类型十五、因式分解的几何应用

类型十五、因式分解的几何应用【解惑】2m2+5mn+2n2可以因式分解为方法：与前面类型几何类似。用割补的方式把图形分成几份，用等面积法两种方法表示，构造等式。【融会贯通】1．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（

）A． B． C． D．2．如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则长方体的表面积为（

）A． B．C． D．3．如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（

）A． B． C． D．4．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（）米．A．a+bB．b+cC．a+cD．a+b+c5．如图：边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（

）A．35 B．70 C．40 D．906．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是（

）A．20 B．30 C．40 D．107．如图，中，，将沿方向平移个单位得（其中的对应点分别是），设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为（）A． B． C． D．【知不足】8．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．观察图形，发现多项式可因式分解为____________．9．如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为_____．10．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．（2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和______．11．如图，用四个完全一样的长、宽分别为x，y的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤．正确的是_____________（填序号）．12．如图，整个大长方形的面积用式子表示为a2+3ab+2b2，观察图形，将这个式子分解因式为_____．13．已知a=2015x+2013，b=2015x+2015，c=2015x+2017，则多项式a2b2c2abbcac的值是_____.14．已知则___________________15．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体(a>b)(1)如图①所示的几何体的体积是_______.(2)用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解.比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式____________________.16．已知a＝+2012，b＝+2013，c＝+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是_____．17．如果x-y=1，xy=2，那么x3y-2x2y2+xy3=____18．已知a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0，且2a﹣3b=1，则a3+b3的值是_____19．利用分解因式计算：（1）22005﹣22004=____；（2）（﹣2）51+（﹣2）50=____．20．若a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，则a=_____，b=_____．21．已知则代数式的值为_________．22．若x，y是大于3的质数，但能使得x2+5xy+4y2为完全平方数，这样的质数对（x，y）是_____．23．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：____________．（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________．（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________．24．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值为____．25．阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求对称式的值；②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．26．已知(2019－a)(2017－a)＝1000，请猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______【一览众山小】27．阅读与思考：下面是小华同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．年月日星期日巧用数学思想，妙解数学问题．今天，我去书店买书，无意间发现一本书上记录了这样一段有趣的话：“整体思想”是中学数学解题思路中一种重要的思维方法，贯穿于中学数学的全过程，在多项式的化简与求值中应用极为广泛，比如整体代入，整体换元，整体约分，整体求和，整体构造，……，很多问题若从局部求解，各个击破，多数很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，再复杂的问题也能迎刃而解．有这样一道题：如果时，求的值，它的解题过程如下：方法一：当时，原式．方法二：将当做一个整体，那么当时，原式．通过对比两种方法，我得到了这样一个结论：巧用数学思想解题，不仅有助于加深对代数式结构的理解，而且还能提高我们做题的效率，同时也能培养我们的创新思维．尝试应用：(1)根据“方法二”，将代数式进行化简；拓展探究：(2)已知，那么的值为___．28．【实践探究】小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：________________．【问题解决】(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，需要②号长方体________个，③号长方体_____个，据此写出一个多项式的因式分解：____________________．【拓展与延伸】(3)如图3，在一个边长为的正方体中挖出一个边长为的正方体，据此写出______________．29．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)小明同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，5张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？(4)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么________．30．如图，将一块边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为（）的小正方形．试用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并利用因式分解求当，时，剩余部分的面积．31．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．(1)请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；(2)写出利用图形的面积关系所揭示的因式分解的公式：__________；(3)利用这个公式说明可以被10和20之间的两个整数整除，求这两个整数．32．如图，有足够多的边长为的小正方形（A类），宽为、长为的长方形（B类）以及边长为的大正方形（C类），发现利用图1中的三类图形可