山东省青岛市2021-2022学年九年级数学上学期期末试题

山东省青岛2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1．若一个机器零件放置位置如图1所示，其主（正）视图如图2所示，则其俯视图是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由几何体和它的主视图可知，该几何体由一个小长方体和一个大长方体组成，且小长方体位于大长方体上方的中间位置，所以该几何体的俯视图是D.故选D.2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）．A． B．且C．且 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到Δ＝42+8k≥0且k≠0，然后求出两不等式的公共部分即可；【详解】解：∵一元二次方程有实数根，∴Δ＝42﹣4×（-2）k≥0且k≠0，∴k≥-2且k≠0；故选：C【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（）．x3.243.253.26A． B．C． D．【答案】C【分析】利用表中数据得到x=3.25和x=3.26时，代数式ax2+bx+c的值一个等于0.01，一个等于0.03，从而可判断当ax2+bx+c=0.02时，3.25＜x＜3.26．【详解】解：当x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，当x=3.26时，ax2+bx+c=0.03，所以方程ax2+bx+c=0.02的解的范围为3.25＜x＜3.26．故选：C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．4．如图，在中，点D在边AB上，，交AC于点E．若，则为（）．A．15 B．3 C．16 D．4【答案】A【分析】先证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵∴△ADE∽△ABC∵∴∴∴=16∴=-5故选A．【点睛】此题主要考查相似三角形的相关证明与面积求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质．5．设点，，是反比例函数图象上的三个点，当时，，，的大小关系是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：∵反比例函数中，k＝﹣6＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，∴点A（x1，y1）点B（x2，y2），在第四象限，∴y1＜0，y2＜0，∵函数图象在第四象限内y随x的增大而增大，x1＞x2，∴y1＞y2．C（x3，y3）在第二象限，∴y3＞0，∴y1，y2，y3的大小关系为y3＞y1＞y2，故选：A【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确反比例函数在每个象限内的增减性，知道反比例函数图象所在象限．6．将抛物线沿着x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，则得到的抛物线的解析式为（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】先写出原抛物线的顶点坐标，再根据平移得出新抛物线的顶点坐标，根据坐标写出解析式即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为（0，3），将抛物线沿着x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，则得到的抛物线的顶点坐标为（2，6），则得到的抛物线的解析式为；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题关键是把二次函数平移问题转化为二次函数顶点平移，利用顶点坐标写出解析式．7．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和图形，可以得到AC、BC和AB的长，然后根据等面积法可以求得CD的长，从而可以得到的值．【详解】解：作CD⊥AB，交AB于点D，由图可得，AC＝，BC＝2，AB＝，∵，∴，解得，CD＝，∴sin∠BAC＝，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．已知一次函数图象如图所示，二次函数与反比例函数的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出，结合二次函数图象与y轴的交点得到，据此得出反比例函数图象经过的象限即可解题．【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限，，二次函数的开口向下，故选项C、D均错误，不符合题意；当抛物线与y轴交于正半轴时，c＞0反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象、一次函数图象、反比例函数图象与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9．计算：______．【答案】【分析】先求出特殊角的三角函数值，再计算即可．【详解】解：===．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．10．若，，则______．【答案】-12【分析】设，得出，代入求出k的值，再代入求解即可．【详解】解：设，则，代入得，，解得，，；故答案为：-12【点睛】本题考查了等式的性质和解一元一次方程，解题关键是通过设参数建立方程，求出参数的值进行求解．11．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，把缩小为，其相似比为3∶1，则点E对应点的坐标为______【答案】（-2,1）或（2，-1）【分析】先求出位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为，其相似比为3∶1∴点，以原点O为位似中心，位似比为∴点E对应点的坐标为或，即（-2,1）或（2，-1）．故答案是（-2,1）或（2，-1）．【点睛】本题主要考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______．【答案】x2+x+1＝73【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1＝73．故答案为x2+x+1＝73．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．13．如图，在中，，，BE是高，且点D，F分别是边AB，BC的中点，则的周长等于______．【答案】20【分析】由题意易AF⊥BC，则有，然后根据直角三角形斜边中线定理可得，进而问题可求解．【详解】解：∵，F是边BC的中点，∴AF⊥BC，∵BE是高，∴，∵点D，F分别是边AB，BC的中点，，，∴，∴；故答案为20．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．14．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，则下列结论正确的是______（填序号）．①；②连接MD，S△ODM=2S△OCE，；③；④连接，则△BED∽△BCA.【答案】①③④【分析】①正确．由四边形ABCD是矩形，推出S△OBC＝S△OBA，由点E、点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，推出S△CEO＝S△OAD＝，即可推出S△OEB＝S△OBD．②错误．因为b＝ab，所以S△ODM：S△OCE＝，故错误．③正确．设点B（m，n），D（m，n′）则M（m，n，），由点M，点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，可得m•n＝m•n′，推出n′＝n，推出AD＝AB，推出BD＝3AD，故正确．④正确．由＝3，推出DE∥AC，推出△BED∽△BCA．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴S△OBC＝S△OBA，∵点E、点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△CEO＝S△OAD＝，∴S△OEB＝S△OBD，故①正确;连接DM，∵S△ODM＝S△OBD﹣S△BDM＝，∵S△CEO＝S△OAD＝，∴S△ODM：S△OCE＝，故②错误;设点B（m，n），D（m，n′）则M（m，n，），∵点M，点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴m•n＝m•n′，∴n′＝n，∴AD＝AB，∴BD＝3AD，故③正确;连接DE，同法可证CE＝BC，∴BE＝3EC，∴，∴DE∥AC，∴△BED∽△BCA，故④正确．故答案是：①③④.【点睛】考查反比例函数综合题、矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会用分割法求三角形面积，属于中考压轴题．评卷人得分三、解答题15．求作：矩形ABCD，使它的对角线，且对角线夹角为60°．【答案】见详解．【分析】作线段AC的垂直平分线交AC于点O，作等边△AOB，延长BO，截取OD=OB，连接BC，CD，AD即可．【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．解下列一元二次方程．（1）（2）【答案】（1），（2），．【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．（1）解：化简得，，，，方程有两个不相等的实数根，，，．（2）解：，，，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法和因式分解法解方程．17．每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动，在“形象大使”选拔活动中，A，B，C，D，E这5位同学表现最为优秀，学校现打算从5位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中A和C的概率．【答案】【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中恰好选中A和C的结果数有2种，所以恰好选中甲和乙的概率是．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与y轴交于点C，点A的坐标为．（1）求m及k的值；（2）求点B的坐标及的面积；（3）观察图象直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x取值范围．【答案】（1）m＝﹣3，k＝2；（2）（﹣，﹣4），；（3）或．【分析】（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求即可；（3）求出C的坐标，根据图形即可求出答案．（1）解：∵点A（2，1）在函数y＝2x+m的图象上，∴4+m＝1，即m＝﹣3，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k＝2；所以m＝﹣3，k＝2；（2）解：∵一次函数解析式为y＝2x﹣3，令x＝0，得y＝-3，∴点C的坐标是（0，-3），∴OC＝3，联立方程组得，得：或，∴点B的坐标为（﹣，﹣4），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝；（3）解：观察图象可知，在第三象限时，在点B左侧或在第一象限时，在点A左侧时，反比例函数值大于一次函数值，故自变量x取值范围为或．【点睛】本题考查了待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键，用了数形结合思想．19．上海中心大厦是我国目前最高的大楼，如图为了测量上海中心大厦AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22°，仪器CD高度为2米，将仪器CD沿着CA方向前进735米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算上海中心大厦AB的高度．（，，，）【答案】米【分析】延长DF交AB于点M，设米，结合题意，根据正切的性质，得，再根据正切的性质，通过列分式方程并求解，得，通过计算即可得到答案．【详解】如图，延长DF交AB于点M根据题意，得米，米设米根据题意，得：∴∵，米∴∴∴经检验，时，∴是的解∴米，即上海中心大厦AB的高度为米．【点睛】本题考查了三角函数、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握正切、分式方程的性质，从而完成求解．20．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解．【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.21．如图，在与中，，，AC，BD相交于点G．过点A作交CB的延长线于点E，过点B作交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）求证：≌；（2）若，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）正方形，证明见解析【分析】（1）由“SAS”可证明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）先证明平行四边形AHBG是菱形，根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行判断即可．【详解】（1）证明：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）；（2）解：∵AHGB，BHGA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC，∴GA＝GB，∴平行四边形AHBG是菱形．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAG＝45°，又∵△ABC≌△BAD，∴∠ABG＝∠BAG＝45°，∴∠AGB＝90°，∴菱形AHBG是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等几何知识的综合运用，解题时注意：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角即可得到正方形．22．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？（3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）400千克（2）60元或80元（3）当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．（1）解：当售价为60元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（60﹣50）＝400千克；答：当售价为60元/千克时，每月销售水果400千克．（2）解：设每千克水果售价为x元，由题意可得：8000＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝60，x2＝80，答：每千克水果售价为60元或80元；（3）解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，因为水果销售量不少于400千克，所以，500﹣10（m﹣50）≥400，解得，m≤60，∵﹣10＜0，当m＜70时，y随x增大而增大，∴当m＝60时，y有最大值为8000元，答：当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．23．（问题提出）如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（问题探究）为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．探究一：如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．探究二：如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．探究三：当在平面内画2条直线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相交（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面被分成4部分．因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为．我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多．探究四：当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多，所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．探究五：当在平面内画1条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11部分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．（1）探究六：在平面内画5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）．（2）（问题解决）如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成______部分．（应用拓展）（3）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加3条直线，则该平面至多被分成______个部分．（4）如果一个平面被直线分成了466部分，那么直线的条数至少有______条．（5）一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数至多为______块．【答案】（1）16（2）（3）86（4）30（5）29【分析】（1）根据题目给出的材料，仿照前面的探究方法，写出解答过程即可；（2）根据上面得出的结论，找到规律即可；（3）运用上面的规律，求出最多分成多少部分即可；（4）根据上面规律列出方程即可；（5）运用上面规律计算即可．（1）解：1条直线时，平面最多被分为1+1＝2部分；2条直线时，平面最多被分为1+1+2＝4部分；3条直线时，平面最多被分为1+1+2+3＝7部分；4条直线时，平面最多被分为1+1+2+3+4＝11部分；5条直线时，平面最多被分为1+1+2+3+4+5＝16部分故答案为：16（2）解：n条直线时：平面最多可分为：1+1+2+3+4+…+n＝1+（1+2+3+4+…+n）＝1+＝（部分），故答案为：．（3）解：如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加3条直线，该该平面至多被分成50+11+12+13=86（部分），故答案为：86（4）解：根据题意，，解得，，（舍去），故答案为：30（5）解：一个正方体蛋糕切7刀，分成的块数至多为（块），故答案为：29【点睛】本题考查了直线、射线、线段，每两条直线都相交且三条直线不交于同一点，可得最多平面，一元二次方程的应用，通过计算、观察、