A-数学建模投资的收益与风险问题论文

.投资的收益和风险问题摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。分别在不考虑风险和考虑风险的情况下建立相应的数学模型,来使得投资所获得的总利润达到最大。问题一是一个典型的线性规划问题,我们首先建立单目标的优化模型,也即模型1,用Lingo软件求解,得到在不考虑投资风险的情况下,20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。然后分别分析预计到期利润率、可用投资总资金和各投资项目的投资上限对总利润的影响。发现利润与利润率成正比的关系；可用投资总额有一个上限,当投资额小于这个上限时,总利润与可用投资额成正比的关系,当大于这个上限时,可用投资额与总的利润没有关系,总利润率保持不变；各项目的投资上限均与目标值呈正相关,项目预计到期利润率越大,该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。首先根据数据计算出到期利润率,将每一个项目的利润率看成一个时间序列,对该序列的数据进行处理,可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数,问题三与问题一类似,也是优化的问题,其目标仍是第五年末的利润最大,而且也没有考虑风险问题,只是约束条件改变了。我们建立非线性规划模型,仍用Lingo解得大利润为620589.7万元。问题四在问题三的基础上,考虑了预期风险损失率,建立了一个多目标规划模型三,求取投资最大收益额和最小损失额。由于模型三在我们现有基础上不易求解,我们又运用线性加权平均法的思想对投资利润和投资损失额进行加权平均建立了模型四。运用matlab软件进行计算,得出了最优解为314250.8万元。问题五首先假设一部分资金存入银行获取利息,并向银行贷款进行其他项目投资,然后根据题四方法和思想,运用Lingo软件求得：当时,可得第五年总金额最大值：万,则第五年的最大利润万。关键字：线性规划时间序列ARMA模型LINGOMATLAB1问题的重述随着市场经济的快速发展,投资各个项目进行赢利,已是许多公司取得利润的的主要途径。但是这样的投资又存在着一定的风险。不是每一次投资都能百分之百获得利润,所以怎样缓解与解决赢利与风险之间的矛盾,是每一个投资商及待解决的问题。本题就是要通过一个实例,建立数学模型,用数学的眼光来看待及解决这个问题。题目给定了20亿作为未来5年的投资资金,而现在市场上给定的投资项目有8个：项目1、项目2每年初投资,当年年末回收本利〔本金和利润；项目3、项目4每年初投资,要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资,要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资,到第五年末回收本利。第一问要解决的问题是建立一个优化模型,在给出实验数据的前提下,如何安排20亿的投资资金使第五年末的所的的利润达到最大。给定8个项目近20年的投资额与到期利润的数据,同时还知道投资的各个项目之间还会出现相互影响的问题。具体的数据由题目附录给出。现在要解决的问题是根据往年的数据,预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。在问题2的基础上,现有两种情况：a.对投资项目1,公司管理层争取到一笔资金捐赠,若在项目1中投资超过20000万,则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠,用于当年对各项目的投资。b.项目5的投资额固定,为500万,可重复投资。<个项目的投资额上限见表4>在这两种情况下,且根据问题2的结果,确定5年如何安排20亿,使得第五年末所得利润最大。另外由实际可知,当投资越分散,也即投资的项目多,而且金额相对比较平均时,那么总的风险就越小。现规定：当用20亿投资若干种项目时,总的风险用所投资的项目中最大的一个风险来度量。在这种情况下,应该如何考虑风险问题？问题3中的投资又应该如何安排？由于考虑风险问题,公司可以拿一部分资金存进银行,但是为了获得更大的利润,公司可以在银行贷款来投资,贷款的上限和利息可根据实际情况来确定。那么在这种情况下又应该如何安排5年的投资计划？2背景分析随着市场经济的不断发展和投融资体制改革的逐步深入,投资已成为推动我国经济发展不可缺少的动力,也是不少公司获得利润的主要途径。而现如今在投资问题中,收益和风险是一对主要矛盾,怎样调节二者的矛盾,使获得的收益最大,而相应的风险却最小,是各商家要解决的主要问题,在市场经济条件下,企业能否将资金投入到收入高,回收快,风险相对小的项目上去,对企业的生存和发展十分重要。3模型的假设与符号说明3.1模型的假设无交易费和投资费用等的费用开支；在投资的5年时间市场发展基本上是稳定的；投资期间社会政策无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响；外界因素对投资的资产无较大影响。资产投资是在市场中进行的,市场是复杂多变的,是无法用数量或函数进行准确描述的,因此以上的假设是必要的。一般说来物价变化具有一定的周期性,社会政策也并非天天改变,公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资。市场与社会的系统发展在一个时期是良性的,稳定的,因此以上假设也是合理的。.3.2符号说明符号说明见表1：表1 符号说明表符号说明第五年末的利润第年初的可用总资金,也就是第年末的可用总资金第个项目的投资额上限第年初对第个项目的投资额模型一中第个项目的预计到期利润率σ收益的标准差模型三中第I年第j个项目的利润率第

I年获得捐赠的资金数目第I年第五个项目重复投资的次数三个项目同时投资的利润率两个项目同时投资的利润率4问题的分析与求解4.1问题一的分析与求解4.1.1问题一的分析该题是一个单目标的优化问题,其目标是在不考虑风险的情况下安排20亿的投资金,使得第五年末的利润z最大,也即总利润最大。将5年的对8个项目的投资利润累加起来就是要求的目标函数,要做的是如何安排5年的投资计划,每一年应该投资哪几个项目,每个项目的投资金额为多少。该决策受到两个条件的限制：各个投资项目的投资上限。在任一项目的运行期间,公司对该项目的投资总额不能超过该项目的投资上限。运行期的概念是从投资开始到回收本利的这段时间。例如：第一年对项目三投资了30000万元,由于项目三的投资上限是40000万元,运行周期为两年,则第二年,该公司对项目三的投资额不能超过10000万元；每年的可用资金。每年的可用资金等于上年的可用资金减去上年的总投资额再加上上年末各项目回收的本利。每年8个项目的投资金额总数不能超过该年的可用资金。4.1.2模型1的建立与求解通过上面的分析,我们可以运用线性规划的方法建立模型1。目标函数是第五年末的总利:〔1约束条件为：项目1和2每年的投资金额的限制：<1.1>项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：<1.2>项目5和6在三年的运行期投资金额的限制：<1.3>项目7运行期为4年,且要第二年初投资,所以只投资一次：<1.4>项目8运行期为3年,且要第三年初投资,所以也只投资一次：<1.5>第i年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：<1.6>第一年的投资金额上限：〔1.7>第i年的投资金上限为第i-1初的资金减去第i-1年投资用去的资金,再加上第i-1年末回收的的资金,第2年初至第6年初的投资资金依次如下：<1.8><1.9><1.10><1.11><1.12>用Lingo编写程序,程序见附录1。解得最大利润为153254.4〔万元,投资方案如表1.1所示表1.15年各项目的投资计划单位〔万元投资额〔亿元第一年第二年第三年第四年第五年项目一60000.0045544.4460000.0060000.0060000.00项目二30000.0030000.0030000.0030000.0030000.00项目三40000.000.0000000.00000040000.000.000000项目四10114.6119885.390.00000030000.000.000000项目五3755.5560.00000026044.440.0000000.000000项目六20000.0040000.000.0000000.0000000.000000项目七0.0000000.0000000.0000000.0000000.000000项目八0.00000060000.0030000.000.0000000.000000表1.1表明：第一年初,投资项目一60000万,项目二30000万,项目三40000万,项目四10114.61万,项目五3755.55万；第二年初,投资项目一45544.44万,项目二30000万,项目四19885.39万,项目六40000万,项目八60000万；第三年初,投资项目一60000万,项目二30000万,项目五26044.44万,项目八30000万；第四年初,投资项目一60000万,项目二30000万,项目三40000万,项目四30000万；第五年初,只投资项目一60000万和项目二30000万。各年的可用投资金额如表1.2所示表1.2各年的可用金额单位〔万元年份12345可用金额200000.0135429.81462444.4160000.099300.00每年的投资金额总数如表1.3所示表1.3各年的投资金额总数单位万元年份12345金额数163870.2135429.8146244.4160000.090000.004.1.3模型1的检验在该模型中,影响最终利润的因素有个：〔1预计到期列率；〔2可用投资总资金；〔3各投资项目的上限。我们可以通过分别独立改变这三个因素的值来确定这三个因素对模型的灵敏度,从而反映各个因素对模型结果影响的显著性水平。反之,通过改变各参数的值,又可以反映和检测所建模型的实际合理性。预计到期利润率灵敏度分析本问题目标函数是总利润最大,而当投资总资金和各投资项目的上限一定时,总利润就是与各项目的到期利润率相关,但是作为投资,当利润率越大,获得的利润也相应的越大。所以利润率增大,对实际的投资就越有利。而当利润率减小时,相应的利润也会减小,当利润率减小到一定值的时候,就会出现投资的一个边缘利润,当利润小于这个边缘利润的时候,实际的投资价值就不高,所以投资的项目安排也应该考虑利润率的问题。总的来说,在不考虑风险的情况下,投资利润与投资利润率成正比的关系。可用投资总资金的灵敏度分析利润为投资资金与到期利润率的乘积,所以总的可用投资资金直接影响着总利润所以在实际投资当中,我们就要充分考虑可用投资总资金的改变对总的利润的改变的显著性的大小。假设其他的条件不改变,通过改变投资总资金的大小来观测总收入的变化,具体结果如表1.4所示,对应曲线如图1.1所示表1.4最大总利润单位〔万元投资资金资金改变量总利润利润改变量170000-3000141721.9-11532.5180000-2000147686.7-5567.7190000-1000151439.6-1814.82000000153254.402050005000154160.7906.32060006000154339.31084.92070007000154517.91236.52080008000154696.414422090009000154700.01445.621000010000154700.01445.6图1.1利润与可用投资资金的曲线由表格所得的数据及所对应的图象可以得出：a.当可用投资总额小于208000万元时,总的利润与投资额呈现正比的关系,即投资资金小于208000万元时,投资资金越大,所获得的总利润也相应的越大；反之就越小。但是又由图象可以看出,投资资金在170000万元到208000万元之间,图象可以分为三个阶段〔1.7-1.8,1.8-1.9,1.9-2.08,随着投资金额的增大,总利润的增加速率逐渐减小,说明投资资金对总利润的影响越来越小,但是在170000-208000之间,投资金额还是该模型的一个紧约束。b.当可用投资总额大于208000万元时,由图象可以看出,可用投资总额与总利润没有关系,此时的总利润保持154700.0万元不变,所以当投资额大于208000万元时,大于208000万元的那部分对投资来说就是一种浪费,完全没有利润所言,所以作为实际的投资决策者,应该保持可用的投资额接近208000万,不能超过208000万元,以便获得最大的总利润154700.0万元。3>投资上限的灵敏度分析各个项目的投资上限也是影响总利润的重要因素,通过改变各个项目的投资上限来观测总利润的变化,从而进一步分析模型,表1.5列出了上限在-20000万元到20000之间变化的利润变化。表1.5投资上限的变化与利润的变化改变量项目-2000015000-10000-5000050001000015000200001-8554.4-6054.4-3554.4-1757.401757.53514.95272.36445.92-9554.4-6804.4-4054.4-2023.802023.94047.86071.77647.33-8554.4-6054.4-3554.4-1685.101685.23370.45055.66740.84-9354.4-6654.4-3954.4-1892.501892.63785.25677.87570.45-7558-5665.1-3772.3-1879.601879.73759.35638.97518.66-8592.5-6444.4-4296.3-2148.102148.24296.364428584.97-14554.4-10554.4-6554.4-3093.703092.66185.29277.812370.48-9558-7165.1-4772.3-2379.602379.74759.37138.99518.6进一步用Matlab画出上表对应的曲线如图1.2所示〔横轴代表投资上限的变化量,纵轴代表利润的变化量图1.2投资上限变化量与利润变化的关系上述表1.5和图1.2均反映了各项目上限变动后的总利润与不发生变动前的总利润的差值。由此可以看出,每个项目上限值均与总利润成正比,呈线性分布,即各项目上限的变动对总利润都有影响,但影响的程度各不相同。分析图1.2发现各项目上限的变动对总利润的影响大致可分为四组,每组中的各项目上限变动对总利润的影响大致持平。分析各项目的预计到期利润率,发现各项目投资上限变动对总利润的影响的大小与其预计到期利润率的大小大致上呈正相关,即利润率越大,其上限变动对总利润的影响也越大。这符合现实中的经济投资理论,投资的目的是最大化总利润,为了实现这个目的,应尽可能的把资金投资在利润大的项目上,所以,当利润大的项目的投资上限变大时,由于是尽可能的将资金投资在该项目上,则总利润也就相应的增大。 通过以上对公司的投资资金和各项目的投资上限的灵敏度分析,我们可以发现,这两个因素的变化对总利润的影响都符合现实的经济投资理论,故模型1具有一定的现实合理性。4.2问题二的分析与求解4.2.1问题二的分析问题二根据公司财务人员收集的8个项目近20年的投资额与到期利润数据,预测未来五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率和风险损失率。对于预测问题,首先我们可以运用回归模型来解决该问题,也就是进行回归预测。另外,在有些情况下,当模型具有时相关性的时候,用回归预测的方法就难以解决该问题,而且模型的效果也不理想,在这种情况下我们可以考虑另外的方法,运用时间序列的知识来解决该问题。建立一次滑动平均模型,即MA<1>模型。4.2.2模型二的建立与求解首先我们建立线性回归模型来解决该问题,通过回归方程的显著性检验时,发现该模型的效果太差,即线性回归模型不能够满足题目要求。因此我们就建立二次非线性回归模型,首先用的是纯二次线性回归,效果也不理想,达不到相应的参数要求。接着将模型加上交叉项,经过计算也达不到预想的效果。经分析发现回归模型存在的一个问题就是没有了时间的概念,建立求解出来的模型对利润的预测是独立的,即当输入一组参数时,就会单独的得到一个利润值,和时间就完全不相关,所以用回归模型就行不通。在此基础上,我们运用时间序列分析的方法来建立模型,即利用一个时间序列在t时刻的有效观测值去预报在某个未来时刻t+l该序列的值。我们利用时间序列模型中的一次滑动平均模型〔简称MA<1>来解决该问题,并用DPS数据处理系统软件和Excel软件处理数据和进行求解。4.2.2.1独立投资时,对未来五年投资的到期利润率和风险损失率的预测。a.到期利润率的预测首先由表2的数据求出各个项目每年的到期利润率,如表2.1所示表2.1各项目到期利润率项目年份1234567819860.1595070.0219470.3106570.158123-1.82791.8527363.2379251.7999219870.167450.0238160.4358970.1940980.674332-0.211972.0999671.94575619880.151570.111150.3810950.164116-0.60355-1.340947.2862512.300619890.1482670.0959820.1320070.2394432.0032230.6691022.613164-1.7756619900.1546660.0689460.5371020.2041233.5852091.370962-3.2187-0.5117619910.1726820.1218840.4267540.2137370.741758-1.43852.8635840.43141319920.1304350.119550.2423020.1800931.6101170.200395-9.544464.22520519930.2135070.1747720.458060.3213891.6473430.9474515.6173684.06470619940.0857630.1621910.3728530.2391471.388527-0.36107-5.78081.5013141950.1508850.1810050.2029450.1741461.3925980.30608413.516723.02832419960.1347650.1929540.549170.3360731.378131.368333-3.157831.01135919970.1471650.1520940.233340.2942250.6989510.7515418.44862.4939619980.1843150.1896280.2512820.3317030.7370211.386701-4.27695-1.1981419990.1037040.185520.2555730.308192-0.161361.492517-4.84479-1.3717420000.1444980.2106540.5192170.2598261.0398881.2999452.82955351817150.2458160.5163870.3210111.215521.309945-9.607572.67363520020.1469950.1972610.2676710.3411740.6483151.0456717.54685-2.1394420030.1038790.1812450.2640140.3700490.9290511.10796303.90194820040.1907970.1803880.3183430.415851000020050.1307590A<q>模型识别原则：如果随机序列的自相关函数截尾,即自q步以后有pk=0<k>q>,而它的偏自相关函数拖尾,则可断定该序列是滑动平均MA<q>序列。实际上,当k>q以后,pk=0是理论上的,一般的情况下,样本自相关函数不会在q步以后全为0,而只是在0的上下波动。但可以证明k>q,样本自相关函数pk渐近服从正态分布N<0,1/n>。为了更好的处理数据,我们首先将前20年每项目的平均利润率计算得到表2.2,平均利润率也即到期利润率的趋势值。表2.2前20年每个项目平均利润率项目12345678利润率0.1501660.1485820.3512890.2666590.9498430.6531592.0958161.531521对样本数据零均值化：实际观测到到期利润率与趋势值之差具体数据见出表2.3所示表2.3实际观测值与趋势值之差项目样本序号1234567810.009341-0.12663-0.04064-0.10854-2.777741.1995771.1421080.26839820.017284-0.124770.084599-0.07256-0.27551-0.865130.0041510.41423430.001403-0.037430.029797-0.10254-1.55339-1.99415.1904350.7690784-0.0019-0.0526-0.21929-0.027221.0533790.0159430.517347-3.3071850.0045-0.079640.185803-0.062542.6353660.717803-5.31452-2.0432960.022516-0.02670.075455-0.05292-0.20808-2.091660.767767-1.100117-0.01973-0.02903-0.109-0.086570.660274-0.45276-11.64032.69368480.0633410.026190.1067620.054730.69750.2942923.5215522.5331849-0.06440.013610.021555-0.027510.438684-1.01423-7.87662-0.03021100.0007190.032424-0.14835-0.092510.442755-0.3470811.420911.49680311-0.01540.0443730.1978720.0694140.4282870.715174-5.25365-0.5201612-0.0030.003512-0.117960.027566-0.250890.0983816.352790.962438130.0341490.041046-0.100020.065044-0.212820.733542-6.37277-2.7296614-0.046460.036938-0.095730.041533-1.111210.839357-6.94061-2.9032615-0.005670.0620730.167918-0.006830.0900440.6467860.7337363.654464160.0315490.0972340.1650880.0543520.2656770.656786-11.70341.14211417-0.003170.04868-0.083630.074515-0.301530.3925115.45103-3.6709618-0.046290.032663-0.087280.10339-0.020790.45480302.370426190.0406310.031807-0.032960.14919220-0.019410.006248运用DPS数据处理软件中的MA<1>模型,我们可以根据20XX的数据计算出20XX的数据,依次类推可得出未来5年的预测值,如表2.4所示表2.4观测值与趋势值之差的预测值项目年份123456782006-0.00780.0087-0.00640.12910.00710.240.53030.05052007-0.0086-0.0049-0.00690.14660.00740.25670.56470.05362008-0.0093-0.0185-0.00730.16410.00770.27340.59920.05682009-0.0101-0.0321-0.00770.18150.0080.290.63360.05992010-0.0109-0.0457-0.00820.1990.00840.30670.66810.0631接着我们计算该序列标准自相关函数与偏相关函数,项目1的计算结果如表2.5所示表2.5项目1的相关函数函数序号自相关函数偏自相关函数1-0.539-0.53920.0576-0.328330.094-0.0664-0.0706-0.024150.06460.064260.01020.11147-0.0775-0.005580.0159-0.084890.09590.0582项目2的相关函数如表2.6所示表2.6项目2的相关函数序号自相关函数偏自相关函数10.71380.713820.5045-0.010430.45880.208840.3018-0.20950.18190.016460.0309-0.25727-0.06680.04538-0.1178-0.10149-0.2398-0.1198其他项目的相关函数求法与上面类似。分析上面的数据不难发现偏相关函数逐渐趋向于零,可认为它是拖尾的。而自相关函数的变化有一定的起伏,但在一定的区间我们可认为在以后是截尾的。根据MA模型判断准则,该时间序列是MA<1>序列。用DPS数据处理软件中MA〔1模型可得项目一的20XX的到期利润率：0.142366。把预测到的到期利润率加入样本中,再用MA<1>预测下一年的到期利润率。依次类推,得到20XX接下来四年的到期利润率。各项目的利润率预期值如表2.5所示表2.5项目利润率的预测值项目年份1234567820060.1423660.1572820.3448980.3957590.9569430.8931592.6261161.58202160070.1415660.1436820.3443980.4132590.9572430.9098592.6605161.58512120080.1408660.1300820.3439980.4307590.9575430.9265592.6950161.58832120090.1400660.1164820.3435980.4481590.9578430.9431592.7294161.59142120100.1392660.1028820.3430980.4656590.9582430.9598592.7639161.594621b．风险损失率的预测风险是指投资中未来收益的不确定性,不确定性的程度越高,风险就越大。由于投资的风险是在投资之后发生的,而投资者又希望投资前或投资时能够了解到投资的风险,因此,人们通常用投资后收益的各种可能情况及各种可能情况出现的概率来描述风险的程度,即用概率分布来测度风险的程度。我们用收益的标准差σ来测度风险。标准差是方差的平方根,而方差是各种可能值相对于期望值离散程度的指标,收益率的方差σ2是各种可能收益率相对于期望收益率离散程度的指标。由于各种可能收益的波动程度越大,方差的均值就越大,所以,方差和标准差可用来测度风险,方差和标准差越大,就意味着风险越大。根据统计学原理,样本的个数越大,对变动率的预测就越准确。所以我们把上面预测出来的到期利润率放到样本中,再进行风险的预测与求解。用Excel中的函数STDEV标准差计算公式求得结果如下表2.6所示：表2.6各项目的风险损失率项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目8标准差0.030990.060010.12630.077411.119620.953928.506482.2216由结果可知,各个项目的损失率有明显的差异。在实际的投资情况当中,项目的投资风险损失率与该项目的投资额的多少、项目的运行期的长短有着密切的关系,投资的资金越多,项目的运行期越长,相应承担的风险就越大。由表中的数据我们发现比较符合该事实,所以模型的建立比较成功。项目之间相互影响下的投资到期利润率和风险损失率。a.到期利润率的预测到期利润率的求法与上面的模型基本相似,仍然采用滑动平均的模型对其进行预测。首先算出相互影响下的到期利润率,结果如表2.7所示表2.7相互影响下的到期利润率项目序号项目3、项目4项目5项目6项目5、项目6、项目810.238220.466720.331340.873631.53450.84312-0.6298820.431560.448730.402270.53725-0.516182.76772.747430.490920.428860.0741053.15930.801940.41334-0.7456140.32370.411620.0852750.605110.744170.209552.644250.29390.470470.096624-1.0626-0.13698-0.76648-0.3022860.457560.48561.48931.46862.980.891491.149670.675430.438240.0547140.165270.81727-0.027222.39480.472120.48190.92467-0.655190.56719-0.052554.050490.325540.45867-0.193380.38031.43983.00872.321100.539580.393021.24510.0108720.705780.424211.6538110.639120.323210.181990.20187-0.510611.51492.5847120.309620.44849-0.016682.1279-0.578290.783281.7064130.731870.393910.97240.361911.01590.871922.603140.56240.436411.9492-0.65438-0.248332.0649-0.54386150.26360.391071.00631.69440.880740.387382.3895160.520860.382091.3142-1.08411.7369-0.74814-1.0064170.616690.453070.284973.3110.615030.168810.82626180.4650.441851.27851.54932.18360.916790.71113190.470870.4744800000接着用与独立投资时一样,求出标准自相关函数与偏自相关函数如表2.8所示表2.8相互影响投资时的相关函数序号项目3项目4自相关函数偏自相关函数自相关函数偏自相关函数1-0.0862-0.08620.19550.19552-0.4043-0.41490.0362-0.002130.38740.3679-0.0873-0.097740.18710.08060.01690.05515-0.19470.1297-0.0282-0.03960.06180.0252-0.1531-0.159970.0707-0.0855-0.040.03258-0.1405-0.1386-0.2557-0.27089-0.1783-0.323-0.1621-0.105根据自相关函数和偏自相关函数的数据,我们确立运用ARMA<3,1>模型进行预测,运用DPS数据处理软件预测各项目的投资到期利润率结果如表2.9所示表2.5项目利润率的预测值项目年份1234567820060.1423660.1572820.3448980.3957590.9569430.8931592.6261161.58202160070.1415660.1436820.3443980.4132590.9572430.9098592.6605161.58512120080.1408660.1300820.3439980.4307590.9575430.9265592.6950161.58832120090.1400660.1164820.3435980.4481590.9578430.9431592.7294161.59142120100.1392660.1028820.3430980.4656590.9582430.9598592.7639161.594621表2.9相互影响投资是的预测利润率同时投资三,四同时投资五六同时投资五,六,八年份\项目号项目三项目四项目五项目六项目五项目六项目八20060.53420.43390.5271-0.14631.37140.81792.333820070.4980.42470.76551.0050.81440.72771.795620080.46370.41870.60290.71741.38430.64141.832520090.50790.42590.72830.46491.08920.65261.311720100.48260.42760.68850.6290.88680.66311.4845b．风险损失率的预测与独立投资时一样,我们仍然用标准差来代替风险损失率。用Excel中的函数STDEV标准差计算公式求得结果如下表2.10所示：表2.10相互影响投资时的风险损失率项目项目3、4影响项目5、6影响项目5、6、8影响项目3项目4项目5项目6项目5项目6项目8风险损失率0.14410.041560.634821.268031.024081.490980.958654.3问题三的分析与求解问题三的分析该题与问题一类似,也属于优化问题。其目标仍是在不考虑风险的情况下使第五年末所得总利润最大,要做的决策是5年的投资计划。但它与问题一的不同之处在于：各项目的预计到期利润率不同。各项目的投资上限也不同。约束条件也不尽相同。同时还要考虑问题二中的特定项目之间相互影响的问题,即当两个相互影响的项目同时在某年初投资时,这两个项目的预计到期利润率就应该按照相互影响下的利润率来算。因此,该题仍可用数学规划的方法求解。4.3.2模型的建立与求解通过分析,我们可以运用线性规划的方法建立模型三。目标函数是第五年末的总利:max=m6-20〔1约束条件为：项目1和2每年的投资金额的限制：<1.1>项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：<1.2>项目5和6在三年的运行期投资金额的限制：<1.3>项目7运行期为4年,且要第二年初投资,所以只投资一次：<1.4>项目8运行期为3年,且要第三年初投资,所以也只投资一次：<1.5>第i年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：<1.6>当〔1.7第一年的投资金额上限：〔1.8第i年的投资金上限为第i-1初的资金减去第i-1年投资用去的资金,再加上第i-1年末回收的的资金,第2年初至第6年初的投资资金依次如下：<1.9><1.10><1.11><1.12><1.13>当时,<1.14>当时,〔1.15否则当时, 〔1.16〔1.17根据第二问的结果,上面的优化问题通过lingo求解得出的结果如表2.11：最优解为max=620589.7万元,程序见附件2。表2.11投资的分配方式年份项目2006200720082009201016000021649.596000060000600002600006000060000600006000033500003.57E-08350000430000015395.4614604.5405030000000613318.912.50E-0726681.0900703000000080030000004.3.3模型的分析各项目的投资上限也是一个很重要的方面,所以考虑了公司投资资金的变动给总利润带来的变化后,分析各项目投资上限的变化给总利润带来的影响,以更好地对模型作进一步的分析。我们将各项目的投资上限额在2亿围变化,观察总利润的变化趋势,结果如表2.12和图4.1所示。表2.12各项目投资上限额的变化对总利润的影响项目上限的变化<亿>项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八-2-1.72525-1.83968-1.70936-1.96397-1.92207-2.61942-21.1395-2.30808-1.5-1.52551-1.03201-1.2833-1.11214-1.43286-1.79713-16.4658-2.25647-1-1.1477-0.68459-1.45872-0.74377-0.95017-1.19838-10.5537-1.14838-0.5-0.93365-0.34743-0.43119-1.00592-0.47675-0.60174-5.27734-0.576740000000000.50.29426-0.274480.408170.351430.466910.591015.27126-0.069091-0.083530.549230.809850.693560.928191.1811910.536851.131191.5-0.178740.648781.155310.195711.253641.6894415.666691.6144420.68070.798491.448081.193671.568851.0637718.848032.05599图4.1各项目上限的变化对总利润的影响上述表2.12和图4.1均反映了各项目上限变动后的总利润与不发生变动前的总利润的差值。由此可以看出,每个项目上限值均与总利润成正比,呈线性分布,即各项目上限的变动对总利润都有影响,但影响的程度各不相同。五、模型的评价和改进5.1模型的评价本文优点是建立投资模型,比较全面的对有无风险,怎样投资进行了讨论,并且通过matlab软件进行线性求解,得出各种投资方案的最优解；通过运用matlab的数据拟合,数值分析的最小二乘法拟合,给出测利润率方案,并有效的处理数据；同时根据实际情况对模型的三种推广,并给出一定的方法和准则。不足之处是：模型一是单目标线性规划模型,在给出的约束条件下,得出了最优解；此模型比较简单,并且考虑的因素较少,所以求出的结果和事实是有差别的。对待问题二,我们得出了接下五年投资的预期到期利润率和预期风险损失率,并且假设在此投资期到期利润率和风险损失率是不变的,这明显是不符合实际情况的。在求解问题三和问题四时,我们都在求解过程中默认了项目5和项目6,项目5、6和项目8是同时投资的,虽然运算结果也显示为同时投资,但这样做,令模型缺乏严谨性,所求的最优解可能不正确,所以我们的算法有待改进。5.2模型的改进我们可以考虑在这段时期〔5年,甚至更长的时间,各项目的到期利润率和投资风险损失率都是变化的,我们可以对其数据的变化,找出其变化规律．如此题,我们就可以对数据线性拟合找出各项目的未来5年各年的投资到期利润率和投资风险损失率．他们不在只跟项目有关,也和年份有关．重新分别设为：和．另外,如果项目之间很大,我们可以根据他们之间的关系,给出影响系数,尽量避免反向影响〔一个项目投资使得另一项目利润大大下降同时投资的原则等。参考文献启源 数学建模〔第三版 高等教育 2003徐权智晋浩 数学建模 高等教育 2004[3]中庚数学建模方法及其应用高等教育2005附录1模型1程序及结果sets:lirun/1..8/:p;shangxian/1..8/:l;xiangmu/1..8/:a;nianshu/1..5/:b;niantouzishangxian/1..5/:m;niantouzizhongshu/1..5/:n;link<nianshu,xiangmu>:x;endsetsdata:p=0.1,0.11,0.25,0.27,0.45,0.5,0.8,0.55;l=60000,30000,40000,30000,30000,20000,40000,30000;b=1,2,3,4,5;a=1,2,3,4,5,6,7,8;enddata[obj]max=sum<link<i,j>:x<i,j>*p<j>>;for<link<i,j>:x<i,1><=l<1>>;for<link<i,j>:x<i,2><=l<2>>;for<link<i,j>|i#gt#1:x<i,3>+x<i-1,3><=l<3>>;for<link<i,j>|i#gt#1:x<i,4>+x<i-1,4><=l<4>>;for<link<i,j>|i#gt#2:x<i,5>+x<i-1,5>+x<i-2,5><=l<5>>;for<link<i,j>|i#gt#2:x<i,6>+x<i-1,6>+x<i-2,6><=l<6>>;x<2,7><=l<7>;x<3,8><=l<8>;x<5,3>=0;x<5,4>=0;x<4,5>=0;x<5,5>=0;x<4,6>=0;x<5,6>=0;x<1,7>=0;x<3,7>=0;x<4,7>=0;x<5,7>=0;x<1,8>=0;x<2,8>=0;x<4,8>=0;x<5,8>=0;for<nianshu<i>:sum<xiangmu<j>:x<i,j>>=n<i>;>;!sum<link<i,j>:x<2,j>>=n<2>;!sum<link<i,j>:x<3,j>>=n<3>;!sum<link<i,j>:x<4,j>>=n<4>;!sum<link<i,j>:x<5,j>>=n<5>;for<niantouzizhongshu<i>:n<i><=m<i>>;m<1>=210000;m<2>=m<1>-n<1>+x<1,1>*<1+p<1>>+x<1,2>*<1+p<2>>;m<3>=m<2>-n<2>+x<2,1>*<1+p<1>>+x<2,2>*<1+p<2>>+x<1,3>*<1+p<3>>+x<1,4>*<1+p<4>>;m<4>=m<3>-n<3>+x<3,1>*<1+p<1>>+x<3,2>*<1+p<2>>+x<2,3>*<1+p<3>>+x<2,4>*<1+p<4>>+x<1,5>*<1+p<5>>+x<1,6>*<1+p<6>>;m<5>=m<4>-n<4>+x<4,1>*<1+p<1>>+x<4,2>*<1+p<2>>+x<3,3>*<1+p<3>>+x<3,4>*<1+p<4>>+x<2,5>*<1+p<5>>+x<2,6>*<1+p<6>>;end附件2sets:shangxian/1..8/:l;xiangmu/1..8/:a;nianshu/1..5/:b,w,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,q3,q4,q5,q6,o5,o6,o8;niantouzishangxian/1..5/:m;niantouzizhongshu/1..5/:n;link<nianshu,xiangmu>:x,c;endsetsdata:p1=0.1474,0.1482