北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期期中考试高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．2．记命题，则为（）A． B． C． D．3．集合的真子集有（）个A．1 B．2 C．3 D．44．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A． B． C． D．5．下列函数中，在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．6．“”是“”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．8．若函数的值域为，则函数的图象大致是（）A． B．C． D．9．已知函数，则不等式的解集是（）A． B．C． D．10．设，则（）A． B． C． D．11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．12．设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数的定义域为________．14．已知函数，则________．15．若在上是增函数，能够说明“在上也是增函数”是假命题的一个的解析式________．16．函数的值域为________．17．已知下列四个函数：．从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则________．18．已知函数．若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合．（Ⅰ）若，求集合（Ⅱ）若，求的取值范围．20．分别求下列关于的不等式的解集：（Ⅰ）；（Ⅱ）．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．（I）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？22．已知函数．（I）当时，直接写出函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值．23．已知是定义在[3，3]上的奇函数，当]时，．（I）求在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．24．若集合A具有以下性质：①；②若，则，且时，．则称集合是“好集”．（I）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题：若，则必有；命题：若，且，则必有．参考答案一、选择题DACDC，BDBDC，BA二、填空题13．或写为 14．215．（答案不唯一）16． 17．18．三、解答题19．（I）（1，5]（Ⅱ）20．（I）（Ⅱ）时，解集为[2，]；时，解集为；时，解集为[，2]．21．解：（I）依题意得温室的另一边长为米．因此养殖池的总面积，因为，所以．所以定义域为．（Ⅱ），当且仅当，即时上式等号成立，当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．22．解：（1）当时，，，由二次函数的性质知，单调递增区间为（，1]，[2，）．或写为（，1），（2，）（Ⅱ）∵，[1，2]时，所以，当，即时，；当，即时，；∴．23．（I）因为是定义在[3，3]上的奇函数，[3，0]时，，所以，解得，所以（3，0]时，当时，，所以，又，即在上的解析式为，（Ⅱ）因为时，，所以可化为，整理得，令，根据指数函数单调性可得，所以也是减函数．所以，所以，故实数的取值范围是[7，）．24．解：（I）集合不是“好集”．理由是：假设集合是“好集”．因为，所以．这与矛盾．有理数集是“好集”．因为，对任意的，有，且时，．所以有理数集是“好集”．（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以．若，则，即．所以，即．（Ⅲ）命题均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”，任取，若中有0或1时，显