2021年中考25 正方形（解析版）

专题25正方形问题

专题知识点概述

1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质：

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的统统性质；

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

（3）正方形的两条对角线相等，并且彼此垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个

全等的小等腰直角三角形；

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的间隔相等。

3.正方形的判断

判断一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。

二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。

h2

4.正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b,S=/=—

2

【例题1】（2021•台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正

方形地砖面积为a,小正方形地砖面积为b,依次毗邻四块大正方形地砖的中间得到正方形力6W.则

正方形/式》的面积为.（用含a,8的代数式示意）

【答案解析】a^b.

【试题解答】如图，毗邻〃4DN、证明S四边形顺-尸工a即可解决问题.

4

如图，毗邻外DN,

•：4KDN=/MDT=9G0,

：・/KDM=/NDT,

'：DK=DN,ZDKM=4DNT=45°,

・•・△加侬△ZM7(ASA)

•e•SADK尸S^a\7f

；・正方形4成。的面积=4x工＞8=附6.

4

【对点练习】（2021•广西贺州）如图，正方形仍切的边长为4,点£是切的中点，”•平分/物£

交6c于点£将△血应绕点力顺时针旋转90°得△/%,则。,的长为.

【答案解析】6-275.

【试题解答】作用小加于M,FNLAG于N,如图，易得四边形C为力为矩形，则冏片4,

•正方形46缪的边长为4,点E是徵的中点,

：.DE=2,

4E=yj42+22=>

应绕点/顺时针旋转90°得AA3G,

：.AG=AE=2yfs>BG=DE=2,Z3=Z4,NGAE=90：NABG=ND=90°,

而//8C=90°,

二点G在。的耽误线上，

•：AF平分NB4E交BC于点F,

.\Z1=Z2,

/.Z2+Z4=Z1+Z3,即用平分/的〃

:.FN=FM=4,

•.我仍〃=工向怏的

22

:.GF=9'2运=2娓,

4

:.CF=CG-GF^4+2-2遥=6-2遍.

故答案为6-2泥.

AD

【例题2】（2021•青岛）如图，在正方形/纪9中，对角线4c与劭交于点、0,点右在切的耽误线

上，毗邻如；点尸是熊的中点，毗邻在1交助于点G.若班'=2,必=3,则点/到毋■的间隔

为________

【答案解析】于.

【试题解答】根据正方形的性质得至lJ/4如，/4%=90°,求得NADE=90：根据直角三角形的

性质得到加="="三却5；根据三角形中位线定理得到式G=，《=l,求得4?=切=4,过/作4〃

LDF于■H,根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

•.•在正方形ABCD中,对角线4C与他交于点0,

：./\O=DO,N4OC=90°,

...N49£=90°,

:点尸是四的中点,

:.DF=AF=EF=痴

3垂直平分AD,

：.AG=DG,：.FG=\DE=\,

,：0F=2,：.0G=2,

■:AgCO,二32%=4,34,

过/作于以：.NH=NADE=90：

■:AF=DF,:.NADF=NDAE,：./XADH^/\AED,

.AH_AD

**DE~~AE9

：.AE=y/AD2+DE2=V42+22=2遥，

.AH4.AU_4VS

♦不=京，-AH=—'

即点4到8的间隔为?

【对点练习】（2021内蒙古包头）如图，在正方形四切中，AB=1,点£尸分别在边比1和切上，

AE=AF,NA伊=60°,则b的长是（）

A.立口B.返C.V3-1D.2

423

【答案解析】C

【试题解答】•.•四边形4及力是正方形，

：.ZB=ZD=ZBAD=90a,AB=BC=CD=AD=\,

在队/\4a'和RtZWF中，1A^AF,

1AB=AD

RtZ\46%RlZ\W(HD,

:./BAE=/DAF,

必尸=60°,

:.NBAE+NDAF=30°,

，N%F=15°,

在ADk取一点G,使N0%=/%产=15°,如图所示:

:.AG=FG、4DGF=30°,

DF=LFG=^AG,DG=屈DF,

22

设DF=x,则%AG=FG=2X,

■:AG+DG=AD,

•\2x^y/^x—1,

解得：x=2-丑，

:，DF=2-g

：.CF=CD-DF=\-(2-V3)=V3-1：

故选：C.

【例题3】(2021•湘西州)如图，在正方形切的外侧，作等边三角形/眼毗邻能CE.

(1)求证：△为匡△微?；

(2)求//旗的度数.

BA

【答案解析】见解析。

【试题解答】操纵等边三角形的性质得到//?=四=〃/EAg/EDA=6G°,操纵正方形的性质得

至T"B=A/)=a),/BAD=/CDAS,所以N必作=/"。=150°,然后根据“%S”判断△胡匡△

CDE：

先证明力夕=力£然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算N4座的度数.

(1)证明：:△力施为等边三角形，

:・/AD=AE=DE,4EAD=/EDA=6G,

・・,四边形力比》为正方形，

：.AB=AD=CDyZBAD=ZCDA=90°,

：.ZEAB=ZE/)C=150°,

在彷和中

tAB=DC

ZEAB=/EDC,

AE=DE

:・/\BA跆ACDE(SAS

(2)•:AB=A0AD=AEt

:,AB=AE,

：.AABE=4AEB,

・・・N£4〃=150°,

：.ZABE=-(180°-150°)=15°.

2

【对点练习】(2021湖南株洲)如图所示，已知正方形废汽G的极点。为正方形/腼对角线/C、BD的

交点，毗邻CE、DG.

(1)求证：XD(3l\CO&

(2)若DG1BD,正方形48缪的边长为2,线段”与线段必订交于点M,求正方形阳％

2

的边长.

【答案解析】(1)见解析；(2)2遥.

【试题解答】解:

(1)•:正方形ABCD与正方形OEFG,对角线〃、、BD

：.DO=OC

「DB1AC,：.4D0A=4DOC=90°

*/NG偌=90°,，/GON/DOE=/DOE+/COE=9V

：.ZGOD=ACOE

■:GO=OE

・••在ADOG和丛COE*'

'DO=0C

,ZG0D=ZC0E

GD=OE

：./\DOG^/\COE(SA0

(2)如图，过点."作"1.DO交〃。于点H

13

U：AM=一，%=2,I.

22

N1期=45°

ZW=sin45°•DM=^^,Z)Z7=cos45°•%=&

：.HO=DO-DH=&-372V2

在Rt△物宛中，由勾股定理得

=返

;W9=VMH2+HOV

■:DGLBD,MHLDO,J.MH//DG

二易证△"叱△则'

V2返

.OH=MO=T=-F得G0=2娓

"ODGO~^2布

则正方形两的边长为2娓.

一、挑选题

1.（2021•河南）如图，在△48。中，N〃》=90°,边比1在x轴上，极点48的坐标分别为

（-2,6）和（7,0）.将正方形仍定沿x轴向右平移，当点£落在边上时，点〃的坐标为

（）

D

A.(|,2)B.(2,2)C.(-,2)D.(4,2)

4

【答案解析】B

【试题解答】根据已知前提得到4C=6,0C=2,0B=l,求得BC=9,根据正方形的性质得到DE=

0C=0E=2,求得O'E'=0'C=2,根据相似三角形的性质得到60=3,于是得到结论.

如图，设正方形〃‘C0'E'是正方形优选'沿x轴向右平移后的正方形,

:极点48的坐标分别为（-2,6）和（7,0）,

：.AC=6,0C=2,0B=l,

：.BC=9,

:四边形面比'是正方形，

:.DE=0C=0E=2,

：.O'E'=ffC=2,

'：E'O'IBC,

/.ABO'E'=NBC4=9Q°,

：.E'O'//AC,

E's丛BCA,

.E，O，_BO^_

AC-BC

.2_BO

""6~9

:.BO'=3,

OC=7-2-3=2,

当点6落在4?边上时，点〃的坐标为（2,2）

2.（2021•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，盛行于天下各地.由边长为2的正方形可以制

作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或

矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别为（）

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

【答案解析】D

【试题解答】根据要求拼平行四边形矩形即可.

中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2,如图所示:

用中国的七巧板拼日本七巧板的拼法

故选：D.

3.（2021•温州）如图，在RtZ\46，中，NAC8=90°,以其三边为边向外作正方形,过点，作CRL

FG于点、R,再过点C作网，薪分别交边阳掰于点AQ.若QH=2PE,0g15,则以的长为

)

DH

A.14B.15C.8V3D.6^5

【答案解析】A

【考点解析】如图，毗邻尾.设相交于/证明△的-△从图推出3案=：,由国

CQCHHQZ

=15,可得PC=5,绮=10,由必C7/=l:2,推出他8c=1:2,设/C=a,BC=2a,证明四

边形四耍是平行四边形，推出/IQCglO,根据*+弘=4以构建方程求出a即可解决问题.

【试题解答】如图，毗令B&；CH.设AB交CR于J.

•.•四边形4切区四边形式、/〃都是正方形,

:.NACE=/BCH=45：

VZJ6»=90°,/%7=90°,

・・・/ACE+/ACB+/BCH=1,/ACB+/BCIS

:・B,C〃共线，4C,/共线，E、a〃共线,

*：DE//AI//BHy

：.ACEP=ZCHQy

9

：ZECP=ZQC//f

:■△ECP^XHCQ、

.PC_CE_EP_1

*°CQ-CH-HQ-2,

*：PQ=\3,

:・PC=5,8=10,

■:EC:CH=\:2,

：.AC\BC=1:2,设47=a,BC=2a,

■:PQ1CR、CRLAB、

:・CQ〃AB,

AC//BQ.CQ〃AB、

...四边形/6宓是平行四边形,

..”8=浙10,

6d=初，

/.5a2=100,

:.a=24（负根己经舍弃）

."「=26BC=m,

,：^AC'BC=^AB'CJ,

=4,

.\CJ=---10---

•:JR=AF=AB=0

:・CR=CJ+JR=]A

4.（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，点尸在第一象限，。尸与x轴、y轴都相切，且经

由矩形/阪■的极点C与比订交于点〃.若。P的半径为5,点力的坐标是（0,8）.则点〃的

坐标是（）

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【答案解析】A

【考点解析】设。。与x、y轴相切的切点分别为尸、E点、,毗邻阳、PF、PD,耽误外与喜交于点

G,证明四边形仍如为正方形，求得(力,再根据垂径定理求得必进而得用、DB,便可得〃点

坐标.

【试题解答】设。。与x、y轴相切的切点分别为尸、£点，毗邻阳、PF、PD,耽误用与切交于点

G,

则血y轴，卯_Lx轴，

VZ^=90°,四边形/W是矩形，

,:PE=PF,PE//OF,.•.四边形班,0尸为正方形，

：.OE=PF=PE=OF=5,

,：A(0,8),.',04=8,.*"£■=8-5=3,

.四边形如％为矩形，：.BC=OA=8,BC//OA,AC//OB,

：.EG//AC,

，四边形力£*为平行四边形，四边形。£6»为平行四边形，

：.CG=AE=3,EG=OB,

'：PEVAO,AO//CB,:.PG工CD,，32CG=6,:.D4BC-CAB-6=2,

:⑶=5,DG=CG=3,

:.PG=4,...如=氏;=5+4=9,：.D(9,2)

5.(2021•天津)如图，四边形的力是正方形，0,。两点的坐标分别为(0,0),(0,6)

点。在第一象限，则点，的坐标是()

JA

D------------------iC

~OBx

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

【答案解析】D

【试题解答】操纵正方形的性质求出OB,BC,徵即可.

•.•四边形。%是正方形,

：.OB=BC=CDD,/CDg/CBg9Q°，

•：0,。两点的坐标分别为（0,0）,（0,6）,

：.OD=6,

：.OB=BC=CD=&,

：.C（6,6）.

二、填空题

6.（2021•连云港）如图，将5个大小一样的正方形置于平面直角坐标系中，若极点KN的坐标分

别为（3,9）、（12,9）,则极点/的坐标为.

%

~Ox

【答案解析】（15,3）

【试题解答】由图形可得物V〃x轴，物¥=9,硼/y轴，可求正方形的边长，即可求解.如图,

%

~0X

•.•极点材、1的坐标分别为(3,9)、(12,9),

•轴，MN=9,加〃y轴，

.•.正方形的边长为3,

:.BN=6,

二点8(12,3),

.•"8〃x轴，

...点4(15,3)

7.(2021•绍兴)如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块如许的直角三角形纸片，把

它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在联合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积

为

图1图2

【答案解析】4病.

【试题解答】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到

直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然

后世入数据计算即可.由题意可得，

直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,

故直角上角形的另一条直角边长为：V32-22=V5,

故阴影部分的面积是：X4=4V5

8.（2021•天水）如图，将正方形庞五G放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点£的坐标为（2,

3）,则点尸的坐标为.

【答案解析】（-1,5）

【试题解答】联合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中间对称的性质求得点尸

的坐标.

如图，过点后作x轴的垂线以垂足为〃过点C作x轴的垂线G弘垂足为M毗邻必'、尸。交于

点0'.

•..四边形第&是正方形，

：.0G=E0,ZGOQZOEH,ZOGQZE0H,

在△061/与△砌中，

(Z0GM=NE0H

loG=E0

(NG0M=ZOEH

.△①侬△以第(ASA)

：.GM=0H=2,0M=EH=*

，G(-3,2).

AO'-).

2’2

•.•点b与点。关于点。对称，

二点尸的坐标为(-1,5)

9.（2021•德州）如图，在矩形四切中，AB=V3+2,448.把四沿四折叠，使点。恰好落在

四边上的D'处，再将绕点后顺时针旋转a,得到,使得£4'恰好经由刎的中

点五.A'D"交四于点6；毗邻加'.有如下结论：①4尸的长度是V6-2；②弧〃力的长度是等

n；③△/AF^/XA'EG；④△44'F^^EGF.上述结论中，所有对的序号是

【答案解析】①②④.

【试题解答】♦.•把4〃沿4f折叠，使点。恰好落在46边上的D'处,

.♦.NO=N4〃£=90°=NDAD,AD=AB,

二四边形/丽是矩形，

又,：AgAD=声,

/.四边形ADEO是正方形,

:.AgAD=DE=DE=遮,AE=®AD=显,NEAD=NAED=45°,

:.DB=AB-AD=2,

•.•点产是BD中点，

:.DF=\,

：.EF=J。'E2+。'F2=V3TT=2,

•.•将△/口'绕点£顺时针旋转a,

:.AE=#E=®ZDED'=0,N£4'。'=/£4〃=45°,

.F'金迷-2,故①正确；

；tan/曲===4=勺，

D'EV33

"FED=30°

:.a=30°+45°=75°,

：MDD"的长度=75；媪？6=野”,故②正确;

"：E,AAEA=75°,

=N£4，/=52.5°,

...N/lZ/f5°,

'：ZAA'G,NA#EWNEA'G,//四'=120°WN£4'G,

••.△留‘?与△/◎不全等，故③错误；

'：UE=D'E,EG=EG,

；.Rt△M隹RtZ\£Z/，G（4）,

:.乙UGE=/D，GE,

'：4AGO'=Z/伤N/4'G=105°,

:.NDGE=52.5°=ZJ/F,

又TN/必'=ZEFG,

：.sXEFG,故④正确，

故答案为：①②④.

10.（2021•攀枝花）如图，在边长为4的正方形4腼中，点、E、尸分别为必⑦的中点，DE、

/尸交于点GI/7的中点为〃毗邻86、以/.给出下列结论：

①/尸JL4反®DG=1；③HDHBG；④△46E△版.

其中对的结论有.（请填上所有正确结论的序号）

【试题解答】故答案为：①④.

【考点解析】证明再操纵全等三角形的性质联合余角的性质得到N%7，=90°,可判

断①，再操纵三角形等积法7三可算出〃G,可判断②；再证明N/〃>=N/力=/劭6求出/C,

DH,HF,可判断△466—△〃》；可判断④；通过力吃的得到/月用和/力阳不相等，则N/1的N

DHF,可判断③.

【试题解答】•••四边形4?5为正方形,

：.4ADC=NBCD=90：AD=CD,

二£和尸分别为此和切中点,

:.DF=EC=2,

:.XADP&XDCE（必S

ZAFD=ADEC,ZFAD=AEDC,

•：2EDC+乙DEC=90°、

:./EDC+/AFg9Q：

.♦./戊卞=90°,即如然故①正确;

•.34,%g

/.AF=A/42+22=2A/5,

二DG=ADXDF+AF=故②错误；

,:H为"'中点，

：.HD=HF=^AF=V5,

4HDF=4HFD,

'：AB//DC,

：.AI1DF=AIIFD=ABAG,

'：AG=>JAD2-DG2=手，4B=4,

.AB_AB_4V5_AG

.•DH-HF-5-O尸

XABgXDHF,故④正确；

/.ZABG=ADHF,而AB^AG,

贝IJN45G和N力切不相等,

故NAG阱ZDHF,

故如与比不平行，故③错误。

11.（2021•咸宁）如图，四边形4?必是边长为2的正方形，点£是边a'上一动点（不与点氏C

重合），4AEF=9Q：且〃交正方形外角的平分线"1于点人交⑦于点G毗邻”；有下列结

论：

Q）4ABEs/\ECG；

②AE=EF；

③NDAF=NCFE；

④△面的面积的最大值为1.

其中正确结论的序号是.（把正确结论的序号都填上）

【试题解答】①②③.

【考点解析】①由盼/。％=/月陟/刈E得NBAE=NCEG,再联合两直角相等得MABEsgCG；

②在册上截取加=阳易得△跖犷为等腰直角三角形，则监'=45°,所以//磔=135°,再

操纵等角的余角相等得到NBAE=NFEC,于是根据“4弘”可判断△41侬△的；则根据全等三角形

的性质可对②进行判断；

③由N物@■/的尸=45°,N或2必‘=45°,可得出/的尸与NG叨的大小关系，便可对③判断；

④设比'=x,则8J/=x,AA=AB-BM=4-x,操纵三角形面积公式得到&耀=3x・（2-x）,则根据

二次函数的性质可得见小的最大值，便可对④进行判断.

【试题解答】①♦..四边形力及口是正方形，

:.NB=NECG=90°,

胶=90°,

4AEB+/CEG=AAEB^ABAE,

:.NBAE=/CEG,

:*△ABES[\ECG,

故①正确；

②在BA上截取网=应；如图1,

B

图1

・・•四边形力时为正方形,

/.Z5=90°,BA=BC,

：・/\BEM为等腰直角三角形,

:・/BME=45°,

・・・N4/=135°,

*：BA-BM=BOBE、

：.AM=CEy

♦：CF为正方形外角平分线，

：.ZDCF=45°,

・・・N£gl350,

VZJ£F=90°,

:./AE//FEC=9G0、

而/力陟N物£=90°,

：.ZBAE=ZFECt

在△4阳和△形尸中

(ZMAE=NCEF

\AM=EC,

\ZAME=ZECV

:.△AME^XECF,

:・AE=EF,

故②正确；

③YAE=EF,ZAEF=90°,

：.ZEAF=45°,

：.ZBAE^ZDAF=45°,

♦：/BAE+/CFE=/CEF+4CFE=A50,

：.2DAF=2CFE、

故③正确；

④设应'=x,则的/=x,AM=AB-BM=4-x,

5k4=5kwtt=?x・(2-x)=-j(^r-1)2+1，

当x=l时，&妤有最大值

故④错误.

12.（2021•河南）如图，在边长为2声的正方形施切中，点£尸分别为边仍留的中点，毗

邻尾FD,点G,〃分别为比；外的中点，毗邻州则。/的长度为.

【试题解答】1.

【考点解析】设诙思交于。根据正方形的性质得到NQ/W尸=90°,BC=CD=AB,根据线段

中点的定义得到放=优根据全等三角形的性质得到龙=诙NBCE=NCDF,求得陇1四根

据勾股定理得到g分三J（2后］（疯尸=VTU,点、G,H分型为EC,9的中点，根据射影定理

即可得到结论.

【试题解答】设班应交于“，

•.•四边形4腼是正方形，

/.NB=NDCF=90°,BC=CD=AB,

，:点、E,尸分别为边四，利的中点，

：.BE=CF,

:.△CBE^XDCF〈SAS）,

：.CE=DF,4BCE=4CDF,

Y/CDF+/CFDS,

:・/BCE+/CFD=9。。,

.*.Z6ZF=90°,

:・DF1CE,

:・CE=DF=(2V2)2+(V2)2=V10,

・・,点G〃分别为EC,物的中点,

"G=FH=号,

VZZ?6F=90°,C01DR

:.C户=OF*DF,

:,昨噜如夺

*：Od=OF・OD,

三、解答题

13.（2021•遵义）如图，在边长为4的正方形/版中，点后为对角线/C上一动点（点£与点/、

C不重合），毗邻庞；作旗_L如交射线胡于点K过点£■作物V〃宛分别交或、AB于点M、N,作

射线如交射线CA于点G.

（1）求证：EF=DE；

（2）当小=2时，求面■的长.

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）要证明密瓦；只要证明△〃侬△以户即可，然后根据问题中的前提和正方形的

性质，可以得到△血侬的前提，从而可以证明结论成立;

(2)根据勾股定理和三角形相似，可以得到4G和4、龙的长，然后即可得到制的长.

【解答】（1）证明：:四边形力为切是正方形，力。是对角线,

：.Z.ECM=^,

•:MN〃BC,ZBCM=9G°,

：.Z^aZBaf=180°,/施盼/B=180°,

.\Z/W=90°,Z；W=90°,

:"MEC=ZMCE=45°,4DME=4ENF=9N,

：.MC=MEy

'：CD=帆

:・DM=EN,

■:DE工EF,NED班4DEMS

・・・/颂=90°,

:./DE岭/FEN=9G,

：.AEDM=/FEN,

在△〃监'和△以夕中

(ZEDM=NFEN

<DM=EN,

1/DME=NENF

:■△DME^XENFCASA),

:.EF=DE',

(2)如图1所示，由(1)知，ADME^丛ENF,

:.ME=NF,

・・,四边形版W%是矩形，

:・MC=BN,

又,：ME=MC,AB=4tAF=2t

：.BN=MC=NF=\,

•：NEMC=90°,

JCE=V2,

9：AF//CD,

:.△DGCSXFGA、

•,•—CD=—CG,

AFAG

.4_CG

，G-茄，

'：AB=BC=4,Z5=90°,

:・AC=4&,

%

：AC=AG^GCi

：.AG=^,CG=逗,

3'3'

：.GE=GC-CE=--y[2=~

33

如图2所示，

同理可得，FN=BN,

°：AF=2,AB=4t

：.AN=lf

•：AB=BC=4,N5=90°,

：.AC=4y/2y

■:AF//CD,

:ZAFSXGCD、

.AF_GA

••布-GCf

口ri2AG

即-------F>

44G+4V2

解得，AG=4四,

AN^NE=1,N£M=90°,

•*.AE=y/2,

:.GE=GA+AE=5位.

14.(2021湖南湘西州)如凰在正方形4?切中，点£尸分别在边切，成上，且"'

—CE.

(1)求证：△ABF^XCBE：

(2)若48=4,AF=1,求四边形刎;"的面积.

【答案解析】（1）见解析；（2）12.

【解答】（1）在防和△Q坦中

'AB=BC

<ZA=ZC=90°.

AF=CE

:.△ABF^MBE（SAS）；

（2）由已知可得正方形月四面积为16,

尸面积=△&%'面积=1X4X1=2.

2

所以四边形应M的面积为16-2X2=12.

15.（2021湖北仙桃模拟）如图，E,尸分别为正方形/腼的边绍加耽误线上的点,且BE=

CF,过点£作尾〃明交正方形外角的平分线CG于点G,毗邻距求证：

（1）AE1BF；

（2）四边形BEGF是平行四边形.

【答案解析】见解析。

【试题解答】由5力S证明△力应力△60得HJ>AE^BF,4BAE=NCBF,由平行线的性质得出/侬'=/

CEG,证出力£_L园即可得出结论；耽误18至点匕使B—BE,毗邻外则4Q绍NEBP=

90°,证明这△£■口；得出/£=仇;，证出仇;=能即可得出结论.

证明：（1）•••四边形/即是正方形，

:"B=BC,/ABC=ZBCQ900,

:.NABE=NBCF=9Q：

rAB=BC

在△/应'和△比/中，，ZABE=ZBCF.

BE=CF

:.XAB昭XBCFQSA$),

:.AE=BF,NBAE=/CBF,

'：EG//BF,ZCBF=ZCEG,

■:/BAE+/BEA=90°,:.ZCEG^NBEA=9。：

：.AEVEG,：.AEVBF-,

(2)耽误4