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北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期期中考试高一年级数学学科本试卷共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.一、选择题(每题4分,共48分)1.已知集合,则下列说法正确的是()A. B. C. D.2.记命题,则为()A. B. C. D.3.集合的真子集有()个A.1 B.2 C.3 D.44.已知实数在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A. B. C. D.5.下列函数中,在区间上单调递减的是()A. B. C. D.6.“”是“”的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要7.已知偶函数在区间上单调递减,则下列关系式中成立的是()A. B.C. D.8.若函数的值域为,则函数的图象大致是()A. B.C. D.9.已知函数,则不等式的解集是()A. B.C. D.10.设,则()A. B. C. D.11.已知函数的定义域为,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.设集合是集合的子集,对于,定义给出下列三个结论:①存在的两个不同子集,使得任意都满足且;②任取的两个不同子集,对任意都有;③任取的两个不同子集,对任意都有.其中所有正确结论的序号是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题(每题5分,共30分)13.函数的定义域为________.14.已知函数,则________.15.若在上是增函数,能够说明“在上也是增函数”是假命题的一个的解析式________.16.函数的值域为________.17.已知下列四个函数:.从中选出两个函数分别记为和,若的图象如图所示,则________.18.已知函数.若存在非零实数,使得成立,则实数的取值范围为________.三、解答题(每题12分,共72分)19.已知集合.(Ⅰ)若,求集合(Ⅱ)若,求的取值范围.20.分别求下列关于的不等式的解集:(Ⅰ);(Ⅱ).21.为打赢打好脱贫攻坚战,实现建档立卡贫困人员稳定增收,某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业,助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道,两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米,如图所示.(I)将两个养殖池的总面积表示为的函数,并写出定义域;(Ⅱ)当温室的边长取何值时,总面积最大?最大值是多少?22.已知函数.(I)当时,直接写出函数的单调递增区间;(Ⅱ)当时,求函数在区间[1,2]上的最小值.23.已知是定义在[3,3]上的奇函数,当]时,.(I)求在(0,3]上的解析式;(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.24.若集合A具有以下性质:①;②若,则,且时,.则称集合是“好集”.(I)分别判断集合,有理数集是否是“好集”,并说明理由;(Ⅱ)设集合是“好集”,求证:若,则;(Ⅲ)对任意的一个“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.命题:若,则必有;命题:若,且,则必有.参考答案一、选择题DACDC,BDBDC,BA二、填空题13.或写为 14.215.(答案不唯一)16. 17.18.三、解答题19.(I)(1,5](Ⅱ)20.(I)(Ⅱ)时,解集为[2,];时,解集为;时,解集为[,2].21.解:(I)依题意得温室的另一边长为米.因此养殖池的总面积,因为,所以.所以定义域为.(Ⅱ),当且仅当,即时上式等号成立,当温室的边长为30米时,总面积取最大值为1215平方米.22.解:(1)当时,,,由二次函数的性质知,单调递增区间为(,1],[2,).或写为(,1),(2,)(Ⅱ)∵,[1,2]时,所以,当,即时,;当,即时,;∴.23.(I)因为是定义在[3,3]上的奇函数,[3,0]时,,所以,解得,所以(3,0]时,当时,,所以,又,即在上的解析式为,(Ⅱ)因为时,,所以可化为,整理得,令,根据指数函数单调性可得,所以也是减函数.所以,所以,故实数的取值范围是[7,).24.解:(I)集合不是“好集”.理由是:假设集合是“好集”.因为,所以.这与矛盾.有理数集是“好集”.因为,对任意的,有,且时,.所以有理数集是“好集”.(Ⅱ)因为集合是“好集”,所以.若,则,即.所以,即.(Ⅲ)命题均为真命题.理由如下:对任意一个“好集”,任取,若中有0或1时,显
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