北师大版九年级数学上册 专题3.31 圆中的几何模型-隐形圆专题（专项练习）

专题3.31圆中的几何模型--隐形圆专题（专项练习）一、单选题1．如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（

）A． B．2 C． D．42．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（）A．1 B． C．2 D．3．如图，是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．都不对4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（）A．2 B．π C．2π D．π5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）A．π B．π C．π D．2π二、填空题6．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为_____．7．如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为________．8．如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为__．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是__________________．10．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___．11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．12．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．13．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．14．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．三、解答题17．如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE=CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．18．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.19．如图，是的直径，，点C为上一点，，点为上一动点，点是的中点，求的最小值．20．在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．21．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．（1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围．22．问题发现：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①点O与△APE的位置关系是，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝，AE达到最大值，最大值是．24．中，，，于，点在线段上，点在射线上，连，，满足．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，若，求证：；（3）如图3，将绕点逆时针旋转（）得到，连，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积．参考答案1．B分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=8，则OC=AB=4，OP=AB=4，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=4，∴M点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•4π=2π．故选B．点拨：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．2．A【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．解：如图，由题意知，，在以为直径的的上（不含点、可含点，最短时，即为连接与的交点（图中点点），在中，，，则．，长度的最小值，故选：．【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．B【分析】根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质易得△BAD≌△CAF，从而易得①②正确；取BC的中点O，连接OG、OA，则由直角三角形斜边上中线的性质可得OG是BC的一半，即为定值，故可得点G的运动路径是以O为圆心OG长为半径一段圆弧上运动，从而BG的长度不是固定的，因此可对③作出判定．解：（1）∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF=90゜∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90゜∴AB=AC∴∠BAD+DAC=90゜∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中∴△BAD≌△CAF(SAS)∴BD=CF，∠DBA=∠FCA设BG与AC交于点M，则∠BMA=∠CMG∴∠FCA+∠CMG=∠DBA+∠BMA=90゜∴∠CGM=90゜∴BD⊥CF故①②均正确；如图，取BC的中点O，连接OG、OA∵BG⊥CF，AB⊥AC∴OG、OA分别是Rt△GBC、Rt△ABC斜边上的中线∴在Rt△ABC中，由勾股定理得∴则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点所以BG的长变化的，不可能是定值故③不正确故选：B．【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，对③的判断是比较难，判断出点G的运动路径后问题则迎刃而解．4．D解：如图，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴点G的运动轨迹的长为π．故选：D．5．A解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A．6．20﹣6．【分析】由∠AOB是直角,D为AB的中点,可得DO=5，由∠ACB=,AB=10,可得tan∠BAC=，可得tan∠AOC=tan∠ABC=2.可得点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动，在计算出C运动的路径长即可.解：如图①,连接OD∠AOB是直角,D为AB的中点,DO=5.原点O始终在OD上,∠ACB=,AB=10,tan∠BAC=.BC=,AC=.连接OC,则∠AOC=∠ABC,tan∠AOC=tan∠ABC=2.点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动.如图②,.如图③,.总路径长为+=20-,故答案：20-.【点拨】本题主要考查三角函数及圆的综合知识，难度较大，求出点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动是解题的关键.7．【分析】根据题意先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证△COE≌△BOE，利用全等三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨迹，则劣弧OB的长即为所求．解：∵CD⊥OB∴∠ODC=90°∵点E是△ODC的内心∴∠OEC=90°+∠ODC=135°，∠COE=∠BOE又∵OE=OE，OB=OC∴△COE≌△BOE∴∠OEB=∠OEC=135°∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧．设经过点O、B、E三点的圆M如图所示，则∠N=180°-∠OEB=45°∴∠M=2∠N=90°∴OM=BM=OB=2∴劣弧OB的长∴内心E所经过的路径长为．故答案为：．【点拨】本题考查弧长计算，熟练掌握圆的内心的性质和全等三角形的性质是解题的关键.8．18【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．解：连接，，，，，若要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，，，又，，，故答案是：18．【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．9．【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°＝，∴CF的最大值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．10．【分析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．由三角形的中位线定理可得KM，推出当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，为半径的半圆，由此即可得出结论．解：如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB2，∴OPAB=1．∵CM=MP，CK=OK，∴MKOP，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，为半径的半圆，∴点M运动的路径长•2•π•．故答案为．【点拨】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹．11．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，如图所示：连接OA、OC，作OD⊥AC于D，则AD＝CDAC＝1，∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的长为π；故答案为：π．12．【分析】根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连接OC交圆O于点，从而得到当点E位于点位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解解：∵，∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，连接OC交圆O于点，∴当点E位于点位置时，线段CE取最小值，在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB==1，∵，∴，∴故答案为：【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键13．解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于3π，故答案为：3π．14．解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四边形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AFAO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝2+4＝6∴AF的最大值为6∵AFAO∴AO的最大值为3．故答案为：315．解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，∴ACAB＝2，∴点Q的运动路径长为π16．4【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．

∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，

∴＝，

∵AB＝8，AG＝GB，

∴AG＝GB＝4，

∵AD＝12，

∴，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，

∴∠FAG＝∠EAD，

∴△FAG∽△EAD，

∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，

∵DE＝4，

∴FG＝，

∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，

∵GC＝，

∴FC≥GC−FG，

∴FC≥4，

∴CF的最小值为4．

故答案为：4．【点拨】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE≌△CDF，即可得到AE＝CF；（2）先利用，求得长，再利用，求得，然后设PF=x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长；（3）本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题．解：（1）证明：如图1，由旋转得：，，四边形是正方形，，，，即，，在和中，，，；（2）解：如图2，过作的垂线，交的延长线于，是的中点，且，，，三点共线，，由勾股定理得：，，，由（1）知：，，，，，，，，，设，则，由勾股定理得：，或（舍，，，由勾股定理得：，（3）解：如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，延长到点，使得，连接，，，，，当最小时，为、、三点共线，，，的最小值是．【点拨】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题关键是注意构造辅助线进行解答.18．（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，理由见解析；（3）解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.19．．解：如解图，连接、，∵，，∴，∵是的直径，∴，∴，取的中点为，以为圆心，长为半径作圆，则点在圆上．连接，作于点，连接交于点，则为所求的最小值，∵，，，∴，，，∵，∴，∴由勾股定理得，∴，即的最小值为．20．（1）；（2）；（3）存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1【分析】（1）有P，Q的运动速度，设时间为t，表示出Q，P的坐标，再求出直线PQ的解析式，直线OB的解析式，联立即可求出点D的坐标；（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，连接OM，先说明点H在上运动，再由图形得出，三点共线时，OH取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；（3）连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，说明点M在上，连接MN，过点M作于点T，连接AN交于于点，可得出即，再求出直线的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∥BC，∵，∴，∴点C的坐标为，∵点P从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向点C运动，∴设时间为m，则，∴，设直线PQ的解析式为，代入解得，设直线OB的解析式为，代入点B的坐标，求得，联立，解得，故点D的坐标为，故答案为；（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，点D（3,2），连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，∵点D（3,2），点，∴点M的坐标为，，∴，∵，∴点H在上运动，连接HM，由图可知，，当三点共线时，取得最小值，即，故OH的最小值为；（3）存在，理由如下，连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，则在圆上，与轴相切，∵，∴点M在上，∵与轴相切，在上，∴连接MN，过点M作于点T，连接AN交于于点，∴∴∴，连接交x轴于点,交于BC与点，设直线的解析式为,代入点，，解得直线的解析式为，∴当时，,∴存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1．【点拨】本题考查菱形的性质，一次函数问题，构造三角形求线段最小值，圆的知识，三角形三边关系，坐标与图形，解题关键是熟练掌握相关知识点，能够构造圆进行求解．21．（1）DE＝13；（2）见解析；（3）﹣2≤AP≤+2【分析】（1）借助三角形全等，求线段的长度．（2）借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形．将AG转化为GM；（3）主动点M在圆上运动，从动点P也在圆上运动，利用中位线找到P的运动轨迹．解：（1）∵∠A＝45°，且AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形，又∵,∴BD＝12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DBE＝∠ADB＝90°，在Rt△BED中，BD＝12，BE＝5，∠DBE＝90°，∴DE＝＝＝13；（2）如图2，连接GK，BK，延长BK交AD于M，连接GM，∵AD∥BC，∴∠EBK＝∠DMK，∠KEB＝∠MDK，又DK＝KE，∴△BEK≌△MDK（AAS），∴DK＝KE，又∵BH＝GH，∴KH∥GM，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠EDB+∠BDF＝∠FDA+∠BDF，∴∠EDB＝∠FDA，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD，∴DB＝DA，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴∠DAF＝∠DBE＝90°，AF＝BE∵∠DAG＝∠DFG＝45°，∴A、F、G、D四点共圆，∴∠DGE＝∠DAF＝90°，在Rt△DGE中，K是DE的中点，∴GK＝DE，在Rt△DKE中，同理可得：KB＝DE，∴GK＝KB，又∵BH＝GH，∴KH⊥BG，∵KH∥MG，∴MG⊥AB，∴∠AGM＝90°，∵∠BAD＝45°，∴∠AMG＝∠BAD＝45°，∴AG＝GM，∴KH＝GM＝AG．（3）作EN⊥AB于N，在Rt△BEN中，∠EBN＝180°﹣∠ABC＝45°，BE＝2，∴EN＝BN＝，在Rt△GEN中，GN＝GB+BN＝3，EN＝，∴GE＝2，∴DE＝GE＝2，在Rt△DBE中，BE＝2，DE＝2，∴BD＝6，∴AB＝BD＝6，∴AG＝AB﹣BG＝4连接MG，取GK的中点I，作IQ⊥AB于Q，∵P是MK的中点，∴PI＝＝2，∴点P在以I为圆心，半径为2的⊙I上运动由（2）知：KH＝AG＝2，∵IQ是△KGH的中位线，∴IQ＝KH＝，在Rt△AIQ中，AQ＝AG+GQ＝4+＝，IQ＝KH=，∴AI＝，∴AI﹣PI≤AP≤AI+PI，∴﹣2≤AP≤+2．【点拨】本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和圆的综合运用，解题关键是确定P点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思想和创新意识．22．（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值．解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，∴，又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，∴∠DAG=∠CAF，∴△DGA∽△CFA，∴，故答案为；（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，作OE垂直AB延长线于点E，∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，又∵OE⊥AE，∴△BEO为等腰直角三角形，∴BE=OE=OB=×2=2，又∵AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴，∵OP=OB=2，∴AP=AO-OP=-2，即AP的最小值为-2；（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，则∠EAB=45°，，∵AC=AD，∠ACD=90°，∴DAC=45°，，∴，∠DAB=∠CAE=45°，∴△DAB∽△CAE，∴，∴BD=CE，∴当CE最大时，BD取最大值，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，∴点C在优弧AB上，由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，此时C'E=OE+OC'，∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴四边形AOBE为正方形，∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，∴CE的最大值为6+3，∵BD=CE，∴BD的最大值为×（6+3）=6+6．【点拨】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等