数学史全套课件

数学史是研究数学发展规律的科学

历史使人明智数学使人周密数学是“模式”的科学打开数学科学的历史画卷展示数学世界的风土人情第一章国外数学历史发展概况国外数学史的五个发展时期：数学的萌芽时期初等数学时期变量数学时期近代数学时期现代数学时期民族的特点影响数学发展的社会、人文的诸多因素数学家的人格特征、历史的作用1.1数学的萌芽时期（至公元前六、五世纪）1.1.1巴比伦(至公元前二世纪）的数学两河流域的“美索布达米亚”

19世纪40年代考古学家发掘出巴比伦的古城在算术和代数的成就“楔形”文字泥版书（如图1.1）

图1.1古巴比伦带有四边形和数字符号30；1，24，51，10；42，25，35的泥版书

1.1.2古埃及的数学（至公元前332年）纸草书：莫斯科纸草书（约公元前1900年）莱因德纸草书（约公元前1700年）几何学:金字塔，尼罗河与几何的测量

古印度是指南亚次大陆及其邻近的岛屿文字大部分是写在棕榈树的叶子上或树皮上数学伴随着占星术和宗教活动古印度的祭坛264－1粒：棋盘上的麦粒，绕地球7000圈！“河内塔”游戏，5万亿年以上，世界的末日！1.1.3古印度的数学1.2.初等数学时期

1.2.1古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）特殊的地理位置与文化.社会制度（公元前6世纪至公元17世纪）哲学与数学：

泰勒斯（约公元前624-前547）

“几何论证之父”

毕德哥拉斯（约公元前580-前460）

学派“万物皆数”，“第一次数学危机”德谟克利特（约公元前460-前370）

“原子论”圆锥的体积公式，17世纪“不

可分量理论”芝诺（约公元前490-前425）

“阿基里斯追不上乌龟”的悖论,极限、

连续和无穷集合的概念柏拉图（公元前427-前347）把数学概念和现实中相应的实体分开，柏拉图立体；

亚里士多德（公元前384-前322）的演绎推理的思想和方法，形式逻辑规则；

阿基米德（约公元前287-前212力学研究与数学研究相结合，浮力原理“如果给我一个支点，我将移动地球”墓碑上刻着球内切于圆柱的图形

亚历山大前期

欧几里得（约公元前330-前275）的《几何原本》科学史上第一门演绎科学“犹如初恋一般的迷人”“如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的”

亚历山大后期厄拉托塞（约公元前276-前194）厄拉托塞筛法丢番图（约210-290）“代数学的开山鼻祖”墓志铭：“上帝给予的童年是六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完人生的旅途”1.2.2阿拉伯数学（公元9世纪至13世纪）

在阿拉伯帝国统治下、各民族人民共同创造承前启后，继往开来的作用。1.2.3中世纪印度数学（公元5世纪至12世纪）

推进了算术和代数的进展

制定了现在世界上通用的数码及记数方法婆什迦罗（1114-1185）的《丽罗娃提》黑暗的中世纪

吸收东方文化——十字军远征文艺复兴运动科学方法：演绎与实验（F·培根561-1626）代数的符号化：塔塔利亚（1499-1557）三次方程的求解卡当（1501-1576）的《大术》

韦达（1540-1603）使代数学成为符号数学1.2.4西欧数学的复苏（公元十一世纪至十六世纪）1.3.变量数学时期(17世纪上半叶至19世纪20年代)

产生标志：

解析几何和微积分学

科学技术蓬勃发展的推动下应运而生1.3.1变量数学产生的十七世纪解析几何的创立费马（1601-1665）“业余数学家之王”，研究阿波罗尼兹的圆锥曲线通过坐标建立了代数方程和曲线联系，并利用方程来研究曲线的性质。笛卡尔（1596-1650）独特的读书方式利用代数方法改变《原本》的证明方法“梅森科学院”的讨论《方法论》的“附录”《几何学》（1637）通过哲学、自然科学的途径来研究数学引出了变量和函数的概念。微积分的创立：为自然科学研究提供必要的数学工具

伽利略（1564-1642）铜灯摆动周期与摆动的弧的大小无关两块金属同时落地开普勒（1571-1630）行星运动的三条定律粗糙形式的积分学，函数的研究瓦里士等人的工作微积分成为独立的学科牛顿（1643-1727）万有引力的思想，广义二项式定理微分和积分的思想哈雷彗星让普通平凡的人们因为在他们中间出现过一个人杰而感到高兴吧！莱布尼兹（1646-1716）外交官的生涯，系统的研究结果1.3.2高等数学迅速发展的18世纪

研究领域主要在数学分析方面，一批优秀的数学家为此做出了重大的贡献伯努利家族

约翰·伯努利（1667-1748）多产的数学家，好的老师，生性好斗：对牛顿进行了多次攻讦，对哥哥雅各布的挑战，悬链线，最速降线（旋轮线），等周问题

欧拉（1707-1783）著作方面惊人的多产。双目失明，某些书和四百篇研究文章是在他完全失明后写的，得益于他非凡的记忆力和心算能力。热爱生活，欧拉停止了生命，也停止了计算。1.4近代数学时期（19世纪20年代至20世纪40年代）1.4.1非欧几何与近代几何思想

摆脱实际问题的制约，完全利用演绎的方法研究数学内部的矛盾和规律，发展成为纯粹的数学科学《几何原本》中第五公设的研究等价命题，罗巴切夫斯基几何学罗巴切夫斯基（1792-1856）非欧几何的研究是在教学过程中进行的系统阐述非欧几何的思想和方法为新的几何学呐喊了一生高斯（1777-1855）非欧几何最早的发现者企图用实践检验它的正确性传统的观念面前缺乏罗巴切夫斯基那样的勇气。天性聪颖，家境贫寒“数学之王”著称，治学严谨鲍耶（1802-1860）注意新的几何学内部的相容性问题，更具有数学理论研究意识21岁发现非欧几何，对高斯的怨恨父子纠纷贫困中仍为“不能证明他的几何学的无矛盾性而感到十分苦恼。”

近代几何思想，称作爱尔兰根纲领。

1872年，德国数学家克莱因在射影几何中用变换群的观点统一了四种度量几何1.4.2代数学的解放四元数（不满足乘法交换率的数系）群概念的出现“求解高次方程根”的问题哈密顿（1805-1865）进大学之前没有受过学校教育，22岁大学生被授予天文学教授“布尔罕桥”上发现了四元数，数域的扩张人生的坎坷

阿贝尔（1802-1829）完成了鲁菲尼的证明（交高斯审阅，未受到重视）一生贫穷，颠沛流离的生活，未满27岁因肺炎病逝

伽罗华（1811-1831）18岁开始先后三次将方程求解的论文呈送法国科学院，未受重视临死前将思路记录下来，并托付给了朋友在他去世40年后，他的思想方法很快形成了代数结构的一般理论。

1.4.3分析学基础的严密化死去量的幽灵？“无穷小量”的第二次危机微积分的理论基础应该是极限论

柯西（1789-1857）是仅次于欧拉的多产数学家人生的另一侧面：与周围的人很不融洽，对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠，使他成为最不可爱的科学家。“他的课讲的非常混乱。”“对于年轻学生，他令人厌倦”1.4.4分析学基础的算术化

柯西极限理论建立在实数系的简单直觉观念上病态函数的出现告诫人们不能过分依赖直观实数系本身首先应该严格化，ε—δ方法给出极限的定量化的定义（1856年）。实现这个目标就称作分析的算术化

维尔斯特拉斯（1815-1897年）

曲折的就学之路，多年的乡村教师大器晚成的数学家1.4.5公理化方法

19世纪，为克服微积分基础概念的理论缺陷，非欧几何、四元数系的发现，重新唤起对公理化方法的认识。

20世纪的公理化方法渗透到几乎所有的纯数学和某些物理学的领域。利用公理化方法建立了许多核心数学分支的逻辑基础，希尔伯特写道：通过突进到公理的更深层次，我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，弄清楚知识的统一性希尔伯特（1862-1943）著名讲演“数学问题”，纵览数学发展全貌“在日复一日无数的散步时刻，我们漫游了数学科学的每一个角落”，“天才就是勤奋”“他就像一位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛声引诱一大群老鼠跟着他走进数学的深河”。1.4.6康托与集合论康托（1845-1918）关于实无穷的深奥理论，引起了激烈的争论和谴责与某些数学家的关系相当紧张，经济生活拮据高度形式化领域的艰苦跋涉，双重狂郁性精神病“连续统假设”问题，康托未能走出的路，的确有着不可逾越的障碍。

罗素悖论，理发师悖论，对整个数学可靠性的怀疑数学基础的三大学派逻辑主义学派

形式主义学派

直觉主义学派各派均未能对数学的基础问题做出完美的答案这场论争极大的推动了纯粹数学研究的发展1.4.7数学的基础

社会历史背景条件相对封闭的疆域大河背景下的农耕文化集中的王权

中国数学的特点形成了以计算为核心的算法理论具有浓郁应用色彩中国数学的成就

第一部数学著作《九章算术》（大约公元前二百年左右）公元3世纪至13世纪，创造了许多领先于其它民族的众多数学成果,形成国家数学教育的体制

2.1《周易》与中国传统数学

《周易》是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期

,在古代中国众多的儒、道典籍中，《周易》是包含数学内容最丰富的著作。

“卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中国人常用龟甲和兽骨为占卜工具。“筮”是按一定规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶

,“筮”字由“竹”字和“巫”字构成。后来改用蓍草,“天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。”

《周易》由《易经》和《易传》两部分组成。自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与《周易》相联系。刘徽在《九章算术注》的序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”

《易经》中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“—”与“－－”表示阳爻和阴爻。构成八卦、六十四别卦

研究认为，《周易》中爻的符号“—”、“－－”是由数字或数表演进而来的。理由是：其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九”和“六”分别表示阳爻和阴爻。其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）组成的数表，所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用的趋势。大约在周初（约公元前1066），就只有一和六这两个数字了。

学者认为：用数字表示占卜的结果，数“一”表示奇数，读数九的音；数“六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是“∧”，这样数“一”与“∧”就具有爻的形象了。以后“∧”字形逐渐变平，最后一分为二，成为阴爻“－－”的表示形式。

2.1.1从数(表)演进为爻四盘磨卜骨上的字符

太极八卦图2.1.2《周易》揲法——大衍演算

《周易》中占筮确定取爻的方法称为“揲法”，所谓“一十八变得一卦”。朱熹（1130~1200）对揲法的解说如下：

（1）蓍策总数是50根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算的是49根；（2）把它们任意分成两部分（象征天地“两仪”），从第一部分里取出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三才”）；（3）对于第一部分的蓍策，每4根一组数出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四时）；（4）将所余的“奇数”（为1，2，3，4四数之一）根蓍策，夹在左手指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）；（5）将第二部分蓍策也照（3）、（4）办理。于是两部分“归奇”的蓍数非4即8，加上“挂一”的一根，共5或9根，完成了“第一变”。

将“归奇”的蓍数（5或9根）不用，用余下44或40蓍参与第二变的计算，操作方法仿上述（2）~（5），此时“归奇”的蓍数仍然是非4即8。第三变揲法仿第二变，用蓍32或36，或40根，三变后余下蓍策的根数或36，或32，或28，或24根，均为4的倍数。最后，将第三变的余蓍除以4则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴，七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。从中国古代的占筮工具和方法中，不难发现中国传统数学的历史渊源

“数学”一词相当于我国古代的“算术”

数学一词，在中国最早出现在12世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。

算筹中国古人称数学为算学

2.1.3组合数学的思想——洛书与河图宋代的九宫格明代的洛书河图的解释，在历史上有多种说法。其中《尚书》中解释说：“河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”图中每个阳、阴爻分别代表数9与数6，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。它与洛书中1至9的数字之和相同

“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”

明代邵雍的易图数学结构儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》的逻辑学为其论说的工具。孔子（前551~前479）的“六艺”中的“周官九数”（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要）是《九章算术》的雏形墨子（前468~前376）的抽象概念和逻辑知识：三个逻辑方法:“以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以类予”，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。惠施（约前370~前318）对无穷性质的认识：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“镟矢之疾有不行不止之时”。

2.2先秦显学中的数学思想

公元1世纪至8世纪初，改变了先前只追求算法、不研究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家

2.3.1刘徽与《九章算术注》西汉年间，中国有了专门的数学著作：《许商算术》、《杜忠算术》、《算数书》和《九章算术》，其中前两部著作早已失传。

《算数书》，1984年从湖北张家山古墓中发掘出土的。据考证，算数书》是公元前206年－前179年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂。2.3中国传统数学理论的研究

《九章算术》是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的《九章算术注》自序中可以知道：他早年系统地学习过《九章算术》，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了《九章算术注》。

《九章算术》成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经过北汉平侯张苍（约前200年）和大司农中丞耿寿昌（约前50年）的整理。第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第三章衰分（比例分配）第四章少广（开平方与开立方）第五章商功（体积计算）第六章均输（运输中的均匀负担）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第九章勾股（勾股定理的应用）全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有202个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据

《九章算术》是以应用问题集的形式表述，一共收入246个问题。《九章算术》把246个问题分为九章：

明代刊印的《九章算术注》

《九章算术》标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法《九章算术》的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”。

《九章算术注》对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。”创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定《九章算术注》丰富了《九章算术》的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”

设圆面积为S0、半径为r、圆内接正n边形边长为ln

、周长为Ln、面积为Sn

。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为l2n,L2n,S2n。刘徽首先指出，由ln

及勾股定理可求出l2n

其次知道了圆内接正n边形的周长Ln，又可求得正2n边形的面积，如果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式：S2n<S0<S2n

+(S2n－Sn

).割圆术的基本原理

从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值π≈3.14，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”2.3.2祖率与祖暅原理祖冲之（429~500）与祖率据《随书·律历志》记载，祖冲之求得的π值的取值范围为3.141592<π<3.1415927.（并称为朒、盈数）如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至24576边形

用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为π：4，于是由刘徽原理立即得到V球:V牟=π：4即

V球=（π/4）V牟。祖暅原理（幂势既同，则积不容异）与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”

“小方盖差”与球体积公式左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理得a2=r2–h2;这正是截平面PQRS的面积

中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2－a2

=h2，

右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是h2

根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。

内插法：已知f(x)在xi∈[a,b]（i=1,2,…,n）的值为，那么通过及适当公式，计算y=f(x)在[a,b]内其他一些点的函数值。如果xi+1－xi为定数，这时的内插法称为等间距内插法；反之，称为不等间距内插法。

历法编制中的内插法最早求影长的一次内插公式（约公元前2世纪）：

f(n)=f(a)+n△，其中，

f(n)是夏至之后的第ｎ个节气的影长，f(a)=160分，f(b)=1350分分别是夏至、冬至的中午八尺杆子的影长，2.3.3内插法与天文历法《乾象历》（206年），已发现了月亮不均匀运动及其规律。公元570年，北齐朝的天文学家张子信发现：自春分到秋分所需的时间要比秋分到春分的时间长，进而证明了太阳“视运动”的速度是不均匀的隋朝刘焯（544~610）的《皇极历》提出了等间距二次内插法公式：f(nl+s)=f(nl)++(△1－△2)－

(△1－△2)张遂(683~727)的《大衍历》创造了不等间距二次内插法公式：

f(t+s)=f(t)+s+s－其中，l1、l2分别为不同节气的时间长度，张遂假定它们不相等

“算经十书”记载的中国传统数学成就《周髀算经》（约公元前240年至公元前156年）与商高（陈子）定理“周髀”是测量日影的工具—八尺长竿全书由三部分组成：第一部分共264个字，记述了周公与大夫商高的问答记录。提到：“勾广三，股修四，径隅五”。说明，周代初期人们已经知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。第二部分是荣方与陈子的对话。对话中包含了勾股定理的一般陈述形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”第三部分是讲计算问题的，有“术”13条，书写形式和内容与《九章算术》基本一致。2.3.4明算学与“算经十书”

隋唐时期的数学教育制度

—明算学

“孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”孙子问题相当于求解一次同余式组

N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）这个问题源于历法编算中的求上元积年问题

其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。.

计算过程为：N=70×2+21×3+15×2－2×105.显然，这里的70、21、15是求解的关键。其求法：

70=2×5×7≡1(mod3)≡0(mod5)≡0(mod7),21=3×7≡0(mod3)≡1(mod5)≡0(mod7),15=3×5≡0(mod3)≡0(mod5)≡1(mod7).由题设，用3、5、7分别除以N所得的余数为2、3、2，故用2、3、2分别去乘70、21和15，再相加即得

233≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）

求出这个同余组的最小整数解N=23，

《孙子算经》（约公元4世纪）与“孙子问题”

《张邱建算经》（约公元五世纪）与“百鸡问题”

“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”

给出三组答案：

（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）

《张邱建算经》的应用领域较《九章算术》有了新的发展，其主要数学成果包括求最小公倍数，等差数列及不定方程等内容

《缉古算经》（公元600多年）与“带从开方法”

对当时的土木工程中出现的数学问题的研究和总结，在一些体积计算中隐含了求解三次方程的“带从开方法”。虽然由于解法过程空缺，因而没能清楚地呈现这一方法的具体操作过程和原理。该书在理论上的贡献是陈述了筹算的运算方法，这在中国数学史上尚属首次。2.4.1杨辉三角与增乘开方法

杨辉（约13世纪后期）在《详解九章算法》中记载了北宋人贾宪的一张“开方作法本源图”（1050）现今称为杨辉三角的“贾宪三角”。在西方它被又称为帕斯卡三角（1655年）2.4中国传统数学发展的顶峰（900年到1368年）

创造出许多具有世界

历史意义的成就

数学家辈出

数学著作涌现

若A开平方的首商、次商分别为a,b,则有A=a2+B=a2+2ab+b2

则B=A－a2=2ab+b2=(2a+b)b

继而用2a+b试除B,且若B－(2ab+b2)=0,则开方完成；否则再继续试第三位商，……。这个方法用于筹算，就形成了增乘开方法，其过程简述如下:

借助贾宪三角，给出一种开高次方的方法：增乘开方法

a

*

a

aab*bb商实法AAB=A－a2*

BBBB－b(2a+b)*a*a*2a*2a2a+b*2a+b

借算

1111111①②③④⑤⑥⑦将上图转换适当角度，就变为贾宪三角：左边斜行由1组成，称为“积数”，它们是借算；右斜行也都是1，称为偶算，它们是a的各次幂的系数。贾宪利用贾宪三角得到了开高次方的一般方法

增乘开方法，是一个和高度机械化的和非常有效的算法，与现代通用的“霍纳算法”（1819）已基本一致。增乘开方法，可适用于开任意高次方。但贾宪本人没有认识到这一点。另外直到贾宪时，中国数学家们所处理的方程系数都是正数。12世纪北宋学者刘益首先突破了系数必须为正的限制，并且也不再像以往那样要求首项系数为1。“大衍求一术”为求得满足条件的乘率ki，秦九韶把奇数gi与定数ai辗转相除，相继得商数qi和余数ri，即

ai=q1gi

+r1,并可得到：c1=q1

gi=q2r1+r2,c2=q2c1+1

r1=q3r2+r3,c3=q3c2+c1…………

rn-2=qnrn-1+rn

秦九韶指出：当rn=1且n为偶数时，则最后所得cn

就是乘率ki；当rn=1，且n为奇数时，可将rn-1与rn相除后，形式上取qn+1=rn-1－1，那么余数rn+1仍为1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，这时n+1为偶数，则cn+1就是所求ki，总之，当辗转相除得到余数1时，整个计算结束

2.4.2秦九韶与中国剩余定理

秦九韶（1202~1261）与《数书九章》

高次方程数值解法—“正负开方术”（开10次方的问题）

一次同余组解法—“大衍总数术”（“衍”同“演”）元代初期，开始用文字表示方程中的未知量，并形成了相应的算法——天元术（李冶）与四元术（朱世杰）高阶等差级数和公式沈括（约1031~1095）“隙积术”与二阶等差数列求和公式

数列：22，32，42，52，62，（1）该数列相邻项之差依次为

5，7，9，11，……（2）显然（2）是一个公差为2的等差数列。今天（1）式被称为一个二阶等差数列

杨辉的“垛积术”与“三角垛公式”：1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…（1＋2＋3＋…＋n）

=n（n＋1）（n＋2）/62.4.3方程与级数的研究

廉数是斜行上数的和上一斜行各数之和，等于下行短线所指的一个数

左边第二斜行为1，2，3，4，5，6，7，8，是公差为1一阶等差数列，它的前n项和（“茭草垛”公式）左边第三斜行为1，3，6，10，15，21，28，是二阶等差数列，它的前n项和为（“三角垛”公式）

左边第四斜行为1，4，10，20，34，56，是三阶等差数列，它的前n项和为（“撤星形垛”公式）

朱世杰得到了p阶等差数列求和的一般公式，

=朱世杰的一般高阶等差级数公式及其应用

贾宪三角与等差级数公式

“设日数为n，每日招兵数为(n+2)3,问第15日招兵多少？”解答中用到了四次内插公式：f(n)=n△1+n(n－1)△2+n(n－1)(n－2)△3

+n(n－1)(n－2)(n－3)△4

其中f(n)表示第n日总共的招兵数，且其“四次差”分别为△1=27，△2=37，△3=24，△4=6。恰好是“古法七乘方图”中的各级数之和。朱世杰的发现表明，借助于高阶等差级数的研究结果，完全可以写出任意高次的招差公式。在欧洲，1670年英国天文学家格烈高里最先对招差法作了说明，牛顿在1676—1678年的著作中才出现了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。

招差术与等差级数和的关系

2.5.1算法化特征“算术”与算法化成果算筹为中国数学发展提供了了技术工具，使中国在世界上最早采用了十进位值制记数法；使计算程序化和自动化

长期坚持走算法化的发展道路，限制了数学方法的流传和改进。影响了逻辑体系的发展，很难达到现代数学的发展水平2.5.2实用性思想数学著作都以社会生产和生活实践中的问题为纲，这些问题基本按社会、生活领域进行分类，过分重实用，不利于抽象概念和命题的形成

2.5.3政府控制的特征中国传统数学始终置于政府控制之下，直接受制于统治阶级的意识形态和社会的需求

2.5中国传统数学的特点较早的形成国家数学教育体制明代封建统治者的政策不利于数学发展2.5.4连续性特征主要表现在以下几个方面：历代数学典籍体例的一致性数学的各分支发展的继承性计算工具使用的一贯性

不受外来数学文化的影响

英国现代著名学者李约瑟这样评述外域文化对中国的影响：“中国和它的西方邻国以及南方邻国之间的交往和反映，要比一向所认为的多得多，尽管如此，中国思想和文化模式的基本格调，却保持着明显的、从未间断的自发性。这是中国‘与世隔绝’的真正涵义。过去，中国和外界是有接触的，但是，这种接触从来没有多到足以影响它所特有文化以及科学的格调。”第三章数与数系的发展主要内容原始人类的数感（NumberSence）数的抽象概念与数的符号数域扩张（简称“扩域”）形成五大数系公理化的方法创造超复数四元数一一对应的计数方法超限数的连续假设3.1数的起源

“数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。”对数的起源的进程归结为：依赖于本能感觉，形成一一对应的计数方法，建立集合的等价关系并给出其一个标准（或代表集合）规定符号。3.1.1数感

数感，即感知事物多少的心理能力。原始人类较早的“有”与“无”、“多”与“少”的认识某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦的数感3.1.2一一对应计数法与进位制

一一对应的计数方法例如，是用手指计数物体的个数荷马（约公元前9~8世纪）的诗史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念,它是数概念发展的重要途径。进位制当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。如，五进制：一五，一十，十五，二十，……

十进制，这时从1到10的十个数都有自己的特殊名称，而从11开始，就用10的进位表示了。在英语中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“两个10”，而hundred则指“10个10”。古代巴比伦人的六十进位制玛雅数系中的二十进位制计算机技术中的二进位制进位制的转化例如，四进制数（3021）4转化为十进制数的方法为：（3021）4=3·43+0·42+1·4+2=1983.1.3度量的数

使用具有确定标准的容器、长度（称为单位）等去度量，度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念，在古代中国的“黄钟起度”的传说图3.1是西汉末年王莽律嘉量斛的结构示意图；中间大的圆柱为斛量，中间底部圆柱形为斗，左右两边各有一耳，都呈圆柱形，左耳为升量，右耳上为合量、下为龠量。3.1.4抽象的数数与被计算的东西分离开来了，出现了1，2，3，…这些无名数，无名数的出现标志着抽象的数概念的产生，怀特海（1861~1947）：“首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人”。教育的启示学会1、2、3，…的概念，并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反，当人们接触到数的符号或名称时，仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。3.1.5神秘的数神秘数广泛存在于古代人类社会，数字在这里不表示什么同类的序列，也不用于最简单的数学运算，而是利用数本身的神秘性来预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物，它便通过宗教、神话来影响人类的生活。原始人类对自然的认识是有限的，往往借助数——这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为治国的工具。如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，筹有《九畴》”的治国方针。夏王朝将天分为“九天”；地为“九州”，并将州的官员称为“牧”。九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己为九州之主。春秋时期，用于筹算的“九九”表在中国也普遍使用。这或许可以看出，神秘数与运算中的数在历史发展中的先后顺序。3.2数的表示方法3.2.1结绳与书契结绳记数成为人类早期表示记数的方法图3.2台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。

结绳记数成为人类早期表示记数的方法图3.3日本琉球群岛的结绳“书契”，就是刻划。“书”是划痕，“契”是刻痕如，在青海，1974年至1978年出土一批带刻口的骨片，是新石器时代末期用于记事、记数的实物。3.2.2文字记数

新石器时代中晚期的遗址（西安半坡、山东城子崖等都出现了数字符号。如，在西安半坡人的遗址（距今约5000~6000年）中，发现陶器上刻的符号中有数字符号：“”（五）、“”（六）、“”（七）、“”（八）、“”（十）、“”（二十）

商代的甲骨文“金文”（“钟鼎文”或“彝铭”）的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过程，一直到1522年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确切些）才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到20世纪才采用现代写法。3.2.3位值制记数法十进制的位值记数法，它不仅采用十进制，而且在不同位置上的数码，表示这个数码与10的某个幂次的乘积。即用位置来表示数。中国古代的筹算中的位值制记数法。筹式的数码有纵、横两种形式：

123456789纵式横式筹式数字摆放的方法规定：个位、百位、万位以上的数用纵式，十位、千位、十万位上的数用横式，纵横相间，以免发生误会；又规定用空位来表示零。例如197和1907的筹式分别表示为和不完全的定位制――“累加制”，它是同一单位用同一符号累加，达到较高单位时才换一个新符号。如罗马数字采用五进累加制，它用大写拉丁字母表示数的单位：I（1）,V（5）,X（10）,L（50）,C（100）,D（500）,M（1000）。在表示其它数时，大单位在左，小单位在右，表示累加，如VⅡ(7);若大单位在右、小单位在左，表示减法，如IV(4)。巴比伦人发展了应用定位不完全的60进位制的数系一方面，60以上的数目依定位原则写出；另一方面，60以内的数则按照以十进制的简单分群数系写出，如524,551=2×603+25×602+42×60+31=其中分别代表1和10。

埃及象形文字数系是以10进位制为基础的。用来表示1和10的头几次方的称号是：任何数现在都可以用这些符号相加的方法给以表示了，其中每一个符号重复必要的次数。于是，13015=1×104+3×103+1×10+5=另外，埃及人比较习惯于从右往左写，而我们写这个数，还是从左往右。古代玛雅人的数系是16世纪在墨西哥发现的。研究认为，法定的玛雅年是360天，因此其数系本质上是二十进制。但从第二次数群的幂次不是202，而是18×20，对于更高次的数群亦采用18×20n的形式。如：

43，480=6×18×202+0×18×20+14×20。当然，古代玛雅人没有计算符号，其数字是由表示6、0、14的符号自上而下排列的。3.2.4干支记数法干支记数法是一种特有的60进制的记数方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥六十甲子

干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥图3.4甲骨文中的干支表拓片如图3.4。这些干支表尽管都有些残损，但从排列上看，全是由上到下竖行排列，而且都是甲起头，10对一行，排列整齐，说明商代人已有了序数的概念。

甲骨文中的干支表中国早在商代就使用干支纪日法。干支纪年，始于东汉初年如，殷商的帝王们也大多用其出生的那一天的干支名来命名。据考证，中国古代自春秋时期鲁隐公三年（公元前720年）二月己巳日（这天发生一次全日食）起，就开始连续使用干支纪日，直至清末，2600年从未间断，这是世界上使用时间最长的纪日法。干支纪年，我们今天仍用在农历纪年上，近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。3.3数系在计算中发展3.3.1负数在中国传统数学中，较早形成负数和相关运算法则。

《九章算术》方程章中提出了负数的概念以及它们的运算法则：“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。在古代演算使用算筹进行的。为了区分正负数，刘徽在注文中说“正算赤，负算黑，否则以斜正为异。”如表示+6，表示—6。西方数学家更多地是研究负数存在的合理性如，16、17世纪的帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数，他说如果(－1)：1=1：(－1)，那么较小数与较大数的比怎么等于较大数与较小数的比呢？英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大（1655）。他对此解释道：因为时，。而负数故。英国著名代数学家德·摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍？”他列方程56+x=2（29+x），开解得x=－2。他称此解是荒唐的。当然，欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正确立。3.3.2无理数公元前5世纪，图3.5黄金比的几何作图法(一)毕德哥拉斯学派发现了一些直角三角形的三边不能用整数或整数之比来表示的事实图3.6黄金比的几何作图法(二)在古希腊几何学家试图作正五边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了作正五边形，只要能作出360的角即可，因为这个角的二倍（即720的角）是圆内接正五边形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角为360的等腰三角形。为此，如图3.5中，设AC平分底角OAB。这时，OC=AC=AB，且△BAC与△AOB相似。取OA=1，设AB=x，于是有AB/BC=OA/AB，x/（1－x）=1/x，即x2+x－1=0。由此得到x=（－1）/2。运用古希腊尺规作图的方法，不难作出这样的x：如图3.6所示，其中OA=1，MO=1/2，因而AM=/2，以及AB=AN=AM－MN=（－1）/2=x。这里的无理数x被称为“黄金比”（有的资料上把它的倒数（+1）/2≈1.618称为“黄金比”），它在自然界中，以及在科学和艺术中，处处都会出现。它是早期被发现的无理数之一。第一次数学危机与古希腊数学家欧道克索斯的“量”理论无理数最早出现在中国《九章算术》中时，丝毫没有引起人们的异议。《九章算术》的开方术中说：“若开不尽者，为不可开，当以面命之。”有理数和无理数的小数表达式任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表示一个无理数。重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都存在一个有理数。事实上，如果a和b（o＜a＜b）表示两个无理数，且它们的小数表达式为a=a0.a1a2…和b=b0。b1b2…，设i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一个n值。于是，c=b0。b1b2…bi就是a和b之间的一个有理数。3.3.3复数虚数是负数开平方的产物，它是在代数方程求解过程中逐步为人们所发现的公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的。十二世纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”卡当（1545）解方程得到根和。这使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。

17世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个我们称之为虚的－1的平方根，是圣灵在分析奇观中的超凡显示，是介于存在与不存在之间的两栖物，是理想世界的瑞兆。”用几何的直观来认识复数英国数学家瓦里士（1685）用几何直观表示实数系二次方程复根的方法：画一条数轴，将根的实部在数轴上表示为一点，在此点处做一线段垂直于数轴，其长度等于的系数，即表示根的虚部。丹麦数学家韦塞尔（1788年）做了改进：在已有数轴上，做与之垂直的虚轴，并以为单位，这样就建立了复平面，对于每个复数a+bi，都对应着一个由坐标原点出发的向量。韦塞尔用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算，这些定义在现今的教材中也仍保留着。高斯在（1811年）提出a+bi可用点（a,b）表示，并于1831年阐述了复数的几何加法与乘法。同时他指出，在这个几何表示中人们可以看到复数的直观意义已完全建立起来。复数的几何表示促使人们改变了对虚数的神秘印象，成为直观上可以接受的数学对象。复数的公理化定义

1837年英国数学家哈密顿指出，复数a+bi实数的有序偶（a,b），i在复平面上可表示为（0，1），用有序偶给出四则运算的定义，在这种定义下，通常的结合律、交换律及分配律，都能用实数的有序偶推导出来3.3.4四元数利用“域扩张”的方法，寻找新的数域――超复数域。哈密顿的尝试――从三元数到四元数“模法则”：两个数(a+bi+cj)、（x+yi

+zj）相乘得到一个新数，它所对应的（三维空间）向量的长，恰好是原先两数所对应的向量的长的积。即对于(a2+b2+c2)与(x2+y2+z2)，是否可以找到(u,v,w),使得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=u2+v2+w2。此前，勒让德就举例说明模法则在三元数域中不可能成立：3=1+1+1及21=16+4+1都可以表示为三个平方数的和，可是3×21=63却不能表示为三个平方数的和。理由是：凡是形如8n+7的整数都不能表示为三个平方数的和。布尔罕桥上的顿悟——i2=j2=k2=ijk=－1。

哈密顿经历了十五年锲而不舍的努力，终于使一个新的超复数域诞生了。这种四元数也像实数和复数那样可以施行加、减、乘、除的运算，但是却不能满足乘法交换律。正如我们已经看到的，ij≠ji。超复数域的发展

“八元数”，这是一种包含四元数的新数，不能满足乘法结合律。利用公理化方法构造数系“2n元数”，并且证明了：

n=4且满足“模法则”的数是不存在的（1848年）能保持普通代数所有基本性质不变，而比复数域更大的数系是不具备这些基本性质的。（维尔斯特拉斯，1861年）能满足除乘法交换律之外的一切代数基本性质的超复数域，只有四元数一种（弗罗宾纽斯，1878年）能施行加、减、乘、除的数系只有四种，他们分别是一维的实数域、二维的复数域、四维的四元数域及八维的八元数域（1958年）3.4数系的公理化复数、微积分、几何学的理论的逻辑基础都建立在实数系上。人们用公理化方法建立实数的逻辑基础，即实数系自身的严密化——“分析的算术化”过程。在三个方面取得了进展：（1）运用公理化的方法，使实数建立在自然数系的基础之上；（2）康托的基数序数理论，将自然数建立在集合论的基础之上；（3）逻辑学家力图从逻辑命题演算的基础上导出集合论，将数学建立在纯逻辑的基础之上。这种方法尚未取得完美的结果。3.4.1戴德金分割无理数的逻辑定义（戴德金1872年）：将有理数集合划分成两个非空集合A和，使得A中的任意的数都小于中的任一数。A和的分割记为。这样的分割可能产生三种情况，（1）在A中没有最大的数，而中有最小的数r；（2）在A中有最大的数r，而在中没有最小的数；（3）在A中没有最大的数，在中也没有最小的数。在前面两种情况中，分割产生有理数，或者说分割界定了有理数。在第三种情况中，界数不存在，分割不能界定任何有理数。这时规定：任何属于第三种情况的分割就界定了一个无理数。3.4.2自然数公理“皮亚诺公理”：（1）1是一个自然数。（2）每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数，而也是一个自然数。（3）1不是任何自然数的后继数，即1≠。（4）一个数只能是某一个数的后继数，或者根本不是后继数，即由=，一定能推得a=b。（5）任何一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a，也一定包含a的后继数，那么这个集合就包含所有的自然数。‘上帝创造自然数；其余一切都是人为的。’（克罗内克）3.5超限基数无限是整个数学的基础。无限是许多怪事和悖论栖身之处如，芝诺悖论，表述第五公设的表述，无穷小量（第二次数学危机）希尔伯特说：“自古以来，没有别的问题象无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法象它这样富有成效地焕发过人的精神。同时，没有别的概念象它这样迫切需要澄清。”3.5.1一一对应方法与可列集定义：如果能根据某一法则使集合M与集合N中的元素建立一一对应，那么M与N等价（按现代数学家的语言：称M与N“等势”或具有“相同基数”）。例如，偶数集E与自然数集N、整数集Z与自然数集N的一一对应可以定义为：当n∈N，有E中元2n与之对应；当n∈N，有Z中与之对应。定义：能与自然数集N构成一一对应关系的集合，就称为可列集或可数集。记为。如，。证明有理数集Q也是可列集（采用对角线的对应方法）

定理：如果有可数个可列集A1,A2,A3,…，则它们的并集仍旧是可列集。事实上，不妨假定对于任何i、j，Ai和Aj没有共同元素。我们现在对A1,A2,A3,…的元素编号如下：A1：a11①，a12②，a13④，a14⑦，…A2：a21③，a22⑤，a23⑧…A3：a31⑥，a32⑨…A4：a41⑩，………对于固定k,Ak的元素形如：ak1,ak2,ak3,…。我们定义一一对应F：{1，2，3，…}其中F(1)=a11,F(2)=a12,F(3)=a21,F(4)

=a13,F(5)=a22,F(6)=a31,F(7)=a14,…,

从上图可以直观看出这个映射是一一对应。因此，仍旧是可数集。

由以上的性质可以知道Q一定是可数集。定义：有限集合不能通过一一对应映射到自己的真子集合上，而无穷集合却可以通过一一对应映射到自己的真子集合上。例如上面讲到的，整数集合可以映入偶数集合。而偶数集合显然是整数集合的真子集合。3.5.2实数集R是不可列的证明（0，1）是不可列的。将（0，1）上的实数用小数表示，若它们是可列的，

a1=0.a11a12a13…，a2=0.a21a22a23…，ak=0.ak1ak2…。选实数Z=0.b1b2…，定义bk

=由于至少对于第k位，bk≠akk，则Z≠ak

(k∈N)。所以(0,1)是不可列的。于是，康托把（0，1）区间作为一个新的、更大超限基数的标准，其基数用C（英文“连续统”一词第一个字母）表示。

R与（0，1）的一一对应关系可表示为yx∈(0,1)

所以R与（0，1）的基数均为C，证明，无理数集合也是不可列集。事实上，R是由实数集与无理数集的并集构成的。如果无理数集是可列集，那么由上节康托定理可得，R是可列的。这显然矛盾。3.5.3超限基数比大小定义若集合A与B的某一子集间存在一一对应关系，则。设，若A与B间无一一对应关系，则定理：若且则。奇异的命题如，二维平面上点的个数与一维直线上点的个数一样多平面上全部点，以及三维立方体中的点，都只有基数C3.6发展数感“发展数感”的课程目标。在《标准》中对数感的学习的目标规定为：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体情景中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算结果；并对结果的合理性做出解释。”印度近代数学家拉马努金（1887—1920）具有对数字敏锐的洞察能力

1729是能用两种方法表示成两个整数立方和的最小整数。它等于13+123和93+103。把数感与数量关系的理解与运用结合起来，培养符号感和初步的数学建模的能力，逐步使学生形成抽象的数及数量关系的认识。第四章方程求解与代数符号化方程求解问题的研究是代数学产生的重要源泉。代数学的基本方法：用符号表示研究对象以及这些对象间的关系。代数学发展的历史，就是代数学符号化的历史：文字表示、缩记代数、符号代数学4.1早期的方程求解方法4.1.1配方法与数表法古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样一个问题：“把正方形的面积加上正方形边长的三分之二得35/60①，求该正方形的边长。”图4.1普林顿322号泥版这个问题相当于求解方程x2+（2/3）x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程x2+px

=q的系数代入公式古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法，这些解法则记录在一些数表上。图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表4.1.2《九章算术》的“方程术”

《九章算术》中的“方程章”，是世界上最早的系统研究代数方程的专门论著。它在世界数学历史上，最早创立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求解方法。

《九章算术》把这些线性方程组的解法称为“方程术”，其实质相当于现今的矩阵变形方法。方程术是通过对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减）实现减元、获取方程解的过程。在“方程章”问题的解法中还可以发现下述方程变形的性质：如果方程的两边都加上（或减去）同一数，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数，那么所得的方程和原方程是同解方程。

刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”法。4.1.3开方法解方程中国古代把解二次方程x2+bx=c的方法称作“带从开方”；把解三次方程x3+

bx2+cx=d的方法称作“带从开立方”。北宋数学家刘益（公元11~12世纪人）使用“增乘开方法”求解一元高次方程。如，使用“增乘开方法”解－x2+60x=864.列三行横式－160864补零（前移一位，－100600864（2说明商为二位数），首商得2，增乘一次－200－800—10040064

－200再增乘一次，－10020064去零（后移一位），－12064（4次商得4，增乘一次

4_－64

－1160恰好减尽。故得方程根x=24。4.1.4几何方法解方程开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商加后商”）的几何推导方法图4.4面积法开平方由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其边长是三位数。(100a+10b+c)2=55225.为此，先估计a=2，如图4.4，于是在AB上截取AE=200,以A为一边做正放形AEFG,从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF的面积：

55225—40000=15225。为估计b，用EF的2倍（定法）去试除这个余数，得b=3。在EB

上截取EH=30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知：矩形FH的面积=矩形FJ的面积=30×EF=300×200.正方形的

FI的面积=302。因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更细的“曲尺形”的面积为15225—（2×30×200+302）=2325。最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一边做正方形AKLM，从正方形ABCD减去它，得2325—（2×5×230+52）=0。即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的平方根：2352=55225。古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x，因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－px+q2=0的几何方法假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是：作一个正方形，使它的面积等于给定的正方形，而它的相邻两边的乘积等于给定的一个线段长。为此，可由图4.5得到上述的