2021年中考数学考点一遍过-考点10 反比例函数

考点10反比例函数

«考情分析与预测

反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，预计2021年各地中考一定还会考，

反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比例函数的图象与性质和平面

几何的知识结合、反比例函数中因的几何意义等也会是小题考察的重点.

心

；J知识整合

一、反比例函数的概念

k

1.反比例函数的概念：一般地，函数y=-（&是常数，原0）叫做反比例函数.反比例函数的解析式也

x

可以写成y=的形式.自变量X的取值范围是月0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.

k

2.反比例函数y=-是常数，MHO）中x,y的取值范围

x

自变量X和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数.

二、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四

象限.由于反比例函数中自变量/0,函数）¥0,所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两

个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

（2）性质：当Q0时、函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.

当上0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随x的增大而增大.

k

表达式y=-（攵是常数，原0）

X

kk>0K0

大致图象K

十十

所在象限第一、三象限第二、四象限

增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

2.反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线尸x和尸-x,对称中心为原点.

3.注意

（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点.

（2）随着园的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数y=-中在0且）¥0.

X

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时;都是在各自象限内的增减情况.当

Q0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当心0时，y随x的增大而

减小.同样，当时，也不能笼统地说y随x的增大而增大.

三、反比例函数解析式的确定

1.待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y=士中，只有一个待定系数,

x

因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

k

（1）设反比例函数解析式为y=-（原0）；

x

（2）把已知一对x,y的值代入解析式，得到一个关于待定系数氏的方程;

（3）解这个方程求出待定系数公

（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式.

四、反比例函数中阳的几何意义

1.反比例函数图象中有关图形的面积

上）小牛）J必,y)

~X

A

O\AxOTAX

q_IA15&APP、=2IM（产、

S蚯号(“PR=

^^AOP-211

Pi关于原点对称）

2.涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解.

(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S^BC=2S^CO=W；

k

(2)如图②，已知一次函数与反比例函数y=生交于A、8两点，且一次函数与x轴交于点C,则Sao卡S

x

AAOC+SABOC=—0C-\yA\+—0C-1I=—OC,(II+1I)；

(3)如图③，己知反比例函数y=上的图象上的两点，其坐标分别为(％以)，(4，力)，C为AB延

x

长线与X轴的交点，则-SABOL|oC-|yJ-^0C-\yB\^OC-(\yA\-\yB\).

五、反比例函数与一次函数的综合

1,涉及自变量取值范围型

k

当一次函数y=K%+人与反比例函数为=」相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标

X

.针对%>为时自变量X的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的X的

范围.例如，如下图，当y>%时，X的取值范围为或/<x<0；同理，当时，X的取值范

围为0cx或无

2.求一次函数与反比例函数的交点坐标

(1)从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

①上值同号，两个函数必有两个交点；②上值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点;

(2)从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况.

六、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的

取值范围.

考向一反比例函数的定义

I.反比例函数的表达式中，等号左边是函数值》等号右边是关于自变量X的分式，分子是不为零的常数&,

分母不能是多项式，只能是X的一次单项式.

2.反比例函数的一般形式的结构特征：①七0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1.

典例引领

521a

1.（山东滨州•中考真题）下列函数：①y=2x-l；②尸---；③产r2+8x-2；©y=-7；⑤丫=一;@y=—

xx2xx

中，y是x的反比例函数的有▲（填序号）

【答案】②⑤.

【解析】反比例函数的定义.

【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x-I是一次函数，不是反比例函数；②y=-2是反

X

21

比例函数；③y=x2+8x-2是二次函数，不是反比例函数；④y=F■不是反比例函数；⑤y二一是反比例函

x2x

数；⑥产色中，a#）时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数.故答案为②⑤.

X

2.（2020•湖北宜昌•中考真题）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR（或者/="），

实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（）

【分析】在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果.

【解析】A图象反映的是/=且，但自变量R的取值为负值，故选项A错误：B、C、D选项正确，不符合

R

题意.故选：A.

【点睛】此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键.

变式拓展

1.（2020•湖南长沙•中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘

四水，杜鹃花开，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承

担了运送总量为1（）6加3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度V（单位：〃?3/天）与完成运送

任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）

6

10A1―

A.v=---B.v=106C.v=2D.v-106Z-

【答案】A

【分析】由总量=vt,求出v即可.

【解析】解（I）•；vt=106,故选：A.

t

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

考向二反比例函数的图象和性质

当Q0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x

的增大而减小.

当上0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x

的增大而增大.

双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个

分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）.

典例引领

1.（2020•山东荷泽•中考真题）从—1,2，-3,4这四个数中任取两个不同的数分别作为。，〃的值，得

到反比例函数y=@，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是.

X

2

【答案】§

【分析】从—1，2，-3,4中任取两个数值作为b的值，表示出基本犷件的总数，再表示出其积为负

值的基础事件数，按照概率公式求解即可.

【解析】从—1，2>-3，4中任取两个数值作为“，方的值，其基本事件总数有：

-12-34

/|\/l\Z|\/l\共计12种；

234-134-124-12-3

其中积为负值的共有：8种，其概率为：:故答案为：

【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查J'概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件

的基本事件数，是解题的关键.

2.（2020•山东威海•中考真题）一次函数丁=以一。与反比例函数丁=乌3H0）在同一坐标系中的图象可能

【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解.

【解析】当。>0时，—。<0,则一次函数丁="一。经过一、三、四象限，反比例函数丁=0（。70）经

X

过一、三象限，故排除A,C选项；

当a<0时•，-a>0,则一次函数>=以一。经过一、二、四象限，反比例函数y=@（a#0）经过二、四象

x

限，故排除B选项，故选：D.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决

本题的关键.

k

3.（2020•浙江金华•中考真题）已知点（-2,a）,（2,h）,（3,c）在函数y=不左>0）的图象上，则下列判断

正确的是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】c

【分析】根据反比例函数的性质得到函数y=&（左>0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随X的

X

增大而减小，则〃>c>0,a<0.

k

【解析】解：♦.4>（）,...函数y=—（左>0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随X的增大而减

X

小，

Q-2<0<2<3,.\b>c>0,a<0,：.a<c<b.故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

变式拓展

k

1.（2020•湖南衡阳•中考真题）反比例函数y=\经过点（2,1）,则下列说法簿送的是（）

A.k=2B.函数图象分布在第一、三象限

c.当x>o时，y随x的增大而增大D.当x>o时，y随x的增大而减小

【答案】c

【解析】

k

【分析】将点（2,1）代入y=一中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可.

x

k

【解析】将点（2,1）代入>=一中，解得：k=2,A.k=2,此说法正确，不符合题意；

X

B.k=2>0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；

C.1<=2>（）且*>0,函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；

D.k=2>0且x>0,函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C.

【点睛】本题考查/反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关

系是解答的关键.

2.（2020•湖北武汉•中考真题）若点A（a—l,yJ,3（。+1,%）在反比例函数y=K（k<0）的图象上，且

X

M>%，则a的取值范围是（）

A.a<-\B.-1<a<1C.a>1D.a<—1或a>l

【答案】B

k

【分析】由反比例函数y=—（&<0）,可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大,

x

由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点

A在第四象限且点B在第二象限讨论即可.

k

【解析】解：•••反比例函数y=-（左<0）,.•.图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大,

x

①若点A、点B同在第二或第四象限，•.•%>%，，a-l>a+l,此不等式无解；

«-1<0

②若点A在第二象限且点B在第四象限，•••/>%，；•<,、八，解得：一1<。<1；

o+l>0

③由yi>y2,可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能.

综上，。的取值范围是一故选：B.

【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分

情况讨论，不要遗漏.

k

3.（2020•广西中考真题）反比例函数y=—（x<0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：

x

①Q0；②当x<0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线>=-x对称；④若点（-2,3）在该

反比例函数图象上，则点（-1,6）也在该函数的图象上.其中正确结论的个数有个.

【答案】3

【分析】观察反比例函数），='（x<0）的图象可得，图象过第二象限，可得左<0,然后根据反比例函数

X

的图象和性质即可进行判断.

k

【解析】观察反比例函数>=一（x<0）的图象可知：图象过第二象限，.♦/<（）,所以①错误；

x

因为当x<0时，y随x的增大而增大，所以②正确；因为该函数图象关于直线y=-x对称，所以③正确；

因为点（-2,3）在该反比例函数图象上，所以k=-6,则点（-1,6）也在该函数的图象上，所以④正

确.所以其中正确结论的个数为3个.故答案为：3.

【分析】本题考查「反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键.

考向三反比例函数解析式的确定

1.反比例函数的解析式y=-(厚0)中，只有一个待定系数上确定了k值,也就确定了反比例函数，

X

因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对X,y的对应值或图象上一个点的坐标，代入y=K中即可.

x

2.确定点是否在反比例函数图象上的方法：(1)把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于

点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上.(2)把点的横、纵坐标相乘，

若乘积等于”,则点在图象上，若乘积不等于k,则点不在图象上.

典例引领

1.(2020•陕西中考真题)在平面直角坐标系中，点A(-2,1),B(3,2),C(-6,分别在三个不同

的象限.若反比例函数(原0)的图象经过其中两点，则根的值为.

x

【答案】-1.

【分析】根据已知条件得到点A(-2,1)在第二象限，求得点C(-6,/n)一定在第三象限，山丁反比例函数

y=—(AwO)的图象经过其中两点，于是得到反比例函数丁=一(攵00)的图象经过8(3,2),C(-6,M,于

XX

是得到结论.

【解析】解：•••点A(—2,1),8(3,2),C(-6,㈤分别在三个不同的象限，点A(-2,1)在第二象限，

.•.点C(-6,〃?)一定在第三象限，

•••B(3,2)在第一象限，反比例函数y=((攵H0)的图象经过其中两点，

X

k

■.反比例函数y=—(％H0)的图象经过5(3,2),C(-6,m),

x

;.3x2=-6m,.•.加=一1,故答案为：-1.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键.

2.(2020•山东滨州•中考真题)若正比例函数y=2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2,

则该反比例函数的解析式为.

2

【答案】y=-

x

【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式y=人中求出k

X

即可得到答案.

【解析】令y=2x中y=2,得至U2x=2,解得x=l,

:.正比例函数y=2x的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2）,

k

设反比例函数解析式为丁=一，将点（1,2）代入，得攵=1x2=2,

x

22

...反比例函数的解析式为y=—,故答案为：y=—.

xx

【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确

计算解答问题.

变式拓展

1.（2020•上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解析式是（）

2288

A.y=—B.y=---C.y=—D.y=---

xxxx

【答案】D

【分析】设解析式产&，代入点（2,-4）求出％即可.

X

【解析】设反比例函数解析式为产工,将（2,-4）代入，得：-4=8，

x2

O

解得：*=-8,所以这个反比例函数解析式为）=--.故选：D.

x

【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的

坐标即可.

k

2.（2020•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知反比例函数y=的图像经过点（—3,4）,则k的值是.

【答案】-12

【分析】直接将点（-3,4）代入反比例函数解析式中，解之即可.

【解析】依题意，将点（一3,4）代入＞=—,得：4=士,解得：％=-12,故答案为：-12.

x-3

【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答

的关键.

考向四反比例函数与平面几何综合

典例引领

1.(2020•浙江衢州•中考真题)如图，将一把矩形直尺A8CD和一块含30。角的三角板EFG摆放在平面直角

坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点尸在A/)上，三角板的直角边E尸交BC于点反比例函数

y=-(x>0)的图象恰好经过点RM.若直尺的宽CD=3,三角板的斜边前=8后，则狂.

【答案】4073

【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MMFN,进而求出AMMB,表示出点F、点M的坐标,

利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可.

设。A=x,则OB=x+3,：.F(x,86),M(x+3,56),：.86x=(x+3)乂5上,

解得，45,.•)(5,86，：《=5乂86=40上.故答案为：4073.

【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法.

2.(2020•江苏苏州•中考真题)如图，平行四边形。LBC的顶点A在X轴的正半轴上，点。(3,2)在对角线

b15

OB上,反比例函数y=、(女>0,x>0)的图像经过。、。两点.已知平行四边形。WC的面积是彳，

则点3的坐标为（）

CB

2416

【答案】B

【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标（a,-|,得到点B纵坐标，利用相似二角形性质,

用。表示求出OA,再利用平行四边形Q4BC的面积是彳构造方程求。即可;

2

【解析】解：如图，分别过点D、B作DEJ_x轴于点E,DF，x轴于点F,延长BC交y轴于点H

•••四边形OABC是平行四边形，易得CH=AF

k

•.•点£>（3,2）在对角线。8上，反比例函数y=1（左>0,x>0）的图像经过。、D两点

.♦.々=2x3=6即反比例函数解析式为y=g•••设点C坐标为［a,

236

'：DEDBF：.^ODEU^OBF=OFA_3><«_9

BFOF

9

/.OA=OF-AF=OF-HC=一一a,点B坐标为

•/平行四边形OABC的面积是一・・・—解得q=2,4=-2（舍去）

2

...点B坐标为3）故应选:B

【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解

答关键是根据题意构造方程求解.

变式拓展

1.（2020•四川乐山•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线丁=一％与双曲线>=七交于A、3两点，

x

尸是以点C（2,2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP,。为AP的中点.若线段长度的最大值为

2,则女的值为（）

【答案】A

【分析】连接BP,证得OQ是AABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4,设B

点的坐标为（x,-x）,根据点C（2,2）,可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k

的值.

【解析】解：连接BP,

k

•.•直线y=一%与双曲线y=—的图形均关于直线y=x对称，.•.OA=OB,

x

,••点Q是AP的中点，点O是AB的中点，OQ是aABP的中位线，

当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，

VPB<PC+BC,当三点共线时PB长度最大，...当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4,

PC=1,二BC=3,设B点的坐标为（x,-x）,则BC=J（2f）2+（2+x）2=3，

解得X=*，W=—#（舍去）故B点坐标为（孝，一孝，

代入y=&中可得：k=--,故答案为：A.

x2

【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的

关键.

2.（2020•重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形A8C。的对角线4C的中点与坐标原点重合，

点七是4轴上一点，连接AE.若AD平分NQAE,反比例函数〉="（2>0,l>0）的图象经过人£上的两点

x

A,F,且■二•，AABE的面积为18,则氏的值为（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【分析】先证明OB〃AE,得出S"BE=S.AE=18,设A的坐标为（a,-）,求出F点的坐标和E点的坐标,

a

1k

可得SAOAE=—X3aX—=18,求解即可.

2a

【解析】解：如图，连接BD,；四边形ABCD为矩形，O为对角线，.,.AO=OD,；.NODA=/OAD,

又：AD为NDAE的平分线，.\ZOAD=ZEAD,ZEAD=ZODA,；.OB〃AE,

k

VSAABE=18,.,.SAOAE=18,设A的坐标为（a,-）,

a

•；AF=EF,；下点的纵坐标为上，代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a,—）,

2。2a

Ik

，E点的坐标为(3a,0),SAOAE=—X3aX-=18,解得k=12,故选：B.

2a

【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出SAABE=SAOAE=18是解题关

键.

考向五反比例函数中攵的几何意义

k

三角形的面积与k的关系：（1）因为反比例函数＞=一中的上有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三

X

角形的面积时，都应加上绝对值符号.（2）若三角形的面积为人因，满足条件的三角形的三个顶点分别为

2

原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足.

典例引领

4

1.（2020•山东威海•中考真题）如图，点P（",l），点。（-2/）都在反比例函数丁=一的图象上，过点尸分别

x

向X轴、轴作垂线，垂足分别为点M,N.连接。尸，OQ,PQ.若四边形OMPN的面积记作S,,△POQ

A.S]:S2=2:3B.S,:S2=1:1C.Sj:S2=4:3D.S]:S2=5:3

【答案】C

【分析】过点P分别向X轴、y轴作垂线，垂足分别为点M,N,根据图象上点的坐标特征得到P(4,1),

Q(-2,-2),根据反比例函数系数k的几何意义求得Sl=4,然后根据S2=S/',PQK-S/\PON-S梯彬ONKQ求得S2

=3,即可求得Si：Sz=4：3.

4

【解析】解：点P(m,1),点Q(-2,n)都在反比例函数y=—的图象上，

x

；・mxl=-2n=4,/.m=4,n=-2,

VP(4,1),Q(-2,-2),丁过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M,N,ASI=4,

作QK_LPN,交PN的延长线于K,则PN=4,ON=1,PK=6,KQ=3,

••・S2=S^PQK—SZ\PON—S梯形ONKQ=5x6*3-万、4乂1一万(1+3)x2=3,/.Si：S2—4：3,故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得)、S2的

值是解题的关键.

2.(2020•山东日照•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四3CO的顶点3位于y轴的正半轴上，顶点C,

k

。位于x轴的负半轴上，双曲线y=一(AVO,x<0)与。A3CQ的边A3,AD交于点E、R点A的纵坐标

x

为10,F(-12,5),把"0。沿着3c所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG,若EG〃y轴，则

△BOC的面积是.

【分析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y=--，由平行四边形的性质可得OB=10,BE=6,

x

由勾股定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解.

【解析】解：：双曲线a〈0,x<0)经过点”-12,5),-6(),.•.双曲线解析式为尸一生.

XX

的顶点A的纵坐标为10,；.8。=10,点E的纵坐标为10,且在双曲线y=一丝上，

x

.•.点E的横坐标为-6,即BE=6.

和ASGC关于8c对称，：.BG=BO=\0,GC=OC.

•.•EG〃y轴，在Rtzs^EG中，BE=6,BG=10,；.EG=_$2=8.

延长EG交x轴于点H,

'：EG//y^,，NG”C是直角，在R/GHC中，设GC=m,

则有C4=0”-0C=8E-GC=6-“7,GH=EH-EG=1。-8=2,则有加2=22+(6-2,

101011050……50

rn=—,GC———OC,..SABOC=-x—x]0——,故答案为：—.

332333

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是

解题关键.

变式拓展

1.(2020•浙江湖州•中考真题)如图，已知在平面直角坐标系X。)，中，RtZkOAB的直角顶点B在x轴的正半

k

轴上，点A在第一象限，反比例函数y=—(x>0)的图象经过04的中点C交AB于点、D,连结8.若

x

△AC。的面积是2,则4的值是.

【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到SAOCE=SAOBD=3k,根据OA的中

点C,利用△OCEs/MDAB得到面积比为1；4,代入可得结论.

【解析】解：连接OD,过C作CE〃A8,交x轴于E,

k

•：ZABO=90°,反比例函数>=一(x>0)的图象经过0A的中点C,

x

.__1,

••S^COE=S^HOD=—k,S>ACD=S>OCD=2,

2

Si

-：CE//AB,：./\OCE^/\OAB,；.,：.4S^OCE=S^OAH,

^△OAB4

1iQQ

/.4x一欠=2+2H—k,:,k=一,故答案为：一.

2233

k

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y二一图象中任取一点，过这一个点

x

向X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标

轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是!Iki,且保持不变.也考查了相似三角形

的判定与性质.

2.(2020•内蒙古赤峰•中考真题)如图，点8在反比例函数y=9(x>0)的图象上，点C在反比例函数

X

2

丁=一一(x>0)的图象上，且8C//y轴，AC1BC,垂足为点C,交y轴于点4,则口43。的面积为

x

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】作BD1BC交y轴于D,可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD

的面枳，进而由矩形的性质可求口ABC的面枳.

【解析】作BDLBC交y轴于D,；BC//y轴，AC，8C,.♦.四边形ACBD是矩形,

ASM„）；ACBD=6+2=8,；.口48。的面积为4.故选B.

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数丁=幺（k为常数,k/0）图

X

象上任一点P,向工轴和y轴作垂线你，以点尸及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数

\k\,以点P及点p的个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于;冈•也考查了矩形的性质.

考向五反比例函数与一次函数的综合

反比例函数与一次函数综合的主要题型：

（1）利用A值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；

（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；

（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；

（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等.

解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题.

典例引领

2

1.（2020•宁夏中考真题）如图，函数y=x+l与函数%=一的图象相交于点M（l,，篦）,N（-2,〃）.若y＞当，

则x的取值范围是（）

A.x<—2或0<x<lB.x<-2或x>lC.-2<x<()或0<x<lD.-2<x<0或x>l

【答案】D

2

【分析】根据图象可知函数y=x+l与函数上=一的图象相交于点M、N,若即观察直线图象在

x

反比例函数图象之上的x的取值范围.

【解析】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的X的取值范围为一2<%<0或%>1,

故本题答案为：—2<x<0或x>l.故选：D

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集

是解答此题的关键.

4

2.(2020•西藏中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=—(x>0)的图象交于

x

点A,将直线y=x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B,交反比例函数图象于点C.若OA=2BC,

则b的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得。的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解

析式求得C的坐标，代入y=x+b即可求得b的值.

4

【解析】解：•••直线丁=》与反比例函数y=-(x>0)的图象交于点A，