固体物理第三章-晶格振动与热学性质

第三章晶格振动与晶体热学性质

格点：在研究晶体的几何结构和晶体结合时，组成晶体的原子被认为是固定在指点位置（平衡位置）静止不动的理想化模型。

实际情况如何？晶格振动。在T

0K下，组成晶体的原子并不是静止不动的，而是围绕平衡位置作微小振动，由于平衡位置就是晶格格点，所以称为晶格振动，在晶体中形成格波。1

晶格动力学是固体物理学中最基础、最重要的部分之一：晶格振动对晶体的热学性质，光学性质，电学性质，超导电性，结构相变等有着重要影响。23.1一维晶格振动3.2三维晶格振动

3.3筒正振动与声子3.4晶格振动谱的实验测定方法

3.5长波近似3.6晶格振动热容理论3.7晶格振动的非谐性效应3.8晶体的热力学函数本章主要内容3§3.1一维晶格的振动

一、一维简单格子一维振动是最简单的一种振动：由于晶体原子间存在着相互作用力，任何一个原子振动都必然影响到其它原子，也必然受到其它原子影响，严格求解晶格振动是一个非常复杂的问题。一维单原子链（近似方法）：

一维晶格（质量为m的全同原子组成），晶格常数为a。n-2n-1nn+1n+2一维单原子链a4r=un+1+a

－un在t时刻，第n个原子偏离平衡位置的位移为unn-2n-1nn+1n+2un-2un-1unun+1un+2一维简单晶格振动rar

－

a=un+1

－un的意义表示相邻格点的相对位移：>0：伸长；<0：缩短。5它们之间的作用力：序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为：

r=un+1+a

－un

两原子间的相互作用势为U(r)，小振动，U(r)与U(a)

差别不大，在平衡位置泰勒级数展开：6相互作用力：=0忽略简谐近似

(d2U/dr2)a

=

第n和n+1的两个原子的相互作用力：

与弹簧受力f＝－kx比较：

为弹性恢复力系数7

最近邻近似：（1）第n个原子受到第n－1个原子的作用力

(un－un-1)（>0向左拉伸力;<0向右排斥力)；（2）第n个原子受到第n+1个原子的作用力

(un+1－un)（>0向右拉伸力;<0向左排斥力)。

第n个原子受到的作用力：

fn

＝fnR

－fnL＝

(un+1－un)－

(un－un-1)

＝

(un+1＋un-1－2un)

n-1nn+1un-1unun+1n-1nn+1fnRfnL动力学方程8第n个原子在平衡位置的运动方程为：每个原子的运动都与其它原子的运动有关。对于N个原子组成的晶格，所有原子运动联立方程组。问题：两端的两个原子的运动方程如何处理？边界条件—1：u1=0，uN=0（不成立）9

玻恩—卡门边界条件：设想在有限晶体之外还有无穷多个相同的晶体相联结，各晶体中相对应原子的运动情况都一样。对一维晶格，该条件表示为：uN+n

＝un

玻恩—卡门边界条件合理性如何？在实际的原子链两端接上了全同的原子链后，由于原子间的相互作用主要取决于近邻，所以除两端极少数原子的受力与实际不符外，不受假想原子链的影响。因此较合理。玻恩—卡门边界条件是固体物理学中及其重要的条件，许多重要理论结果的前提条件是晶格的周期性边界条件。

玻恩—卡门边界条件（周期性边界条件）10A为振幅，

是圆频率，qna是第n个原子在t＝0时刻的振动相位序号为n'的原子的位移：玻恩—卡门边界条件下运动方程组的通解：动力学方程组的解11格波两原子位移相同

若（l为整数）

若（l为整数）两原子位移相反格波：任意时刻原子的位移呈现周期性分布，构成的一种波。q为格波的波矢。3a=/q12格波波矢qqk13

将通解代入运动方程：

得：可得

或者

讨论

（1）格波的频率

在波矢空间内是以倒格矢2/a为周期的周期函数。

（2）格波的频率

在波矢空间内具有反演对称性。格波频率

14格波的速度是格波的波长，q=2/不同波长的格波传播速度不同，折射角不同，导致色散

波矢q限定在范围：（第一布里渊区）

波矢空间内，

是以2/a为周期的函数。即

(q)=

(q+2/a)第一布里渊区15通常称

与q的关系一维简单晶格的色散关系

色散关系（振动频谱或振动谱）16（1）当q

0时（长波极限），格波的速度

成为一个常数，与波矢无关某一原子周围的若干原子以相同的振幅和位相振动在长波(

>>a)情况下，格波可看成是弹性波。因为波长很大时，相比起来晶格常数a很小，所以可以把晶格看成连续介质。

un+1

＝un

＝un－1

关于格波波矢的讨论17（2）当q

=±/a时，格波的最大频率截止频率。高于此频率的波，不可能以声波的形式在晶体内传播相邻原子作相对运动－un+1

＝

un

＝

－un－118（3）允许的波矢数目等于原胞的数目，振动谱是分离谱。

周期性边界条件（BK条件）：允许的波矢数目等于N（原胞数）19二、一维复式格子

一维复式格子的格波解：

一维复式格子2n-22n-12nabMm

1

22n+12n+2分子力常数晶格常数

简谐近似和最近邻近似：不等价的原子（第2n和2n+1个）的动力学方程分别为20与单原子一维晶格类似：上述方程具有下述格波形式解u2n/u2n+1表示同一原胞中两种不等价原子的相对振幅和位相差

一维复式格子2n-22n-12nabMm

1

22n+12n+221假设：（1）同种原子周围情况相同，振幅相同；原子不同，振幅不同。（2）相隔晶格常数a的同种原子，相位差为qa。整理，得：

得到：22解出

2的两个正值解：

由两种不同原子构成的一维复式格子存在两种独立的格波：

A（声学波）和

O（光学波）

A、B不会为0，故：23（1）格波的频率

在波矢空间内是以倒格矢2/a为周期的周期函数，即

(q+2/a)=

(q)。（2）格波的频率具有反演对称性。即

(q)=

(q)。

波矢q可以限定在范围：（第一布里渊区）

关于格波频率的讨论：

24允许的波矢数目等于N（原胞数）N是总原胞数晶格振动的模式数目等于原子自由度数之和。波矢相同，频率不同；频率相同，波矢不同属不同的振动模式。格波模式总数为2N：对一维双原子复式格子，一个波矢对应两个不同频率。2N为原子总数，原子自由度数（玻恩—卡门边界条件）

晶格振动的波矢数目：25

一维双原子晶格的频谱图：一维双原子晶格的频谱

Amax

Omin

光学波和声学波26与波矢无关的常数长声学波是弹性波，最小频率为0。

A一支的格波为声学波。

声学波的最高频率：0

A

Amax，

Amax<Omin当q

0时，格波的速度

一维双原子晶格的频谱

Amax

Omin长声学波是弹性波：27光学波频率处于光波频率范围（远红外段）：离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振。光学波的最低频率：一维双原子晶格的频谱

Amax

Omin28长波极限下，原子的位移：长光学波长声学波29长波极限下，一维双原子的位移长声学波长光学波长光学波原胞中不同原子作相对运动。质量大的振幅小，质量小的振幅大，质心不动。偶极矩如何变化？长声学波原胞中不同原子以相同的振幅和位相作整体运动（刚体运动），原胞质心运动。30§3.2三维晶格的振动

三维晶格振动极其复杂，难以得到振动解析的近似解。可以采用与一维复式格子类比的方法，得到形式解。31一、运动方程和格波解原胞的基矢为aj

(j＝1,2,3)，沿3个基矢方向各有N1,N2,

N3个原胞。共有N=N1N2N3个原胞a1a3Oa2三维晶格结构的描述32

晶体由n种原子构成。质量：m1、m2、

mn；每个原胞中不同原子平衡位置的相对坐标：r1、r2、

rn。a1a3Oa2Oa1a3a212333

顶点（格点）的位置矢量：

Rl=l1a1

+l2a2+l3a3

a1a3a2123a1a3Oa2

Rl=l1a1

+l2a2+l3a3

Rl+

r3

3原胞Rl=l1a1

+l2a2+l3a3第p个原子的位置：

Rl+

rp

34原胞中各原子在t时刻偏离其平衡位置的位移：

第p个原子在

（

=x，y，z）方向运动方程为：右端是方向位移的线性代数式（简谐近似）

设方程的形式解：q一定，q

rp是定值。顶点在Rl=l1a1

+l2a2+l3a3的原胞运动方程和格波解35

分量形式：

3n个线性齐次方程组：

mp

2Ap=…(p=1,2,…,n;=x,y,z)

由振幅Ap

有非零解的条件，可解出

的3n个实根。代入运动方程，得3n个线性齐次方程组36vAi(q)是q方向传播的弹性波的速度，是常数

此时

A1=A2=…=An

Ai=vAi(q)q(i=1,2,3)

其中，有3个在q0时

原胞作刚性运动，这三支是声学波其余（3n-3）支是光学波（频率更高）37二、色散关系波矢点阵波矢q具有倒格矢量纲a1a3Oa2338

其中：三维格波波矢不是连续的波矢点阵具有周期性，一个重复单元对应一个波矢点。最小重复单元体积：

则：

波矢密度：b1b3Ob239波矢q取值限制在一个倒格原胞范围（简约布里渊区）。波矢增加一个倒格矢:q

q+Km

原子位移不变简约布里渊区40

一个波矢q，有3个声学波，(3n

3)个光学波；晶格振动的模式数目：3nN（所有原子自由度数之和）。晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数；晶格振动的模式数目等于晶体中所有原子自由度数之和。晶格振动的波矢数目和模式数目波矢可取的数目（晶体原胞数目）：41金刚石是复式格子，一个原胞中有两个原子。应有6支格波：3支是声学波，3支是光学波。

沿[100]和[111]方向的频谱，声学波和光学波的两支横波是简并的，测出4条谱线。沿[110]

方向横波模式没有简并，测出6条谱线。

金刚石的振动谱金刚石的振动谱

42§3.3简正振动与声子一、简正振动原子处于平衡位置时，原子间相互作用势能最小设N个原子的位移矢量分别为

(u1,u2,u3)，(u3,u4,u5)，…，(u3N-2,u3N-1,u3N)相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数：U=U(u1,u2,…,u3N)简正振动或简正坐标的引入43=0忽略简谐近似能量零点

N个原子的振动动能：

简正坐标Qj：为了消去势能中的交叉项：

势能平衡位置展开：每个位移分量是由3N个Qj的线性叠加

44振动方程

拉格朗日函数

哈密顿函数

晶体内原子在平衡位置附近的振动可近似看成3N个独立的谐振子振动。

i是晶格振动频率正则方程

45实际的（原子振动）格波振动如何？一般是3N个简正振动模式的线性迭加。简正（坐标）振动的意义

则：

只有频率

的模式振动时，解为：

每个原子都以相同的频率振动，这是最基本的振动方式——格波的简正振动。46波矢为q的格波引起第n个原子的位移：设Aq为实数例：一维简单晶格的简正振动问题：这N个频率是否对应简正振动频率？第一布里渊区N个q，对应N个频率

一维简单晶格的N个原子振动可等价于N个谐振子振动。谐振子的振动频率就是晶格的振动频率。47共轭：波矢为q的正向传播的格波和波矢为-q的负向传播的格波的性质相同：都是纵波；频率相同，

q=

-q

；在同一温度下，引起的原子振幅相同，Aq=A-q。

第n个原子的总位移：n-2n-1nn+1n+2un-2un-1unun+1un+248第n个原子的实位移：改写上式：Q(q)是否是简正坐标？49Q(q)是简正坐标晶格的动能：它能将晶格振动的动能和势能化为平方和形式50一维简单格子的色散关系晶格的势能：51一维简单晶格的N个原子振动可等价于N个谐振子振动。谐振子的振动频率就是晶格的振动频率。代入正则方程：简正振动方程

52二、晶格振动能谐振子运动方程（

）解谐振子的振动能：U(r)

i012353晶格振动能：晶格振动能是量子化的。能量增减以ħ

为计量。

1

254声子：既然晶格振动能量增减是以ħ

计量，假想一种粒子——声子携带该能量。声子是晶格振动的能量量子。三、声子U(r)

i0123声子数ni为355声子是假想粒子。

声子是准粒子，

ħq为声子的准动量。

其它粒子（如光子、电子）与晶格相互作用时，恰似与能量为ħ

，动量为ħq的粒子的作用。声子是虚粒子，它不携带真实的动量。56声子具有等价性——波矢为q的声子与波矢为q+Km的声子是等价的。

波矢为q和q+Km的格波的解是一样的。一维简单原子链，波矢q的格波的总动量格波总动量为0，说明声子不携带真实动量。57

“声子”概念对晶格振动能的解释：频率

i的谐振子，其能量niħ

i为ni个声子携带。

20123U(r)U(r)

10123458

晶体温度是晶格振动能量的反映。

（声子数目和声子能量）温度高，晶体的振动能高。问题：温度一定，对于频率为

的谐振子，其平均声子数为多少？U(r)

1012359U(r)

10123

20123U(r)

1

260晶体温度T，频率为

的谐振子的平均声子数为（玻耳兹曼统计理论）：高温时，平均声子数与温度成正比，与频率成反比。温度一定，频率低的格波的声子数比频率高的要多。在甚低温度绝大部分声子能量小于10kBT。61§3.4晶格振动谱的实验测定方法晶格振动谱的实验测定，就是测定晶格振动频率与波矢的关系

(q)，晶体的许多性质都和函数

(q)有关，因此很重要。是人们认识原子微观运动、揭示固体宏观性质的微观本质的有力工具。方法：中子散射（最重要）光子散射（X射线散射、光的散射）62一、光子散射

光子与格波振动相互作用导致固体在红外波段（10~100m）有吸收峰。如：长光学横波与红外光子的电磁耦合。

光子与格波相互作用也会发生散射。介质折射率的变化（极化率变化）是引起光散射的原因。晶格振动的声学波和光学波都会产生折射率的变化（晶体的光致折变）。

格波与光波相互作用可理解为光子与声子的碰撞，产生散射。63

能量和准动量守衡：粒子频率波矢作用前光子

k声子(吸收）

q作用后光子

k

声子(发射）

q相互作用的物理量：吸收声子发射声子64

晶格振动频谱吸收声子发射声子当入射光的频率

与k一定，在不同方向光子测出散射光频率，由

和

的差值求出声子的频率

；再由k与k

的大小与方向求q的大小与方向。651.布里渊散射（长声学波的频谱）长声学波声子导致光子的散射。光波：长声学波：晶体中声速kk

q

光子散射q的方向由光子入射和散射方向决定66长声学波：光子的布里渊散射频谱的确定讨论：一般可见光k~105cm-1，要求相互作用的声子的波矢q同数量级。从晶体布里渊区来看，它们只是在布里渊区中心附近很小一部分区域的声子，长波声子。只能测定长波声子672.喇曼散射布里渊散射散射光的频率移动很小：

-=107-31010Hz。

喇曼散射：光与光学波相互作用，散射频率移动~31010-31013Hz。

斯托克斯散射：散射频率低于入射频率（发射声子）

反斯托克斯散射：散射频率高于入射频率（吸收声子）68光子与长光学波声子作用。喇曼散射所用红外光的波长在10-3~10-6m（对于原子尺寸来说，长波长范围），与红外光相互作用的格波（长光学波）的波长应同数量级。

光子散射的缺点：只能测定出较小波矢范围的格波频谱。

69

3.X光散射原理与前述相同。

X射线的波矢矢量与晶体倒格矢同数量级，因此测量范围可以遍及整个布里渊区；

X射线的能量（~104eV）远大于声子能量（~10-2eV），用能量守衡关系确定声子能量很困难。70中子不含电荷，只与原子核作用。散射信号弱。利用中子散射谱仪测定晶格振动谱始于1950年代。一般的反应堆中子流密度太小，实验工作受到了很大限制。只有在近20年采用高通量的中子反应堆后（1014cm-1s-1），才成为最重要的实验手段（可以测定大范围的振动谱）。中子能量：0.02-0.04eV，与声子能量同数量级中子的德布罗意波长：2-310-8cm，与晶格常数同数量级提供了确定晶格和q的最佳条件。二、中子散射71局限性：（1）散射信号弱，需采用高通量的中子反应堆（1014cm-1s-1）。（2）有些晶体无法获得中子散射谱。固态氦-Ⅲ：氦-Ⅲ的原子核对中子有很大的俘获截面，形成氦-Ⅳ。72中子的质量为m，入射中子的动量为P，散射后中子的动量为P

。则+：吸收声子：发射声子Km=0，正常散射；Km

0，倒逆散射过程，U过程。倒逆过程散射角较大。73正常散射：钠金属90K时[110]方向的振动谱振动谱的确定q方向：P与P

方向确定。最高一支声学纵波；下两支声学横波。74§3.5长波近似研究长波近似具有重要意义，它能揭示固体宏观性质的微观本质。长声学波就是弹性波；离子晶体的宏观极化，长光学纵波振动模中的离子的相对位移引起；某些晶体在某一温度时的自发极化。75一、长声学波长声学波就是弹性波

Ai=vAi(q)q(i=1,2,3)三维晶体，有3个在q0时

长声学波研究弹性波是用宏观的波动方程问题：微观运动为什么可以用宏观方法研究？？76

位移：

（1）长声学波，近邻（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、位相集体运动。证明：一维复式格子2n-22n-12nabMm

1

22n+12n+2分子力常数晶格常数77

由得：

类似，由得：78（2）长声学波，运动方程的一般表达式

运动方程：（1）（2）一维复式格子2n-22n-12nabMm

1

22n+12n+2分子力常数晶格常数79

运动方程1：

代入上两式，得：80

运动方程2：得：

总结——一维复式格子的运动方程：近邻的若干原子的运动规律相同81（3）微观向宏观的过渡宏观上，原子的位置可认为是准连续的，原子的分离坐标可视为连续坐标x。波速：82二、长光学波长光学波，一维双原子链的原胞内不同原子作相对运动。长光学波83在半波长范围内，正负离子相对运动，电荷不再均匀分布，出现以波长为周期的正负电荷集中的区域。由于波长很大（1~1000m），使晶体呈现宏观上的极化现象。

1.离子晶体的宏观极化

/2

/2EEEE

++离子晶体的宏观极化841.1离子位移极化原胞，2n-1和2n+1的离子对此原胞的贡献为1/2+1/2+1/21/21/2q*是离子的有效电荷量一维离子晶体的离子位移u2n-2u2nu2n+2u2n-1u2n+1+

+

+MmxaiABrr′85一个原胞内的离子位移偶极矩：u+和u-分别表示正负离子的位移

离子的位移极化强度：微观向宏观过渡

是原胞体积

长光学波，相当大的范围内，同种原子的位移相同：86考虑电场对某离子的作用时，“电场”不应该包括该离子本身产生的电场。应该是有效电场。

有效电场Eeff：宏观极化电场E与离子本身产生的电场之差。

立方晶系、在洛仑兹近似下，此有效电场与宏观电场的关系为：P是宏观极化强度1.2电子位移极化87一个原胞内的正负离子受到有效电场作用，产生的电子位移偶极矩：

+和

分别为正负离子的电子位移极化率电子位移极化强度：微观向宏观过渡

是原胞体积881.3总极化强度892.离子的运动方程提示：相邻两离子间的恢复力系数都相等：由于离子间等间距。设恢复力为。

在最近邻近似下：第2n个离子的运动方程：——（1）第2n+1个离子的运动方程：——（2）u2nu2n-1u2n+1+

+

+Mm90折合质量，位移变量由一维晶格求得，有普遍意义（1）m（2）

M，得：2.1黄昆方程91讨论：（1）上一方程是宏观电场存在时，决定离子相对振动的动力学方程。（2）下一式表示除去正、负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在产生的附加极化。（3）格波和宏观极化电场相互耦合在一起。922.2格波和宏观极化电场的耦合波特性横波是等容波，不引起晶体体积的压缩和膨胀纵波是无旋波，旋度为0

格波：

电场：EL（无旋场）、ET（有旋场）一个条件93

有旋和无旋分开：横波是电磁波ET<<EL简谐振子方程横波频率：纵波频率：942.3微观参数的确定（由晶体的宏观常数确定）(1)

稳定极化（静电场）

s离子晶体静态相对介电常数正负离子发生稳定位移，到达新的平衡位置，形成稳定的极化电场（软模）95(2)

光频振动离子的惯性使其跟不上

离子晶体高频下相对介电常数LST关系黄昆方程总结：96讨论：1）

LO>

TO（s

>

）纵光学波的频率

LO总是大于横光学波的频率

TO。

s

>

：静态介电系数包括离子位移极化与电子位移极化的贡献。高频变化电场中，离子位移跟不上迅速变化电场。离子的位移引起极化电场，电场的方向阻滞离子位移，宏观电场对离子位移起到了一个排斥力的作用，相当于弹簧振子系统中弹簧变硬，有效恢复力系数变大，使纵波频率提高。97讨论：2）晶体某温度的自极化（

s

）：

LO

不可能趋于无穷，只能

TO

0（铁电软模，铁电材料）。

1/2，说明此振动模对应的恢复力系数消失，相当于弹簧丧失了弹性。发生位移离子到达另一新平衡，回不到原来平衡位置，晶体结构发生了变化。新的结构中，正负离子存在固定位移偶极矩，产生自发极化。983）长光学横波具有电磁性质，长光学横波声子为电磁声子；长光学纵波声子为极化声子。99

定容热容量：§3.6晶格振动热容理论一、热容理论

内能E=与温度无关+与温度有关

结缘体与温度有关内能：晶格振动能量；

金属与温度有关内能：晶格振动能；价电子的热动能（温度不太低时可忽略，第六章讨论）。本章只讨论晶格振动对热容的贡献。平衡位置的相互作用势能，对热容无贡献100若晶体有N个原子，总自由度为3N，按能均分原理，总的能量为3NkBT。热容量为3NkB。（1）热容是一个与温度无关的常数；（2）高温下与实验值符合；（3）在甚低温度下，绝缘体的热容变得很小，以T3趋于0，与实验不符。热容的经典理论（杜隆—珀替定律）

101热容的量子理论

频率为

i的谐振子的平均声子数（玻尔兹曼统计理论）：

这些声子携带的能量：

N个原子构成的晶体，总的热振动能：由于波矢q是准连续，对每支格波而言，频率也是准连续的，求和可用积分来表示。102

模式密度D(

)：单位频率间隔的格波振动模式数目。问题：

模式密度D(

)的表达式如何？总的热振动能写成积分形式：

+d区间的热振动能：

m是截止频率

1

1+d

q1q1+dq1q2+dq2q2

2+d

2103在波矢q空间，取两个等频面

和

+d

（同一波矢对应不同的几支格波，先考虑其中一支）。

+d

dSdq

(q)=C波矢空间一支格波的等频面体积元dSdq

的波矢数目(模式数目)：由梯度的定义：两个等频面间的模式数目：波矢密度模式密度D(

)的表达式104这支格波的模式密度：3n支都考虑，总的模式密度：

是第

支格波的频谱，S

是其等频面三维的色散关系较难求。很难求D(

)105爱因斯坦热容函数二、爱因斯坦模型假定晶体中所有原子都以相同的频率作振动。认为3N个谐振子是全同的。

晶体的热振动能：热容量为：

是爱因斯坦温度。由理论曲线和实验曲线拟合来确定，在100~300K。106金刚石热容实验值与爱因斯坦理论曲线比较

：爱因斯坦理论获得很大成功；高温时，与杜隆—珀替定理一致；低温时，偏差较大。107讨论

：与杜隆—珀替定律一致（1）温度较高时108（2）温度很低时比绝缘体的热容以T3趋于0，更快爱因斯坦模型在低温时与实际偏差的原因何在？109原因：爱因斯坦模型过于简单，它忽视了各格波对热容贡献的差异。（1）爱因斯坦频率相当于光学支频率。

E=kB

E/ħ~1013Hz一维双原子晶格的频谱

Amax

Omin

110按玻尔兹曼统计理论，频率为

的一个格波的平均热振动能温度一定时，频率越高的格波，平均声子数少（2）频率高的格波，其热振动能小，对热容量的实际贡献不大。温度低时就更微不足道了。格波的平均热振动能与频率的关系T1T2<T1111频率

10kBT/ħ的格波的振动能占晶格总振动能的99%以上，这些格波的频率很低，属长声学波。（3）在甚低温度下，晶体热容量主要由长声学格波决定。结论：在甚低温下，使理论与实际相符，应主要考虑长声学波的贡献。112三、德拜模型模型基本思想：把格波当成弹性波来处理。（一支格波）

设固体介质是各向同性的，由弹性波的色散关系

=vq可知，三维波矢空间内，弹性波的等频面是个球面，则113截止频率

m（或德拜频率

D）弹性波有三支（1纵2横），总模式密度各向同性介质的两横波简并，横波的波速相等114原子浓度高，声速大固体的德拜温度就高。金刚石硬，德拜温度达2230K，一般固体在200~400K。德拜温度

D热容的变换形式115讨论

：与杜隆—珀替定律一致（1）温度较高时，kBT>>ħ，x是小量116在甚低温时热容与T3成正比的规律称德拜定律在甚低温时与实验相符。温度越低，符合得越好。（2）温度甚低时，

D/T117金属铜热容的实验值与德拜理论的比较

：118德拜温度

D的测定方法一：实验确定声速vp方法二：测量材料的热容量德拜温度应该是与温度无关的常数甚低温度119晶格T/K

D方法一

D方法二NaClKClAgZn10344320246216305308230225308低温下两种实验方法结果的比较德拜温度非常接近120实验测得的德拜温度与温度有关矛盾来源于德拜模型过于简单：（1）忽略了晶体的各向异性；（2）忽略了光学波和高频声学波对热容贡献。德拜温度与温度无关T，Cv

(T)121§3.7晶格振动的非谐性效应一、非谐性效应

简谐近似，晶格振动等效为3N个独立的简谐振动。

温度不同的两晶体接触后，它们的温度不会达到同一温度，原来高的仍高，原来低的仍低。

温度最终达到平衡？由晶格振动非谐效应所致。122

保留势能级数中三次方项

谐振子的振动方程改为没有非谐性效应就没有声子碰撞，也没有热平衡。两温度不同的物体接触时，温度高的物体内不仅声子浓度高，而且能量大的声子数多，声子以碰撞的方式向温度低的物体内扩散。简正振动不是严格独立，3N个简正振动之间存在耦合，存在能量交换，用声子模型来说，各类声子间会交换能量，声子间会发生碰撞。123二、热传导

能量和准动量守恒：+吸收过程劈裂过程声子间相互“碰撞”示意图吸收过程劈裂过程声子的“碰撞”过程124正常散射与倒逆散射过程准动量守恒更普遍的形式：波矢为q的声子与q+Km的声子等价。Km=0为正常散射过程，Km

0为倒逆散射过程。q1q2q1+

q2q3Km声子的倒逆过程q1、q2数值较大，夹角又小时，q1+q2可能落在第一布里渊区外，而与格波解对应的波矢应为能落在第一布里渊区内的波矢q3=q1+q2

Km。125倒逆过程是热阻的一个重要机制。正常散射不改变热流的基本方向，倒逆过程则不然，它与热流方向相背，对热传导起阻滞作用。q1q2q1+

q2q3Km声子的倒逆过程126热传导系数如果晶体内存在温度梯度dT/dx，则晶体内有能流流过，能流密度Q为k是晶体的热导系数，“声子气体”高温区，声子浓度高，能量大的声子数多，以碰撞的方式向低温区扩散与气体扩散类比CV是定容热容；是声子的平均速度；是声子的平均自由程。127常数声子的平均自由程

是声子的浓度德拜模型，声子的平均速度平均碰撞次数128甚低温度时不可能。最大为晶体的尺寸，为常数高温时德拜模型，声子浓度129kTO实测热传导系数与温度的关系曲线130相邻两原子互相作用势能在平衡位置的展开式为r=r0处，该项为零三、热膨胀固体受热膨胀。温度升高原子间平衡位置间距离为什么要增大？131势能取到三次方项简谐近似简谐近似平衡位置简谐近似的势能曲线考虑非简谐项的势能曲线考虑非简谐项的平衡位置两原子间相互作用势能曲线r0U(r)rrx132说明：势能取到三次方项后，势能曲线不对称，左边部分陡峭，右边平缓。温度升高后，原子间相对位移的振幅增大，其平均位置向右偏