人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第17讲 3.2.1单调性与最大（小）值（原卷版）

第03讲3.2.1单调性与最大（小）值课程标准学习目标①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．②掌握定义法证明函数单调性的步骤．③掌握函数单调区间的写法.④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.⑤.会借助单调性求最值.⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值．通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值.知识点01：函数的单调性1、增函数与减函数1.1增函数一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，区间SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，那么就称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数SKIPIF1<0在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).1.2减函数一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，区间SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，那么就称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数SKIPIF1<0在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增或单调递减，那么就说函数SKIPIF1<0在这一区间具有(严格的)单调性，区间SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的单调区间．3、常见函数的单调性函数单调性一次函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减反比例函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增二次函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）对称轴为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；在SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0上单调递减知识点02：函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数SKIPIF1<0，证明的单调区间为SKIPIF1<0①取值：任取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；②作差：计算SKIPIF1<0；③变形：对SKIPIF1<0进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；④定号：通过变形，判断SKIPIF1<0或（SKIPIF1<0），如有必要需讨论参数；⑤下结论：指出函数SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性与SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性相反；（2）函数SKIPIF1<0在给定区间SKIPIF1<0上的单调性与SKIPIF1<0的单调性相同；（3）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共定义区间SKIPIF1<0，有如下结论；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增SKIPIF1<0增SKIPIF1<0增SKIPIF1<0不确定增SKIPIF1<0减SKIPIF1<0不确定增SKIPIF1<0减SKIPIF1<0减SKIPIF1<0减SKIPIF1<0不确定减SKIPIF1<0增SKIPIF1<0不确定减SKIPIF1<0【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0.(1)判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，并证明；【答案】(1)函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，理由见详解【详解】（1）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；理由如下：取SKIPIF1<0，规定SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减知识点03：函数的最大（小）值1、最大值：对于函数SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，如果存在实数SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0那么称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最大值；2、最小值：对于函数SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，如果存在实数SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0那么称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最小值；知识点四：复合函数的单调性（同增异减）一般地，对于复合函数SKIPIF1<0，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：SKIPIF1<0：令：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增增增增减减减增减减减增【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）当SKIPIF1<0时，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数的值域为：SKIPIF1<0.故选：C．题型01定义法判断或证明函数单调性【典例1】（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为增函数，则SKIPIF1<0为增函数B．若SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为减函数，则SKIPIF1<0为减函数C．若SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为减函数，则SKIPIF1<0为增函数D．若SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为增函数，则SKIPIF1<0为减函数【典例2】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)根据定义证明函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．【变式1】（2023秋·高一课时练习）求证：函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数.【变式2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数SKIPIF1<0．（1）用定义证明函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调减函数；【变式3】（2023·全国·高一专题练习）求证：函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数．题型02求函数单调区间【典例1】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图是函数SKIPIF1<0的图象，则函数SKIPIF1<0的减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03复合函数单调区间【典例1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型04根据函数的单调性求参数【典例1】（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，则整数SKIPIF1<0的取值可以为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【变式1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，则SKIPIF1<0的取值范围是________．【变式2】（2023·全国·高一专题练习）“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型05根据函数的单调性解不等式【典例1】（2023秋·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的增函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【典例2】（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上是减函数，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,且当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性,并说明理由;(2)若SKIPIF1<0,解不等式SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3)>f(－m)，则实数m的取值范围是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【变式2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的减函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是______．题型06根据单调性（图象）求最值或值域【典例1】（多选）（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0【典例2】（2023春·重庆·高二统考阶段练习）函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0．（1）求实数a，b，并确定函数SKIPIF1<0的解析式；（2）判断SKIPIF1<0在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）写出SKIPIF1<0的单调减区间，并判断SKIPIF1<0有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）【变式1】（2023·全国·高一专题练习）设SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求证SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值.【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数(1)求实数SKIPIF1<0的值，判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上的单调性；(2)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上的最大值和最小值．题型07根据函数的最值（值域）求参数【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0，它的最大值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0存在最小值，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0(1)根据单调性的定义证明函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数(2)若函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最大值与最小值之差为1，求实数SKIPIF1<0的值【变式1】（2023·上海·高三专题练习）设SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值，则SKIPIF1<0的取值范围是.【变式1】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有最大值3，求实数SKIPIF1<0的值.题型08二次函数最值问题（含参）【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0的表达式SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最值．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)求函数在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的最大值SKIPIF1<0．【变式1】（2022秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最小值为–1．(1)求实数a的值；(2)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值．【变式2】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，求函数在区间SKIPIF1<0上的最小值SKIPIF1<0【变式3】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0．题型09函数不等式恒成立问题【典例1】（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知SKIPIF1<0.(1)若不等式SKIPIF1<0对一切实数SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0.【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0，(1)判断函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性，并利用定义证明；(2)若对任意的SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.题型10函数不等式有解问题【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0(1)解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，若对任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为3，最小值为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)若SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【变式1】（2023·高一单元测试）若存在实数SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，求x的取值范围．【变式2】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数．(1)若SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．题型11重点方法（分类讨论）【典例1】（2023·高一课时练习）定义一种运算SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（t为常数），且SKIPIF1<0，则使函数SKIPIF1<0最大值为4的SKIPIF1<0值是__________．【典例2】（2023·全国·高三对口高考）设SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对于任意实数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0__________．题型12数学思想方法（数形结合）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知函数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.2.1单调性与最大（小）值A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·广东·高三统考学业考试）在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023秋·江苏扬州·高一期末）SKIPIF1<0的图象大致是（

）A．B．C．D．3．（2023秋·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023·江苏·高一专题练习）关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，且不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数t的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递增区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则a的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023秋·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）设函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）下列函数中，在SKIPIF1<0上单调递增的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023秋·高一课时练习）下列函数中满足“对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∈(0,＋∞)，都有SKIPIF1<0＞0”的是(

)A．SKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0＝－3SKIPIF1<0＋1C．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋4SKIPIF1<0＋3 D．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0三、填空题11．（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的严格减函数，则SKIPIF1<0的取值范围是______．12．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）函数SKIPIF1<0的单调减区间为__________.四、解答题13．（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图像如图所示.（1）指出SKIPIF1<0的单调区间.（2）分别指出SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0及SKIPIF1<0上的最大、最小值.14．（2023·高一课时练习）己知函数SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的减函数，且SKIPIF1<0，试求实数m的取值范围．15．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为减函数.B能力提升1．（2023·全国·高三对口高考）对于任意SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的值恒大于零，则x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，满足对任意的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·北京·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，存在常数SKIPIF1<0，使得对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则t的最小值为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<04．（2023春·天津河东·高二天津市第七中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的增函数，且对一切SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解为______．5．（2023·