专题07解三角形(解析版)

专题07解三角形目录一常规题型方法1题型一正余弦定理的选择1题型二边角互化的应用5题型三三角形面积公式及其应用10题型四判断三角形解的个数13题型五解三角形的实际应用15题型六解三角形的综合应用18二针对性巩固练习28练习一正余弦定理的选择28练习二边角互化的应用30练习三三角形面积公式及其应用32练习四判断三角形解的个数34练习五解三角形的实际应用35练习六解三角形的综合应用36常规题型方法题型一正余弦定理的选择【典例分析】典例1-1．（青海玉树州三校（二高、三高、五高）2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理直接求解即可.【详解】解：因为，，，由正弦定理得.故选：B.典例1-2．（2019·全国·高二专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋b2－c2)tanC＝ab，则角C的大小为()A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】根据所给条件，结合余弦定理即可求得角C的大小．【详解】由可得，，由余弦定理可得，因为，所以角的大小为或故选A【点睛】本题考查了余弦定理的简单应用，属于基础题．典例1-3．（2022·陕西·渭南市三贤高二期中）的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到，即可得到答案【详解】由正弦定理可知，设，所以，所以，所以的形状是直角三角形，故选：B典例1-4．（2022·重庆市江津第高一期中）在中，，，边上的中线的长度为，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】设，在和中，由余弦定理可得，结合在中，利用余弦定理，即可求出的值，从而得出答案.【详解】设，由为边上的中线，则在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得因为，可得，即在中，由余弦定理得代入可得，解得或（舍），即故选：A【方法技巧总结】1.技巧：正余弦的选择要看条件中边多还是角多，边多用余弦定理，角多用正弦定理。正弦适用环境：两角及其一角对边，两边及其一边对角；余弦适用环境：两边夹一角，三边。2.注意：正弦定理可以有拓展公式需注意，同时也可以帮助求解外接圆半径，余弦定理需注意原公式与推式的灵活应用。【变式训练】1．（2021·福建省.永泰县第一高一阶段练习）在锐角中，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函数关系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.【详解】因为为锐角三角形,由同角三角函数关系式可得又因为,由余弦定理可得代入可得所以故选:D【点睛】本题考查了同角三角函数关系式应用,余弦定理求三角形的边,属于基础题.2．（2022·浙江·嘉兴市第五高级高一期中）已知的内角所对的边分别为满足且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.【详解】由题，,又，，，故选：A.3．（2015·湖北武汉·高一期中）已知△的三边长是三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：设三边为，三边为4．5．6考点：1．正余弦定理；2．二倍角公式4．（2015·陕西西安·高三阶段练习（理））在a2+b2=2c2中角A,B,C所对边长分别为，若，则cosC的最小值为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：利用余弦定理与基本不等式即可求得cosC的最小值．∵△ABC中，，∴由余弦定理得：（当且仅当a=b时取等号）．∴cosC的最小值为,故选C考点：余弦定理题型二边角互化的应用【典例分析】典例2-1．（2022·陕西·汉台高二阶段练习）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，，则c＝（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】A【分析】由正弦定理，结合条件，得，进一步求出，利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理，及，得，又，所以，整理得，所以，又，所以．由余弦定理，得，则．故选：A．典例2-2．（2022·全国·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形.【详解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴该三角形是直角三角形.故选：A典例2-3．（2022·陕西·永寿县高二阶段练习（文））在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则C等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理边角关系有，结合已知、余弦定理求，即可确定角的大小.【详解】由正弦定理边角关系：化为，由余弦定理得：，而，故.故选：B典例2-4．（生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试文科数学试题）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合正弦定理边化角可解得，即可求角，结合正弦定理边化角之后再消元，可得，再结合的范围即可得证【详解】由正弦定理可知，，，又在中，，即，为锐角，，，所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即，故选：A【方法技巧总结】1.方法：正弦定理边角互化，余弦定理边角互化。2.技巧：使用正弦定理边角互化的时候要注意齐次式，否则只能局部变化，口诀：“有边有角边化角，两边二次角化边”；余弦定理边化角时要注意观察是否有多个二次边长，角化边用的很少，要谨慎使用。统一为角的等式后，要注意使用“逆化”与“正拆”进行进一步化简。【变式训练】1．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理将原式边化角，再根据和角公式和辅助角公式化简即可.【详解】或（舍）故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）在中，（分别为角的对边），则一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据二倍角公式将已知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断.【详解】∵，∴，即，根据余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，为直角三角形.故选：B3．（2022·黑龙江·绥化市第二高三阶段练习）△的内角，，的对边分别为，，.若，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】利用正弦定理进行角换边，再根据余弦定理即可得出答案.【详解】，利用正弦定理可得:，又，可得，整理可得：，故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】利用正弦定理可得，根据三角形性质和边角互化得出，，解方程组可得结果.【详解】因为，所以，即；因为，由正弦定理可得①；因为，所以，所以，整理得②；由①②可得，解得或（舍）.故选：B.题型三三角形面积公式及其应用【典例分析】典例3-1．（2022·河南·高三阶段练习（理））在中，已知，AC＝4，则的面积为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式结合三角恒等变换得．【详解】依题意，∴由正弦定理得∴．故选：C．典例3-2．（2022·河南省淮阳模拟预测（理））已知中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，若点A到直线BC的距离为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件点A到直线BC的距离为，结合三角形面积公式可求，在根据正弦定理结合条件求，由内角和公式求.【详解】因为点A到直线BC的距离为，所以的面积，又，所以，故，又，所以；由及正弦定理可得，故，故．故选：A．典例3-3．（2022·江苏无锡·高三期中）在中，角的对边分别为．若，，的面积为，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用边角互化求出，三角形面积公式求出，最后根据投影向量公式计算即可.【详解】，由正弦定理得：，即，是三角形内角，则，于是，又得，，故，，∴，则在方向上的投影向量为：.故选：B【方法技巧总结】1.技巧：面积公式在选择上优先考虑角；面积公式也可以与初中的面积公式一起处理一些问题。【变式训练】1．（2022·陕西·西北工业大学附属高三阶段练习（文））的内角的对边分别为.若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．【详解】由余弦定理有，，，，，，，故选：．2．（2022·重庆巴蜀高三阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据利用三角形面积公式、倍角公式化简整理可得，再求，代入面积公式运算求解.【详解】设∵，则即，可得∵，则∴，则故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知点分别是椭圆的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1.若点在此椭圆上，，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题干中的几何条件求出与的值，然后根据余弦定理求出，最后利用面积公式进行求解即可.【详解】因为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为.所以，解得.则由余弦定理可知，代入化简可得，则.故选：B.题型四判断三角形解的个数【典例分析】典例4-1．（2022·陕西·武功县普集高级高二期中（文））在中，若，，，则此三角形解的情况为（

）A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不能确定【答案】C【分析】根据正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.【详解】由正弦定理，得，得，因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.故选：C.典例4-2．（2022·河南南阳·高三期中（理））在中，，，.若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理得到，再分和两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理，即，所以，因为只有一解，若，则，若显然满足题意，所以或，所以或，解得或；故选：D【方法技巧总结】1.方法：正弦定理、数形结合2.技巧：使用正弦定理来处理解的个数问题需注意估算三角函数值以及角的大小；数形结合需先画出一部分已知边角，然后找一端点做圆，进而判断解的个数。【变式训练】1．（2022·陕西·礼泉县第二高二阶段练习）在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据三角形的性质，以及正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，，可得，所以三角形只有一解；对于B中，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；对于C中，由正弦定理，可得，可得有两解，所以三角形有两解；对于D中，由余弦定理得，可得有唯一的解，所以三角形只有一解.故选：C.2．（2022·河南·偃师市缑第四高三阶段练习（理））在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，，即得角A的取值范围，依据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解．【详解】由正弦定理得，且，所以，即．因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．故选：B.题型五解三角形的实际应用【典例分析】典例5-1．（2021·湖北·鄂南高中高二阶段练习）笔峰塔矗立在淦河岸边，是咸宁市现存古迹之一．小张同学为测量笔峰塔的高度，如图，选取了与塔底部D在同一水平面上两点，在A点和B点处测得C点的仰角分别为和，测得米，，则笔峰塔的高度为（

）A．20米 B．25米 C．米 D．米【答案】B【分析】设，根据已知条件表示出，,然后由余弦定理列式解方程，即可求得答案.【详解】依题意，，设，在、中，，，所以，,在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以笔峰塔的高度为25米,故选:B.典例5-2．（2022·福建·宁德市高级高三期中）如图，礼堂外立面装修，设A，B两点在礼堂外立面的上下两端，测量者在A的同侧底沿边选定一点C,测出AC的距离为10m，，，就可以计算出BC两点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析：先根据三角形的内角和求出，再根据正弦定理即可求解.【详解】解：∵中，，，∴，又∵中，，∴由正弦定理可得：，则.故选：B.【方法技巧总结】1.方法：高度测量、距离测量、角度测量2.技巧：注意方位角，仰角、俯角的使用，将问题转化为多个三角形来处理，并在多个三角形内不断求解所需条件。方案设计题需掌握几种常用的设计方案。【变式训练】1．（2022·安徽·高二开学考试）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得的仰角为（单位：），点在同一水平地面上，则大跳台最高高度（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】在中，利用两角和的正弦公式和正弦定理求，在Rt中求.【详解】在中，，则，∴，由正弦定理可得，则，在Rt中，，∵，则.故选：A．2．（2022·江苏苏州·高三期中）古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为，梯脚落在巷中的点，当梯子的顶端放到右边墙上的点时，距地面的高度是，梯子的倾斜角正好是，当梯子顶端放到左边墙上的点时，距地面的高度为6尺（1米=3尺），此时梯子的倾斜角是．则小巷的宽度等于（

）A．6尺 B．尺 C．（）尺 D．尺【答案】A【分析】连接,过作于，则且.证明出≌，得到,即可求出.【详解】连接,过作于，则且.由题意可得：，所以.因为且，所以为等边三角形,即.因为，所以.而,所以.因为，所以.又,所以≌(ASA),所以,即.故选：A.题型六解三角形的综合应用【典例分析】典例6-1．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求的值；(2)若，的面积，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角恒等变形得到等式左边为，右边为，化简得到答案.（2）化简得到，得到，根据余弦定理得到，根据面积公式得到，计算得到答案.【详解】（1），，所以．（2），所以，，，所以，，所以，即．由余弦定理得，即，所以，又，所以．所以，解得，所以．典例6-2．（2022·贵州·顶效开发区顶兴高三期中（理））已知中，角所对的边分别为，且.(1)求的大小；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式化简得到，进而结合正弦定理得到，借助同角的商数关系即可求出结果.（2）结合三角形的面积公式以及余弦定理得到，结合完全平方关系即可【详解】（1）因为，所以，结合正弦定理可得，因为，所以,故，显然，则，即，因为，所以（2）因为，所以，由余弦定理得，即，即，故，由于，因此.典例6-3．（2022·山西·高三阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．(1)求角A的大小；(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.【详解】（1）若选择①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若选择②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若选择③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）设，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，将②式代入上式可得，．典例6-4．（2022·重庆高三阶段练习）在①；②；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角所对的边分别是，若.(1)求角；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）选①：先利用三角公式求出，即可求出角；选②：由正弦定理及三角变换求出，即可求出角；选③：由正、余弦定理求出，即可求出角；（2）利用△ABC的面积公式和余弦定理求出，即可得到△ABC的周长.【详解】（1）选①：由，得，即.所以或.因为，所以.选②：对于，由正弦定理得，即.因为，所以，所以.因为，所以.选③：由三角形内角和定理及诱导公式得到，所以.由正弦定理得：，即.由余弦定理得：.因为，所以.（2）因为△ABC的面积为，得：.由余弦定理得：,即，所以，所以，所以△ABC的周长为6.典例6-5．（2022·宁夏六盘山高级高三期中（理））在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)如图，若为外一点，且，，，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据条件，运用倍角公式和差公式正弦定理化简即可；(2)连接BD，先求出，再求出，运用正弦定理求出BC即可.【详解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，∴，又，∴，∴；又，∴；（2）连接BD，因为，，，所以，，所以，所以．又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以；综上，.【方法技巧总结】1.类型：角、边、面积、周长、简单图形问题2.技巧：以上问题都属于基本量求解问题，要注意正余弦的选择和应用，并结合三角恒等变换和一些方程组的技巧性求法。也需注意三线“中线”、“角分线”、“垂线”所拥有的独特方法。中线：向量法，角分线：角分线定理，等面积法“二型”，垂线：等面积法“一型”。【变式训练】1．（2022·吉林长春·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：是直角三角形；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合两角和得正弦公式即可证；（2）根据平方关系及诱导公式求出，即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，即，则，即，由，得，又，所以，所以为直角三角形；（2）解：由，可得，则，则，即，解得，因为，所以，所以．2．（2023·四川资阳·模拟预测（文））记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．知．(1)求角A的大小；(2)若点D在边BC上，AD平分，，且，求a．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）由正弦定理、辅助角公式、角的范围可得，即可进一步求解；（2）由角平分线及三角形面积公式得，则，结合模运算数量积运算可得，则，即可进一步由余弦定理解出【详解】（1）由，根据正弦定理得，由于，则，则有，即，又，则，故有，所以．（2）由题，的面积为（h为中BC边上的高），又的面积为，由AD平分，所以，则，所以，即，解得，则，又，所以，．3．（2022·山东济南·模拟预测）已知．(1)求在上的单调递增区间；(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的面积．【答案】(1)单调递增区间是，(2)【分析】(1)对作恒等变换，化为单一三角函数解析式，再根据正弦函数的性质求解即可；(2)根据的解析式以及条件求出，运用面积公式求解即可.【详解】（1），当时，单调递增，即当时，单调递增，所以在上的单调递增区间是，；（2）因为，，所以．又，所以．因为，所以．所以的面积；综上，在上的单调递增区间是，，的面积为.4．（2022·河南·新安县第一高级高三开学考试（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a＝b.(1)求sinB；(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理，化简得，结合题意可得，由余弦定理即可求得的值，再应用同角三角函数关系式，求得结果；（2）利用三角形的面积公式，可得，进而得到三角形的周长．【详解】（1）∵，则，由正弦定理可得，又∵，则，即，∴，又∵，故.（2）∵△ABC的面积为，则，∴，故△ABC的周长为.5．（2022·山东青岛·高三期中）如图，P为内的一点，，，．(1)求；(2)若，，求AC．【答案】(1)(2)2【分析】(1)根据正弦定理求，再根据向量数量积是负数，确定；(2)首先根据（1）的结果，确定的边长和角度，种，根据余弦定理求，再根据勾股定理求.【详解】（1）在中，由正弦定理知所以，即又因为，所以所以（舍）（2）在中，，，，所以又因为所以，

又因为，所以在中，由余弦定理知：所以，即解得或（舍）所以，即针对性巩固练习练习一正余弦定理的选择1．（2022·浙江杭州·高二期中）在中，已知，，，则等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理，，即，解得故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆的半径为（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由余弦定理结合题意可得，进而可得，由正弦定理即可得解.【详解】，，由可得，，，.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题.3．（2014·湖北随州·高三期中（文））若的内角所对的边满足,且,则的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】将展开，结合余弦定理，即可求得答案.【详解】因为，所以，由余弦定理知，所以,故选：C.4．（2019·黑龙江·大庆实验高一阶段练习）在中，A最大，C最小，且，，则此三角形的三边之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，化简可得，结合余弦定理，求出，即可求得三边比例关系.【详解】由题，所以，根据正弦定理由余弦定理，即整理得：，解得或（舍去，因为），所以故选：B【点睛】此题考查二倍角公式的应用，结合正余弦定理，建立等式，解方程得边的比例关系.练习二边角互化的应用5．（2022·江苏·常熟高三阶段练习）在中，，，分别为三边、、所对的角．若且满足关系式，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由，推导出，由，推导出.【详解】，，可得，又，，，∴，，∴，∴．故选：A6．（2022·湖北·沙市高二阶段练习）在中，若，则该三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不能确定【答案】A【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果.【详解】因为，所以由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以为等腰三角形，故选：A7．（2022·全国·高三专题练习）的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理化简已知条件，从而求得.【详解】依题意，，由正弦定理得，，由正弦定理得.故选：A8．（2022·四川省德阳中高一阶段练习（理））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，，b＝3c，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A的值，由已知利用角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC＝，由余弦定理，角平分线的性质可得CD＝3BD，进而解得c，b的值，进而根据余弦定理可得a的值．【详解】解：因为，所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，故，由于A∈（0，π），可得：A＝，因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝，所以由余弦定理可得，因为b＝3c，所以CD＝3BD，即，整理可得，所以由余弦定理可得．故选：B．练习三三角形面积公式及其应用9．（2022·陕西·永寿县高二阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平方关系求得，再由面积公式计算．【详解】因为，，所以，所以．故选：A．10．（2022·江苏·启东高三阶段练习）在中,,为的平分线,,则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用,得到和大小关系,即可得到结果.【详解】,且,为的平分线,,即,(*),(*)式可化为:,即.故选:C.11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，的面积为，则的值为（

）A．4 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】设，再根据椭圆定义得到焦点弦三角形三边，利用余弦定理和三角形面积公式，得到，再根据之间关系则求出值.【详解】由题意设，，，，，根据椭圆定义，即，则，，所以，，，即，解得，，，故选：C.练习四判断三角形解的个数12．（2022·陕西·武功县普集高级高二阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（

）A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定【答案】C【分析】利用正弦定理结合已知条件分析判断即可.【详解】由正弦定理，得，解得.因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解，故选：C.13．（2022·山西·太原师范学院附属高二开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】画出三角形，数形结合分析临界条件再判断即可【详解】如图，，为正三角形，则点在射线上.易得当在时，只有一解，此时；当在或右边时只有一解，此时.故或故选：D练习五解三角形的实际应用14．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（

）A．60 B． C．30 D．【答案】A【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案.【详解】由已知得，得到，，故选：A15．（2022·北京市八一高三阶段练习）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，1小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离约为（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【分析】根据题设得，且海里，应用