2021年中考数学考点一遍过-考点05 一元二次方程

考点05—元二次方程

*考情分析与预测

本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、

一元二次方程的应用题为主,既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题,年年考查,分值为20分左右,

预计2021年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避免丢分,学生应扎实掌握.

知识整告

一、一元二次方程的概念

1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一般形式：ax*12+bx+c=0（其中上c为常数，a。。），其中力x,c分别叫做二次项、一次项和

常数项，分别称为二次项系数和一次项系数.

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意因为当。=0时，不含有二次项，即不是一元二次

方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知

数的最高次数是2.

二、一元二次方程的解法

1.直接开平方法：适合于（x土a-=伙820）或（or土力＞=（以±1）2形式的方程.

2.配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成（x±a）2=20）的形式；

（5）运用直接开平方法解方程.

3.公式法：（1）把方程化为一般形式，即以2+法+c=o；（2）确定a/,c的值；（3）求出。2一4比的

值；（4）将的值代入》=心殳仅二皿即可.

2a

4.因式分解法：基本思想是把方程化成（6+加（。％+4）=0的形式，可得侬+匕=0或％+d=0.

三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系

1.根的判别式：一元二次方程必2+历:+。=0（"/0）是否有实数根，由02_4ac的符号来确定，我们把

b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式.

2.一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）当4ac>0时，方程双2+法+。=0（。声0）有两个不相等的实数根；

（2）当。2_4QC=0时，方程o?+以+。=0（。¥0）有1个（两个相等的）实数根;

（3）当〃-4ac<0时，方程分2+以+。=0（。/0）没有实数根.

3.根与系数关系：对于一元二次方程W2+法+°=0（其中a,b,c为常数，。。0）,设其两根分别为演，

ebc

，则玉+&=，*I"2=—,

a“a

四、利用一元二次方程解决实际问题

列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程（组）解应用题步骤一样，即审、设、歹U、解、验、答六步.列

一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容.

1.增长率等量关系

（1）增长率=增长量+基础量.（2）设。为原来量，加为平均增长率，〃为增长次数，〃为增长后的量,

则”（1+根）”=匕；当加为平均下降率时，则有。（1一根）"=。.

2.利润等量关系：（1）利润=售价一成本.（2）利润率=关崇义100%.

3.面积问题

（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD长为。，宽为b,空白“回形”道路的宽为x,则阴影部分的面积

为(a—2x)(。—2x).

（2）类型2：如图2所示的矩形A8C。长为。，宽为b,阴影道路的宽为x,则空白部分的面积为

(a-x)(b-x).

（3）类型3：如图3所示的矩形AB8长为“，宽为b,阴影道路的宽为x,则4块空白部分的面积之和

可转化为(a-x)3-x).

图1

4.碰面问题（循环问题）

（1）重叠类型（双循环）：〃支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为加。

支球队要和剩下的（〃-1）支球队比赛，...1支球队需要比（〃一1）场

•.•存在"支这样的球队，.•.比赛场次为：〃（〃-1）场

A与H比赛和B与4比赛是同一场比赛，，上述求法有重叠部分.

（）

/.m=2-nn—1

（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为机。

支球队要和剩下的（〃一1）支球队比赛，...I支球队需要比（n-1）场

•.•存在〃支这样的球队，.•.比赛场次为：〃（«-1）场.

与8比赛在4的主场，B与力比赛在B的主场，不是同一场比赛，，上述求法无重叠.

m=n（n—1）

《^点考向.

考向一一元二次方程的解

紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化筒变形求解。

典例引领

1.（2020•江苏常州•中考真题）若关于尤的方程月+姓一2=0有一个根是1,则。=.

【答案】1

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=l代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.

【解析】解：把x=l代入方程必—2=（）得l+a-2=0,解得a=l.故答案是：1.

【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

变式拓展

1.（2020•甘肃金昌•中考真题）已知x=l是一元二次方程（帆—2）/+4x-加=。的一个根，则的值为

（）

A.-1或2B.-1C.2D.0

【答案】B

【分析】首先把X=1代入（机―2）Y+4x—机2=0,解方程可得mi=2,m?=-l,再结合一元二次方程定义

可得m的值

【解析】解：把x=l代入（〃[-2）%2+4x-，〃2=0得：m—2+4—m2=°>解得：mi=2,畋=-1

：（/九一2）/+4》-m2=0是•元二次方程，，m—2W0>m2>m——\<故选：B.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0.

考向二解一元二次方程

一元二次方程的常见解法及适用情形:

一般形式：ax1++c=0（。。0）

直接开平方法形如（x+根）2=〃（〃之0）的方程，可直接开方求解，则％=-〃2+6，

因式分解法可化为a（x+m）（x+〃）=0的方程，用因式分解法求解，则内=一/〃，%=一〃

配方法若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为a（x+〃）2=女，再直接开方求解

公式法利用求根公式：-4ac（/=二_4比之0）

2a

典例引领

1.（2020•辽宁营口•中考真题）一元二次方程N-5x+6=0的解为（）

A.xi=2,X2=-3B.X]=-2,X2=3C.X\=-2,X2=-3D.xi=2,及=3

【答案】D

【分析】利用因式分解法解方程.

【解析】解：(x-2)(x-3)=0,x-2=0或x-3=0,.'.xi=2,X2=3.故选：D.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这

种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

2.（2020•山东聊城•中考真题）用配方法解一元二次方程2/一3%一1=0,配方正确的是（）.

【答案】A

【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.

,31

【解析】解：2X2-3X-1=0移项得一3X=1，二次项系数化1的=X=

22

配方得⑶H+0即故选:A

22UJI4；16

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把

二次项的系数化为1：（3）等式两边同时加上一次项系数•半的平方.

【点睛】本题考查了解元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.

3.（2019•西藏中考真题）一元二次方程/—六1=（）的根是

【答案—¥，马二野.

【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程.

2

【解析】炉-尸］=o，a=l,b=—1,c=—1,A=(-1)-4X(-1)=5>0，

X一生5,所以x一T+也V一if.故答案为.r一1+石X-"后

2x12222

变式拓展

1.（2020•山东泰安•中考真题）将一元二次方程了2一8%—5=0化成（x+a）2=/?（m匕为常数）的形式，

则a,b的值分别是（）

A.-4，21B.-4.11C.4,21D.-8,69

【答案】A

【分析】根据配方法步骤解题即可.

【解析】解：5=0移项得*2—8x=5，配方得f—8x+42=5+16，

即（x-4『=21,'.a--4,h-2].故选：A

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上

一次项系数一半的平方.

x

2.（2020•四川乐山•中考真题）已知ywO,且犬一3只—4丁=0.则一的值是

y

【答案】4或-I

【分析】将已知等式两边同除以V进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得.

x3x

【解析】•・・丁工。・・・将尤2一3孙一4/=0两边同除以丁得：（一/------4=0

x

令t=一则产—3/-4=0因式分解得：（，-4）（，+1）=0解得/=4或，=一1

y

x

即一的值是4或一1故答案为：4或—1.

y

【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键.

3.（2020•湖南张家界•中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程1-61+8=0的两根，则

该等腰三角形的底边长为（）

A.2B.4C.8D.2或4

【答案】A

【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得

出答案.

【解析】解：X?—6x+8=0（x—4）（x—2）=0解得：x=4或x=2,

当等腰三角形的三边为2,2,4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2,4,4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，

所以三角形的底边长为2,故选：A.

【点睛】本题考查J'等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判

断三角形三边存在的条件是解此题的关键.

考向三一元二次方程根的判别式

对于方程如2+陵+。=0370）,A=b2-4ac，①若/>0,方程有两个不相等的实数根；②若4=0,

方程有两个相等的实数根；③若/<0,方程没有实数根.

典例引领

1.（2020•山东滨州•中考真题）对于任意实数k,关于*的方程,/—（%+5）%+女2+2左+25=0的根的情

2

况为（）

A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判定

【答案】B

【分析】先根据根的判别式求出的值，再根据根的判别式的内容判断即可.

【解析】解：-x2~（k+5）x+k2+2k+25=0,

2

△=[-（A+5）]2-4xgx（公+24+25）=—/+64-25=—（左一3>—16,

不论k为何值，一（攵一3尸”0,即△=—（%—3）2—16<0,所以方程没有实数根，故选：B.

【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax?-bx+c=0

（a、b、c为常数，a/0）,当△=b：!-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方程有两个

相等的实数根，当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根.

2.（2020•黑龙江鸡西♦中考真题）已知关于X的一元二次方程/_（24+1）1+42+2人=0有两个实数根为，X,,

则实数攵的取值范围是（）

A.k<—B.k<—C.左>4D.k<—且ZHO

444

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可.

2

【解析】解：；关于X的一元二次方程x2_（2k+l）x+A2+2k=o有两个实数根匹，X2,Q=b-4ac>Q,

'：a-\,b--{2k+\},c-kz+2k,,-.[-（2A:+1）]2-4xlx（A:2+2^）>0,

故选B.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键.

3.（2020•湖南怀化•中考真题）已知一元二次方程/一履+4=0有两个相等的实数根，则A的值为（）

A.k=4B.k=-4C.k=±4D.左=±2

【答案】C

【分析】根据题意可得方程的判别式△=（）,进而可得关于k的方程，解方程即得答案.

【解析】解：由题意，得：△=(—%『-16=0,解得：左=土4.故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程

根的个数的关系是解题关键.

变式拓展

1.(2020•湖北荆州•中考真题)定义新运算。*人，对于任意实数a,b满足a*b=(a+Z?)(a-0)—l,其中

等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6,若x*k=x(k为实

数)是关于x的方程，则它的根的情况是()

A.有一个实根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根

【答案】B

【分析】将X*《按照题中的新运算方法展开，可得x*Z=(x+k)(x-z)-l,所以X*Z=X可得

(x+k)(x-z)-l=x，化简得：=△=—左27)=4左2+5,可得/>0,

即可得出答案.

【解析】解：根据新运算法则可得：x*Z=(x+Z)(x-Z)-l=x2-/一1,

则X*Z=X即为f一公_1=》，整理得：》2_%_左2_]=0,则”=11=一1,。=一公一1,

可得：A=(-l)2-4xl-(-F-l)=4)l2+5

Q^NO，二4人2+525;••.A>0,•..方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.

【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能

出错：在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.

2.(2020•安徽中考真题)下列方程中，有两个相等实数根的是()

A.f+i=2xB.x2+1=0C.x2-2x-3D.x2-2x-0

【答案】A

【分析】根据根的判别式逐一判断即可.

【解析】A./+I=2X变形为/一2兀+1=0,此时△=4-4=0,此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；

B.f+iuO中△=0一4=-4<0,此时方程无实数根，故选项B错误;

C.X2-2X=3整理为炉_2x—3=0，此时△=4+12=16>0,此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误：

D.%2—2%=0中，A=4>0,此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.故选：A.

【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键.

3.(2020•四川攀枝花•中考真题)若关于％的方程%—m=0没有实数根，则用的值可以为().

1

A.-1B.——C.0D.1

4

【答案】A

【分析】根据关于x的方程12一%—m=0没有实数根，判断出△<(),求出m的取值范围，再找出符合条

件的m的值.

【解析】解：•••关于x的方程f一万一加二。没有实数根，

...△[(-1)--4x1x()=1+4/”<0,解得：/〃<一；，故选项中只有A选项满足，故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.

考向四根与系数关系

bQ

设一元二次方程办2+Z?x+c=O(awO)的两根分别为*,%，则M+x,=-一，匹尤2=一・

aa

典例引领

1.(2020•江苏南京•中考真题)关于x的方程(x—l)(x+2)=02(2为常数)根的情况下，下列结论中正

确的是()

A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.无实数根

【答案】C

【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的

关系判断根的正负即可.

【解析】解：(x-l)(x+2)=p2,整理得：x2+x-3-p2=0.

.•.△=12—4(-3-22)=422+13>。，.♦.方程有两个不等的实数根，设方程两个根为不、马，

•.,玉+々=-1,MX?=-3-02，两个异号，而且负根的绝对值大.故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程ov2+bx+c=0(a#))的根的判别式△二炉_4,心当△>(),方程有两个不相

等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根：△＜（）,方程没有实数根.也考查r一元二次方程根与系

bc

数的关系：X,+X=-,——

2aa

2.（2019•广东广州•中考真题）关于x的一元二次方程f一伏一1»-4+2=0有两个实数根内,当，

+2）（M—为-2）+2%]%2=—3,则k的值（）

A.0或2B.-2或2C.-2D.2

【答案】D

【分析】将（%一%2+2）（玉一％2-2）+2%々=-3化简可得，+%21一4%工2一4+2%,工2=一3，

利用韦达定理，（上—1）2—4一2（—女+2）=—3,解得，k=±2,由题意可知△＞（）,

可得k=2符合题意.

【解析】解：由韦达定理，得：再+X2=k-1，xtx2=~k+2,

由（力—/+2）（王一—2）+2%/=-3,得：（%—为2）—4+2X|=—3＞

即（玉+々）2—4%/_4+2%%2=_3,所以，（后_1）2_4_2（_4+2）=_3,

化简，得：左2=4,解得：k=±2,

因为关于x的一元二次方程f—e—I）%—左+2=0有两个实数根，

所以，△=（k—Ip—4（—女+2）=r+2左一7〉0,k=-2不符合，所以，k=2故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

3.（2020•四川宜宾•中考真题）一元二次方程/+2犬一8=0的两根为0々，则强+2尤=

%々

37

【答案】—二

2

【分析】根据根与系数的关系表示出斗+々和王%即可；

【解析】x2+2x—8=0»«=1,b=2,c=—8,

/.x{+n=一—=-2,&叱二—二一8,—+2XjX2+工=X2+%]+21]尤2，

ad.-*^2

2

=&+%）、2"2+2J-2）-2x（-8）+2_37故答案为—卫

中2-8v722

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键.

变式拓展

1.（2019•四川成都•中考真题）己知王，马是关于8的一元二次方程f+2x+左一1=0的两个实数根，且

X；+x；-%工2=13,则k的值为.

【答案】-2

【分析】根据根与系数的关系即可求解.

【解析】xi.X2=k-l,x：=（X]）2-3百•莅=4-3（1（-1）=13区=-2.故答案为:-2.

VXI+X2=-2,—XXX2+X2

【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及应用.

2.（2019•广西玉林•中考真题）若一元二次方程/一%一2=0的两根为王，马,则（1+玉）+々。一%）的

值是（）

A.4B.2C.1D.-2

【答案】A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【解析】根据题意得玉=1，3=-2,

所以（1+玉）+%2（1―玉）=1+玉+X2-X,X2=1+1-（-2）=4.故选A.

【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.

3.（2020•湖北黄石•中考真题）已知：关于x的一元二次方程而％—2=0有两个实数根.

（1）求相的取值范围；（2）设方程的两根为玉、x2,且满足（百一%）2-17=0,求机的值.

【答案】（1）m20（2）9

【分析】（1）根据题意可得△＞（）,再代入相应数值解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系可得玉+Z=-赤，玉々=2,根据（%一/『=（玉+々）2—4%/=17可得关于

m的方程，整理后可即可解出m的值.

【解析】（1）根据题意得△=（4m）（-2）20,且mNO,

解得m2-8且m20.故m的取值范围是m20；

（2）方程的两根为再、W，玉+*2=-诟，玉/=-2

（%）-x2）-17=0；♦（X|—X2）~=（玉+刍）~一4玉尤2=17即m+8=17解得m=9/.m的值为9.

【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式

△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根：（2）△=（）0方程有两个相等的实数根；（3）△<0o

方程没有实数根.以及根与系数的关系：X”X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的两根时，xi+x2

bc

=—,xrx2=—.

aa

考向五一元二次方程在实际问题中的应用

列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程.其中分析实际问题是

解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题.

典例引领

1.（2020•湖北鄂州•中考真题）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户

2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为％,则尤值

为（）

A.20%B.30%C.40%D.50%

【答案】c

【分析】先用含X的代数式表示出2020年底、2021年底5G用户的数量，然后根据2019年底到2021年底

这三年的5G用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案.

【解析】解：设全市5G用户数年平均增长率为X，根据题意，得：2+2（l+x）+2（l+x1=8.72,

解这个方程，得：%,=0.4=40%,X2=-3.4（不合题意，舍去）..•/的值为40%.故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是

解题的关键.

2.（2020•贵州黔南•中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，

充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每

两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次

电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题.用点4、4、4…分表示

第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图

模型表示:

（1）填写上图中第四个图中y的值为,第五个图中y的值为

（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为,当x=48时，对应的V=

（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生?

【答案】（1）10,15；（2）y二2二D，1128；(3)20

【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；

（2）根据y值随x值的变化，可找出,再代入x=48可求出当x=48时对应的y值；

（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程,

解之取其正值即可得出结论.

【解析】解：（1）观察图形，可知：第四个图中），的值为10,第五个图中y的值为15.故答案为：10；15.

⑵2一3x2,6=等,10=5x46x5x(x-l)

,••y=

2222

当x=48时，y=48x（48-l）=1128故答案为：尸（,）；]128.

（3）依题意，得：地上—1）=190,化简，得：f—x—38o=o,

2

解得：X,=20,X2=-19（不合题意，舍去）.答：该班共有20名女生.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键.

变式拓展

1.（2020•湖南衡阳•中考真题）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为

便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？

若设小道的宽为X米，则根据题意，列方程为（）

A.35X20-35x-20x+2x2=600B.35x20-35x-2x20x=600

C.（35-2x）（20-x）=600D.（35-x）（20-2x）=600

【答案】C

【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出

方程即可.

【解析】解：如图，设小道的宽为皿，则种植部分的长为（35-2x）加，宽为（20—x）加，

山题意得：（35-2x）（20-x）=600.故选C.

【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植

面积的长与宽是解决本题的关键.

2.（2020•山东滨州•中考真题〉某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，

则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.

（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多

少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元8750时，每千克水果售价为65元或75元；（3）当该优质

水果每千克售价为70元时，获得的月利润最大

【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案：（2）设每千克水果售价为x元，根据

题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为丁元，每千克水果售价为x元，根据题意列函数关系式，再根据

顶点式函数关系式的性质解答即可.

【解析】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售量为500—10x（55—50）=500—50=450千克.

（2）设每千克水果售价为x兀，由题意，%-40）［500-10（x-50）］=8750,

即一1+]400%-40000=8750,整理，得f-]40x=-4875,

配方，得（x—70）2=4900—4875,解得玉=65,々=75.

当月销售利润为兀8750时，每千克水果售价为65元或75元

（3）设月销售利润为V元，每千克水果售价为x元，由题意，得y=（x—40）［500—10（x—50）］,

即y=-10x2+1400x-40000（40<x<100）,配方，得y=-10（x-70）2+9000,

•.•一10<0，...当x=70时，y有最大值...当该优质水果每千克售价为70元时，获得的月利润最大.

【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列

方程或是函数关系式进行解答，并正确计算.

3.（2020•湖北宜昌•中考真题）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区

域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积.

材料：某地有A,B两家商贸公司（以下简称A,B公司）.去年下半年A,B公司营销区域面积分别为m

平方千米，n平方千米，其中m=3”,公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为今年上半年，

受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了九％,B公司营销区域面积比去年

3

下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为二，同时公共营销

7

区域面积与A,B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点.

问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域

面积与B公司营销区域面积的比），并解答；

（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米

产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比.

【答案】（1）见解析；（2）55:72

【分析】（1）根据题意任意写出问题解答即可.

（2）根据题意列出等式，解出增长率再代入A,B的收益中计算即可.

【解析】解（1）问题1：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比

2222

解答：3〃x—=—”—n:n--

9333

问题2：A公司营销区域面积比B公司营销区域的面积多多少？解答：3n—n=2n

问题3：求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的比

222（2、1

解答：3nx—-—n—3n+n—n=—

3

(2)法---x3〃(l+x%)=3H(1+x%)+n(l+4x%)--x3n(l+x%)3z?x—+-n|+x%

7

法二|x3n(l+x6%)+3n(l+x%)+n(l+4x%)-1x3n(l+x%)

=3mx—+3/1+/1—n+x%

9I3J

m=3n

法三：〈3

yX/n(l+X%)+(1+X%)+〃(1+4x%)-yX〃2(l+X%)=3〃x—+3〃+〃——n+x%

9I3J

100(X％)2+45犬％—13=0解得1％=20%,x%=65%(舍去)

设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a,则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5〃

今年上半年A,B公司产生的总经济收益为1.5Qx3〃x(1+20%)+x(1+4x20%)=12na

去年下半年A,B公司产生的总经济收益为1.5。x3〃+ax〃=5.5加7

去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5〃。)：(7.2M)=55:72

【点睛】本题考查一元二次方程增长率的问题,关键在于理解题意列出等式方程.

、声点冲关充

1.（2019•四川遂宁•中考真题）已知关于x的一元二次方程（a—1）/—2x+/—1=0有一个根为*=0,

则«的值为（）

A.0B.±1C.1D.-1

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义，再将x=0代入原式，即可得到答案.

【解析】解：••・关于x的一元二次方程（a—1）F—2》+/一1=0有一个根为》=0，

Aa2-1=0.a—1。0，则“的值为：a=-\.故选D.

【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.

2.（2020•上海中考真题）用换元法解方程一=2时，若设一寸可，则原方程可化为关于y的方程

x~x+1广

是（）

A./-2,y+l=0B./+2y+l=0C.y2+y+2=0D.y2+y-2=0

【答案】A

x+11

【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设「一=y，则原方程化为丫+—=2,再转化为整式方程yJ2y+l=0

xy

即可求解.

r4.11

【解析】把一丁可代入原方程得：尸一=2,转化为整式方程为歹-2>1=0.故选：A.

x-y

【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，

化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧.

3.（2020•四川雅安•中考真题）如果关于X的一元二次方程依2一3x+l=0有两个实数根，那么Z的取值范

围是（）

9999

A.k..；-B.k...且左。0C.k„一且A/0D.k„---

4444

【答案】C

【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+l=0有两个实数根，知4=（-3）2-4xkxlK）且1<和，解之可得.

【解析】解：••・关于x的一元二次方程kxJ3x+l=0有两个实数根，

9

/.△=(-3)2_4xkxlX)且k翔，解得kW—且k#),故选：C.

4

【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根与△=b2-4ac

有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=()时，方程有两个相等的两个实数

根；③当△<()时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.

4.(2020•湖北随州•中考真题)将关于x的一元二次方程/一〃x+q=0变形为炉=四一4,就可以将炉

表示为关于X的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如X3=rx2=x(px—/=…，我们将这种方法

称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：x2-x-l=O,且x>0,

则/―2/+3X的值为()

A.1—yfsB.3—>/5C.1+y/sD.3+A/5

【答案】C

【分析】先求得x2=x+l，代入x4_2d+3x即可得出答案.

【解析】=入21，]±J(_])2_4X]X(T」±5

A——

22

•*-x4-2d+3x=(x+l)--2X(X+1)+3X=X2+2X+1-2X2-2X+3X=-A：2+3X+1=-(x+l)+3x+l=2x，

:无=1土石,且x〉0,；.x=^5，二原式=2x匕*5=1+6，故选：C.

222

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次.

5.(2020•广西河池•中考真题)某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36

场，则参加此次比赛的球队数是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解.

【解析】解：设参加此次比赛的球队数为X队，根据题意得：gx(x-1)=36,

化筒，得x2-x-72=0,解得xi=9,X2=-8(舍去)，

答：参加此次比赛的球队数是9队.故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题.

6.(2020•河南中考真题)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国

快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为

x.则可列方程为()

A.5(XX)(1+2x)=7500B.5000x2(1+%)=7500

C.5O(X)(1+X)2=7500D.5000+5000(1+%)+5000(1+X)2=7500

【答案】C

【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为％,根据增长率的定义即可列出一元二次

方程.

【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,

•••2017年至2019年我国快递业务收入由5(X)0亿元增加到7500亿元

即2019年我国快递业务收入为7500亿元，.•.可列方程：5000(1+x)2=7500,故选C.

【点睛】此题主要考查•元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程.

7.(2020•山西中考真题)如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全

等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积24c、加2是的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为

_____cm.

【答案】2

【分析】根据题意设出未知数，列出三组等式解出即可.

'2(x+b)=12

【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,由题意得:{a+2x=10,

ab=24

解得a=10—2r力=6—x,代入出产24中得：(10-2.r)(6-x)=24,

整理得—llx+18=0.解得尸2或尸9(舍去).故答案为2.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数，利用代数表示列出方程.

8.（2019•山东威海•中考真题）已知“，》是方程/+工一3=0的两个实数根，则/一。+2019的值是（）

A.2023B.2021C.2020D.2019

【答案】A

【分析】根据题意可知b=3-b2,a+b=-l,ab=-3,所求式子化为a2-b+2019=aJ3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016

即可求解.

【解析】a,匕是方程f+x-3=O的两个实数根，六匕=3—〃，a+b^-1,ab=-3,

：.a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（。+人『一2"+2016=1+6+2016=2023；故选A.

【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是