重难专题03 全等三角形的垂线模型（原卷版）

重难专题03全等三角形的垂线模型如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．【答案】3【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．【详解】解：过点作交延长线于点，则∠DMC=90°=∠ABC，，，，，，，，，，．故填．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有____________(填序号)．【分析】根据，利用同角的余角相等即可判断（1）；过E作于点H，过F作，交的延长线于点G，利用K字型全等，易证，从而判断（2）；同理可证，可得，再证，即可判断（4）；最后根据，结合全等三角形即可判断（3）．【详解】解：∵为边上的高，，∴，∴，故(1)正确；如图所示，过E作于点H，过F作，交的延长线于点G，∵为等腰直角三角形，∴，在与中，∵，∴，∴与不全等，故（2）错误；同理可证，∴，又∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，故（4）正确；∵，∴．故（3）正确；综上：正确的有（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，掌握K字型全等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）如图，，．求证：．（2）如图，，．求证：．【分析】（1）过点分别作，，垂足分别为、，通过三角形全等得到，即可求解；（2）过点分别作，，垂足分别为、，通过角之间的关系得到点在的平分线上，再通过三角形全等得到，即可求解；【详解】（1）证明：过点分别作，，垂足分别为、．，即点在的平分线上，，，垂足分别为、，．在和中，．．在和中，．（2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为、．，，．即点在的平分线上．，，垂足分别为、，．在和中，．．在和中，．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意构造全等的直角三角形．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．（1）证明：；（2）试说明：；（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论，进而可得；（3）方法同（1）证明，进而可得（4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得．【详解】（1）证明：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．（3）解：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．∴，，，∴（4）解：．理由如下：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴，∴，．又∵，∴．【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，积累经验：（1）请写出证明过程；类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离．拓展提升：（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标．【分析】（1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明△ADC≌△CEB，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明△AOC≌△CEB，进而得出CO=BE，再根据点C的坐标即可得到结果；（3）过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明△CDB≌△AEC，进而得出BD=CE，AE=CD，最后根据点A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)即可求出点B坐标．【详解】解：（1）证明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；（2）如图，过点B作BE⊥x轴于点E，∵，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，又∵点C的坐标(1，0)，∴，∴，即点B到x轴的距离是1；（3）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，

在和中，，∴≌，∴，又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)，∴，，设B点坐标为(a，b)，则a=4－1=3，b=2+2=4，∴点B的坐标为(3，4)．【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．（1）如图1，当直线在外时，证明：．（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论；（2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论；【详解】（1）证明：∵，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．

∵，∴．

（2）解：．

∵，∴．∴．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．

∵，∴．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变．一、单选题1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（

）A． B． C． D．3．如图，中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，若的面积为3.5cm2，的面积为4.5cm2，则的面积为(

).A．0.25cm2 B．0.5cm2 C．1cm2 D．1.5cm24．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(

)A．50 B．44 C．38 D．32二、填空题5．如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为__________．6．如图，在平面直角坐标系中，以A（2，0），B（0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC（其中∠ABC＝90°，且点C落在第一象限），则点C关于y轴的对称点C'的坐标为______．三、解答题7．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为；（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．8．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．9．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，且AD=CE；（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC．（2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由．（3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．10．如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图；（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：；11．已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持．（1）证明：；（2）若点在线段上满足时，求的长？（3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．12．综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系