面平行力系的平衡在平面平行力系中，若选择直角坐标轴的y(或x)轴与力系各力作用线平行，则每个力在x(或y)轴上的投影均为零，即∑Fx≡0(或∑Fy≡0)。于是平行力系只有两个独立的平衡方程，即【例1.13】一端固定的悬臂梁AB如图1-34（a）所示。已知:q=10kN/m，F=20kN，M=10kN·m，l=2m,试求梁支座A的约束反力。

解

(1)取悬臂梁AB为研究对象，画受力图，如图1-34（b）所示；

(2)建立坐标系Axy，列平衡方程并求解。

学习情境4物体系统的平衡1.4.1物体系统的平衡分析由多个构件通过一定的约束组成的系统称为物体系统（物系）。系统外部物体对系统的作用力称为物系外力；系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力。在分析物系的平衡问题时，不仅要分析外界物体对于整个系统作用的外力，同时还应研究系统内各物体间相互作用的内力。当整个物系处于平衡时，系统中每一个物体或某一个局部一定平衡，因此，可取整个系统为研究对象，也可取单个物体或系统中部分物体的组合为研究对象。作用于研究对象上的力系都满足平衡方程，所有未知量也均可通过平衡方程求出。【例1.15】三铰拱每半拱重G=300kN，跨长l=32m，拱高h=10m，如图1-36(a)所示，试求:铰链支座A、B、C的约束反力。解解法有两种：①先取三铰拱整体为研究对象，再取半拱AC（或BC）为研究对象进行求解；②分别取半拱AC、BC为研究对象进行求解。第一种解题方法比较简单，下面做一介绍。(1)先取三铰拱整体为研究对象，画出受力图。主动力:两个半拱重力各为G。约束反力:铰链支座A、B出的约束反力FAx、

FAy、FＢx、FBy。受力图如图1-36(b)所示。解(2)建立坐标系Oxy，列平衡方程。解(3)取半拱AC为研究对象，画出受力图。半拱AC上作用有主动力G，约束反力有FAx、FＡy、FCx、FCy，受力图如图1-36(c)所示。1.4.2考虑摩擦时的平衡问题1.静滑动摩擦两构件接触面间有相对滑动的趋势时出现的摩擦，称为静滑动摩擦，又称为静摩擦。图1-37(a)所示的实例说明了静滑动摩擦定律。放在桌面上的物体受水平拉力T的作用，T的大小与所加砝码的重量相同（此时忽略滑轮的摩擦）。T有使物体向右运动的趋势，桌面对物体的摩擦力Ff阻碍物体向右运动。当T的值小于某一值时，物体处于平衡状态，其受力图如图1-37(b)所示。1.4.2考虑摩擦时的平衡问题2.动滑动摩擦两物体接触面间有相对滑动而表现出的摩擦称为动滑动摩擦（简称动摩擦）。阻碍物体运动的力称动滑动摩擦力，简称动摩擦力。可通过实验得到与静滑动摩擦相似的定律。1.4.2考虑摩擦时的平衡问题3.考虑摩擦时物体的平衡问题

考虑摩擦时物体的平衡问题，其解题方法、步骤与不考虑摩擦时基本相同，所不同的是:在画物体受力图时，一定要画出摩擦力，并要注意摩擦力总是沿着接触面的公切线并与物体相对滑动或相对滑动趋势方向相反，其方向要正确画出，不能随意假定；除列出物体的平衡方程外，还应附加静摩擦力的求解条件作为补充方程。补充方程为：Ffmax=fFN（摩擦定律），然后再分析讨论。【例1.16】设物体重量G=1000N，置于倾角α=30°的斜面上（见图1-38（a）），沿斜面有一推力P=480N。已知斜面与物块的摩擦系数f=0.1，求物块所处的状态。解

以物块为研究对象，设物块有上滑趋势（见图1-38（b）），则摩擦力Ff沿斜面向下。取坐标系Oxy，建立如下平衡方程：∑x=0，N-G

cosα=0∑y=0，P-Ff-G

sinα=0

解得解求出的Ff为负值，说明Ff的假设方向与实际方向相反，故物块有下滑趋势。现假设下滑达临界状态，则有最大静摩擦力（沿斜面向上）

Ffmax=fFN=0.1×866N=86.6N

而实际产生的静摩擦力F=20N（向上），即Ff＜Ffmax，因此物块静止，但有下滑趋势。学习情境5空间力系简介空