专题8导数与不等式的证明（学生版）

专题8：导数与不等式的证明<<<专题综述>>><<<专题综述>>>近几年新高考中利用导数证明不等式是命题热点之一，应用导数证明不等式，它的关键就在于找出与和这个不等式紧密连着的函数，通过导数作为工具来研究函数的单调性、极值以及最值等，从而实现不等式的证明；由于题型自身的结构不同，因此构成的函数和应用的方法也是不同的，证明过程中的常用方法主要有构造函数法、凹凸反转法、放缩法，同时注重灵活应用函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.<<<专题探究>>><<<专题探究>>>1.利用导数证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数F(x)＝f(x)－g(x)(1)是直接构造F(x)，还是适当变形化简后构造F(x)，对解题的繁简有影响.(2)找到F(x)的零点，往往是解决问题的一个突破口.(3)构造函数是将不等式问题转化为函数问题的关键.为了便于利用导数研究函数的性质，常用分析法将要证明的不等式进行适当变形、化简或放缩，然后构造相应的函数.2.利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)对新函数求导；(4)根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值；(5)结论．3.构造函数证明不等式的技巧：(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)(2)利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为fx>gx的形式，若能证明fxmin>gxmax，即可得：fx>gx，本方法的优点在于对x的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.(3)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．题型一：题型一：构造函数法题设情境是应用导数求常系数函数的最值，证明两个函数存在二条公切线，证明不等式.第（1）问应用导数与函数最值的基本知识求解；第（2）问应用分别设两个函数的切点并求出切线方程，由公切线的充要条件得到关于两切点横坐标的方程组，通过消元结合零点定理证明方程有两解；第（3）问由待证不等式通过等价变形，然后构造函数应用导数求其最小值，证明最小值恒为正，从而证明原不等式.例1（温州市普通高中2023届高三第一次适应性考试）设函数fx=aex,gx=lnx+b,其中（1）设Fx=xfx,当a=e-1时（1）证明：当a=e-1,b<1时,总存在两条直线与曲线y=fx与（3）当a≥2e2时，证明：【思路点拨】第（1）问应用导数求函数最值的方法求解；第（2）问设切点分别求得曲线y=fx与y=gx的相切方程，由公切线得到关于某个切点的横坐标的方程，然后利用第（1）问的相关结论，应用导数研究函数零点的方法，证明该方程有两不同实根；第（3）问由fx>x练1(2021年全国卷=1\*ROMANI)设函数fx=lna-x,已知x=0是函数y=xfx（1）求a；（2）设函数gx=x+fx练2（广东省佛山市顺德区第一中学20212022学年下学期期中考试）已知函数f（1）讨论函数fx的单调性（2）若a=1，证明:f题型二：题型二：凹凸反转法题设情境是应用导数讨论含参数函数的单调性，应用凹凸反转证明不等式.第（1）问应用导数与函数单调性的基础知识，利用导数的零点与函数定义域的所属关系.应用分类与整合思想求解；第（2）问将待证不等式通过恰当变式，即分离为1+lnxx<exx例2（山东省烟台市20222023学年高三上学期期中考试）已知函数fx=alnx+x（1）讨论f(x)的单调性．（2）当a=1时，证明：xf(x)<ex【思路点拨】第（1）问应用导数研究函数的单调性方法，分类讨论确定函数的单调性；第（2）问依题设xf(x)<ex，即x2+xlnx<ex，等价转化为1+lnxx练3（江苏省南京市第一中学20222023学年高三上学期期中考试）已知函数fx=a-bx3ex-（1）求a,b；（2）求证：当x∈(0,1)时，f(x)>2.练4（湖北省年宜昌市部分示范高中教学协作体20212022学年高三上学期期中联考）设函数fx＝aexlnx+b（1）求a，b；（2）证明：f(x)>1.题型三：题型三：放缩法题设情境是应用导数求含参数函数的最值，应用放缩法证明不等式.第（1）问应用导数与函数最值的基础知识，应用函数单调性及零点定理探究极值点的存在性与唯一性，从而即可求得函数的最小值；或应同构法，通过换元简化函数解析式求其最小值.第（2）问①利用第（1）问的结论，分类探究函数fx的最小值满足题设条件的必要条件，从而求得实数a的值；②利用实数a的取值化简待证不等式，然后利用lnx≤x-1例3（湖北省年宜昌市部分示范高中教学协作体20212022学年高三上学期期中联考）已知函数fx=x（1）当a>0时，求fx（2）若对任意x>0恒有不等式fx≥①求实数a的值；②证明：x2【思路点拨】第（1）问求函数fx的导函数f'x=x+1xex-ax，然后令xex-a=0，构造gx=xex，利用导数研究函数的单调性与实根个数，进而得出fx的单调性和最值；另解用同构思想,依题设fx=xex-alnx+x=elnx+x-alnx+xx>0,构造函数φt=et-att∈R.由练5（湖湘名校教育联合体20222023学年高三上学期大联考）已知函数fx=ex（1）求fx（2）若过点a,ba≠0可作曲线fx的两条切线，求证：（参考数据：ln2练6（湖南省长沙市周南中学20222023学年高三上学期月考）已知函数f(x)=lnxx+k的极大值为1+e(1)求实数k的值；(2)若函数g(x)=ex-ax(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.（河北省20222023学年高三调研联合测评数学试题）已知fx=xln(1)求函数fx(2)对一切x∈0,+∞，2fx≥(3)证明：对一切x∈0,+∞，都有lnx2.（湖南省三湘创新发展联合20222023学年高三调研考试数学试题）已知fx=ex+1-(1)当x∈1,+∞时，求函数g(2)当a=0时，求证：fx3.（重庆市巴蜀中学20222023学年高三高考适应性月考数学试题）已知函数f(x)=x（1）若关于x的方程f(x)=x2ex-ax在（2）求证：当x>0时，f(x)>1.4.（天津市南开区2022届高三下学期三模数学试题）已知fx=ex，当（1）求实数a的取值范围；（2）当x∈0,π25.（2022届广东省汕头市高考三模数学试卷）已知函数fx(1)讨论fx(2