二重积分的计算法75745课件

*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法

第九章二重积分的计算法75745一、利用直角坐标计算二重积分二重积分定义为积分和式的极限．如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义—曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分.二重积分的计算法75745xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为A(x)的立体.aV

复习：平行截面面积为已知的立体的体积b二重积分的计算法75745二重积分的计算(D是矩形区域)y0xz

yabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

二重积分的计算法75745y0xz

yabcdDD是矩形区域z=f(x,y)

问题：Q(y)是什么图形？是曲边梯形。.二重积分的计算(D是矩形区域).二重积分的计算法757450xz

yyabcdD.Q(y

)=同理，也可以先对y积分.z=f(x,y)D是矩形区域[a,b;c,d]

二重积分的计算(D是矩形区域)二重积分的计算法757450xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y)yD:

(y)x

(y)c

y

d

二重积分的计算（D是曲线梯形区域）二重积分的计算法757450xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y).y问题：Q(y)是什么图形？D:

(y)x

(y)c

y

d也是曲边梯形!

.Q(y

)

I=

二重积分的计算（D是曲线梯形区域）.二重积分的计算法757450xz

yx=(y)ycdD.D:

(y)x

(y)c

y

d.Q(y

)

=二重积分的计算（D是曲线梯形区域）x=

(y)z=f(x,y)二重积分的计算法75745如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.直角坐标系下计算二重积分［X－型］二重积分的计算法75745设函数

在区域上连续,且当时，如果区域是由直线，与曲线所围成(X

型区域),如下图,即二重积分的计算法75745若D是X型区域，则积分先Y后X。通常写成二重积分的计算法75745把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。x看作是常量，y是积分变量；这是先对，后对的两次积分(适合于型区域).第二次积分时计算x是积分变量.

第一次计算定积分D：二重积分的计算法75745如果积分区域为：［Y－型］二重积分的计算法75745类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于轴的平面去截曲顶柱体,此时D为这是先对，后对的两次积分.二重积分的计算法75745如果去掉以上结论中关于的限制，则上述结论仍是成立的.几点说明：则（ⅰ）若区域D是一个矩形，（ⅱ）若函数可积，且且二重积分的计算法75745（ⅲ）上面所讨论的积分区域D是

X型或Y型区域。则例如若不满足这个条件,可将D分块.再应用积分的分域可加性来计算.D1D2D3二重积分的计算法75745由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限.定限法则:就型区域而言后积先定限,域内穿射线,先交为下限,后交为上限.如右图建议：先将区域D的图形画出，再写出区域D上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.二重积分的计算法75745解：积分区域如图

如果积分区域既是X-型又是Y-型的，则重积分既可以转化为先对x后对y的，也可以转化为先y后x的二次积分（累次积分）二重积分的计算法75745解：积分区域如图二重积分的计算法75745例1

计算二重积分,其中为矩形：解1

先积再积解2

先积再积二重积分的计算法75745例2

计算二重积分,其中区域为矩形：解因为,所以或先积再积二重积分的计算法75745解：椭圆区域可表示为因此

例3

计算二重积分.其中积分区域D

为四分之一椭圆。二重积分的计算法75745例4

计算二重积分,其中是由三条线所围成的区域.解易知积分区域可表为于是二重积分的计算法75745其中例2.3计算二重积分解：先画出区域D的图形，因为xyO-11D1D2二重积分的计算法75745例5.

计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:

为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745例6.

计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745例7.

交换下列积分顺序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745例8.

计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745解：二重积分的计算法75745解：二重积分的计算法75745二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］二重积分的计算法7574521DD:.怎么计算？需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!0y

xD4D3D1D2二重积分的计算法75745所以，用若直角坐标来计算，无法求出例如，计算二重积分需使用极坐标系！二重积分的计算法75745积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分.在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆域,被积函数为形式,利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便.二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区在内取点及射线

=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束域的面积二重积分的计算法75745即机动目录上页下页返回结束下面考虑如何把极坐标系下的二重积分化为二次积分.分三种情况来讨论:二重积分的计算法75745设则1)极点在D之外2)极点在D的边界上二重积分的计算法757453)设极点D之内机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积二重积分的计算法75745思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:

问

的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法7574521D0y

xD:变换到极坐标系.

例1计算D:1

r20

2二重积分的计算法75745例2.11.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745解:二重积分的计算法75745二重积分的计算法75745二重积分的计算法75745注:利用例2.11可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例2.11的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745解机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法757450y

x2a

解：例2二重积分的计算法757450y

x12

y=xD

例4.二重积分的计算法75745解：二重积分的计算法75745解二重积分的计算法75745例10.I=不分块儿行吗？解：不行！2r=–2cos

y

xo–1D二重积分的计算法75745例11.

将积分化为极坐标形式r=Ry=RxD1D2.R0y

xD...arctanR.I=I=二重积分的计算法75745解:二重积分的计算法75745定积分换元法*三、二重积分换元法

满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745例2.13

试用一般变量代换写出直角坐标变为极坐标的二重积分的公式解：因为代换式为则雅可比行列式为除个别点r=0之外，其他点均有J≠0。所以有二重积分的计算法75745例

试计算椭球体解:

由对称性令则D的原象为的体积V.二重积分的计算法75745内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法75745(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页