2021年中考数学考点一遍过-考点03 分式与二次根式

考点03分式与二次根式

•考情分析与预测

分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为18分左右。预计2021年各地中考还将继续重

视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为

避免丢分，学生应扎实掌握。

富知识整合：

一、分式

1.分式的定义

AA

（1）一般地，整式A除以整式8,可以表示成一的形式，如果除式8中含有字母，那么称一为分式.

BB

A

（2）分式G•中，A叫做分子，8叫做分母.

B

AAA

【注】①若即0,则一有意义；②若8=0,则一无意义；③若4=0且B翔，则一=0.

BBB

2,分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

AA.rAA—C

用式子表示为一=—^（CwO）或一=-^（C?0）,其中A,B,c均为整式.

BBCBB^C

3.约分及约分法则

（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式

的最低次累；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数.如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，

然后约分.

【注】约分的根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式.

4.最简分式

分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.

【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式.

5.通分及通分法则

（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一

过程称为分式的通分.

(2)通分法则

把两个或者几个分式通分：

①先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次基和所有不同因式的积)；

②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个

分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分.

【注】通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

6.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幕的积作为公

分母，这样的分母叫做最简公分母.

7.分式的运算

(1)分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减.用式子表示为：-±-=—.

bhb

②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分-式，然后再加减.

用式子表示沏拄”曾±各=竺竽.

babababa

(2)分式的乘法

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表示为：

baba

(3)分式的除法

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.

用式子表示为：_=

bdbcb-c

(4)分式的乘方

乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方.用式子表示为：(*)"=/(〃为正整数，。70).

(5)分式的混合运算

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算.

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.

二、二次根式

1.二次根式的有关概念

(1)二次根式的概念

形如&(a20)的式子叫做二次根式.其中符号“一”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数.

【注】被开方数。只能是非负数.即要使二次根式犯有意义，则吟0.

(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,

叫做最简二次根式.

(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.

2.二次根式的性质

a(a>0)

⑴必0(a加);(2)(Va)2=a(a>0)-；(3)值=|a|=<0(a=0)；

-a(a<0)

(4)\[ah>(),/?>())；(5)1^->0,Z?>0).

Nb4b

3.二次根式的运算

(1)二次根式的加减

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，

可把同类二次根式合并成一个二次根式.

(2)二次根式的乘除

乘法法则：4a-y/h=y/ab(a>0,/?>0)；除法法则:东也心。力>。>

(3)二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的.

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用.

"重点考向,

考向一分式的有关概念

A

1.分式的三要素：（1）形如一的式子；（2）AB均为整式；（3）分母8中含有字母.

B

2.分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即8/0.

（2）无意义的条件是分母为0.（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0,分母不为0.

典例引领

1.（2020•江苏南京•中考真题）若式子1-一!一在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

X-1

【答案】

【分析】由分式有意义的条件可得答案.

【解析】解：由题意得：无一100,，了。1,故答案为：xwl

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键.

2.（2020•湖南郴州•中考真题）若分式一匚的值不存在，则》=.

X+1

【答案】-I

【分析】根据分式无意义的条件列出关于X的方程，求出X的值即可.

【解析】•.•分式一匚的值不存在，；d+1=0,解得：x=-l,故答案为：-1.

X+1

【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键.

3.（2020•浙江金华•中考真题）分式土戈+言5的值是零，则x的值为（）

x-2

A.5B.2C.-2D.-5

【答案】D

【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零.

【解析】解：依题意,得x+5=0,且x-2邦，解得，x=-5,且x*2,即答案为x=-5.故选:D.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分

母不为0.这两个条件缺不可.

变式拓展

1.（2020•湖南衡阳•中考真题）要使分式L有意义，则X的取值范围是（）

x-l

A.x>lB.xHlC.x-lD.XHO

【答案】B

【分析】根据分式有意义的条件即可解答.

【解析】根据题意可知，X-1H0,即故选：B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键.

2.（2020•贵州贵阳•中考真题）当x=l时，下列分式没有意义的是（）

x+1XX—1X

A.------B.------C.--------D.------

xx-lxx+1

【答案】B

【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.

X

【解析】—-，当X=1时，分母为零，分式无意义.故选B.

X—1

【点睛】本题考查分式有意义的条件，关键在于牢记有意义条件.

3

3.（2020•江苏淮安•）方程——+1=0的解为.

X-1

【答案】x=-2

【分析】先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可.

33x-lx+2（x+2=0

【解析】解：上:+1=0--+=0-~-=0则：\,八，解得x=2

故答案为x=-2.

【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键.

考向二分式的基本性质

分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：

（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；

（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

典例引领

1.（2020•河北中考真题）若出b,则下列分式化简正确的是（）

61+2aa-2aa2a9a

A.----=-B.----=-C.—=-D,^-=-

h+2bb-2bh~hb

2

【答案】D

【分析】根据aWb,可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题.

___Q+2ay1…、口a-2a、八工…、口

【R解2析】TaWb,；・----W一,选项A错i天；-----W一,选项B错1关；

力+2hb-2b

1

2-Q

选项C错误；=£，选项D正确；故选：D.

2

bbLhb

2

【点睛】本题考查分式的性质，解答本题的关键是明确分式的性质.

变式拓展

1.（2019•江苏扬州•中考真题）分式一L可变形为（）

3-x

1111

A.----B.----C.----D.----

3+x3+xx-3%—3

【答案】D

【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.

【解析】A.」一W-L,故A选项错误；B.--=—^―,故B选项错误；

3+x3-x3+x-3-x3-x

C.%=£=-二一，故C选项错误：D.=—~—=^—,故D选项正确，故选D.

53-xx—3—（x-3）3-x

【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.

考向三分式的约分与通分

约分与通分的区别与联系：

1.约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值;

2.约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；

3.通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.

典例引领

1.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确

A.三r4约-1分的结果是一|B.分式与一!一的最简公分母是厂1

x-1xx-1x-1

C.与约分的结果是1f1

D.化简-F—的结果是1

x2-lx2-l

【答案】D

【解析】A、二斗=」一,故本选项错误；

x--lx-1

B、分式二一与」一的最简公分母是N-1,故本选项错误;

X—1X—1

2x2Y21

C、=二一，故本选项错误；D、—二1，故本选项正确，故选D.

x2xX2-1x2-l

【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.

2.（山东滨州•中考真题）下列分式中，最简分式是（）

A•句X+1c彳2―2封+y2D尤2-36

x2-1无？一孙2x+\2

【答案】A

x+11

【解析】选项A为最简分式；选项B化筒可得原式=•

(x+1)(x-1)X-1

选项c化简可得原式=_（：二y）、之二;选项D化简可得原式=二x-6

»

X（x-y）X2（x+6）2

故答案选A.

考点：最筒分式.

变式拓展

2r2

L⑵2。•内蒙古呼和浩特•中考真题）分式三与e的最简公分母是,方程

2x

-——=1的解是.

x—2x~-2x

【答案】x（x-2）x=-4

【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解.

2YQ

【解析】解：-2x=x(x-2),.•.分式一^与丫^-的最简公分母是x(x—2),

XLXX

2V-Q

方程———P—=1，去分母得：2d-8=x(x-2),去括号得：2X2-8=X2-2X,

x-2X2-2X''

移项合并得：X2+2X-8=0,变形得：(x-2)(x+4)=0,解得：x=2或-4,

.当x=2时，x(x-2)=0,当x=-4时，X(X—2)#),，x=2是增根，.•.方程的解为：x=-4.

【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法.

X+1

2.(2020•浙江湖州•中考真题)化简:

x~+2.x+1

1

【答案】

X+1

【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可.

x+lX+11

【解析】2-2故答案为：一-一.

x+2x+lU+1)X+1X+1

【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质

以及因式分解的方法.

考向四分式的运算

(1)分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.

(2)分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分

式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解(在分解因式时注意不要出现符号错误)，

然后找出其中的公因式，并把公因式约去.

(3)分式的乘方运算，先确定基的符号，遵守“正数的任何次嘉都是正数，负数的偶数次基是正数，负数

的奇数次幕是负数”的原则.

(4)分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整

式.注意运算顺序，计算准确.

典例引领

1.(2020•山西中考真题)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

。一92x+l

x2+6x+92x+6

_(x+3)(x-3)2x+l

一(X+3)22(X+3)

_x-32x+l

x+32(x+3)

_2(x-3)2x+l

2(x+3)2(x+3)

2尤—6—(2x+1)

第四步

2(x+3)

2.x—6—2.x+1

第五步

2(x+3)

5

第六步

2x+6

任务一：填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或

填为；

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一

条建议.

【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式

7

的值不变：②五；括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：-------；任务

2x+6

三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析.

【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分

母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最筒分式或整式.

【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式

的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分

式的值不变：②五；括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；

故答案为：五；括号前是''一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；

x2—92x+1_(x+3)(x—3)2x+l_x-32x+1

X2+6x+9~2x+6(x+3)22(x+3)x+32(x+3)

2(x—3)2x+12x—6—(2x+l)2x—6—2x—17

---------------------------=-------------------------=-----------------------_________

2(x+3)2(x+3)2(x+3)2(x+3)2x+6

任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质

进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等.

【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键.

2.（2020•四川遂宁•中考真题）先化简，（厂+4叶4_%_2）+日土2,然后从-2WxW2范围内选取一

X2-4x-2

个合适的整数作为x的值代入求值.

【答案】-x+3,2

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得.

【解析】解：原式4—（x+2）]xy当

（x+2）（x-2）[x+21x-2x-2Jx+2

—x~+x+6x—2（x+2）（x-3）九一2,.

=----------------x--------=------------------x-------=-（x-3x）=-x+o3

x—2x+2x—2x+2

,可取x=l,则原式=-1+3=2.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义

的条件.

变式拓展

1.（2020•江苏南京•中考真题）计算：（.-I+」一）+《！网

Q+167+1

a

【答案】

。+2

【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化筒即可.

(Q-1)(Q+1)+1Q+1a2。+1a

【解析】解：3—1+」一）十幺二名----------------------=--------------=-----

。+1。+1(2+1a2+2aa+\a(a+2)a+2

【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减,

有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

2.（2。2。・山东德州•中考真题）先化简:（三x—1-丁r-4-2卜।了二4—印x,然后选择一个合适的x值代入求值.

x—2

【答案】化简结果是：——,选择.『1时代入求值为-1.

x

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的尢的值代入进行计算即可

【解析】解：原式=（三X—1x+2].(4—x]x(x-1)(x4-2)(x—2).4—x

xJ-4X+4Jx(x-2)x(x-2)(x-2)2

—x—%?+4（x—2）~4—x（x—2）2x—2

----------------------=-----------------------

x（x-2）4-xx（x-2）4-xx

当X=1时代入，原式==二=—1.故答案为：化简结果是匚，选择时代入求值为-1.

1x

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的X

求值时要保证选取的X不能使得分母为0.

考向五二次根式的概念与性质

1.二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或

不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0.

2.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化

简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定

的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简.

典例引领

1.（2020•广东中考真题）若式子在实数范围内有意义，则》的取值范围是（）

A.2B.x>2C.x<2D.xw—2

【答案】C

【分析】根据二次根式里面被开方数4-2x20即可求解.

【解析】解：由题意知：被开方数4-2xN0,解得：%<2,故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0.

2.（四川凉山•中考真题）已知y=j2x—5+J5—2x—3,则2个的值为（）

A.-15B.15C.——D.—

22

【答案】A

-----------2x-5>0x=2.5

【解析】由y=，2x—5+45-2%一3，得｛<一八，解得｛o.2xy=2x2.5x（-3）=-15,故选A.

■5-2x>0>=一3

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，以及有理数的乘法运算，掌握

以上知识是解题的关键.

变式拓展

1.（2020•广东中考真题）若式子岳二4在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x/2B.x>2C.x<2D.xw—2

【答案】B

【分析】根据二次根式里面被开方数2X-4即可求解.

【解析】解：由题意知：被开方数2x-420,解得：%>2,故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0.

2.（2020•湖北黄石•中考真题）函数>=」一+J7=，的自变量x的取值范围是（）

x-3

A.x>2,且x/3B.x>2C.%H3D.X>2,且XH3

【答案】A

【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解.

【解析】依题意可得x-3#0,x-2K）解得x22,且XW3故选A.

【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质.

典例引领

1.（2020•山东济宁•中考真题）下列各式是最简二次根式的是（）

A.V13B.V12C.后D./

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.

【解析】解：A、厉是最简二次根式，故选项正确；B、712=2^,不是最简二次根式，故选项错误;

C、病=时，不是最简二次根式，故选项错误；D、不是最简二次根式，故选项错误;

故选A.

【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型.

变式拓展

1.(2019•山西中考真题)下列二次根式是最简二次根式的是()

【答案】D

【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.

【解析】A.=故A选项不符合题意；B.、区=口包

故B选项不符合题意;

\22V77

C.我=2&，故C选项不符合题意；D.百是最简二次根式，符合题意，故选D.

【点睛】本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.

典例引领

1.(2020•四川攀枝花•中考真题)实数。、b在数轴上的位置如图所示，化简

"(a+1)2+—Ip—的结果是().

।a]।।b

~~-2'-10123^

A.-2B.0C.一2aD.2h

【答案】A

【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出

答案.

【解析】由数轴可知l<b<2,；.a+l<0,b-l>0,a-b<(),

二y](a+l)2+y](b-l)2—yj(a-b)2=|«+1|+|Z?-1|-|a-Z?|=—(a+++=-2故选A.

【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴

上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断.

变式拓展

1.（2020•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）已知实数。在数轴上的对应点位置如图所示,则化简国-“-历不

的结果是（）

a

——I-------u----1—►

012

A.3-2。B.-1C.1D.2。一3

【答案】D

【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a-1）和（a-2）的符号，再根据非负数的性质进行化简.

【解析】解:由图知：l<a<2,...a-lX）,a-2<0,

原式=aT-|a-2|=a-l+（a-2）=2a-3.故选D.

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出aT>0,a-2<0是解题关键.

考向六二次根式的运算

1.二次根式的运算

（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并.

（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数.

（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）.

2.比较分式与二次根式的大小

（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较：

（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较.

典例引领

1.（2020•重庆中考真题）下列计算中，正确的是（）

A.y/2,+^3=B.2+>/2=2A/2C.^/2x>/3=>/6D.2g-2=6

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案.

【解析】解：4夜与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误;

B.2与0不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C.72x73=72^3=76.此选项计算正确;

D.26与-2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概

念.

2.（2019•湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：

2+73(2+我(2+6)

=7+46，除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点

2-6(2-73)(2+73)

的无理数,如：对于。3+右一』3-小，设x=J%耳*#，易知,3+逐>J3—6,故%>0,

由炉=（13+6一13—6）2=3+逐+3_石_25（3+石）（3_石）=2,解得》=夜，即

，3+君—J3—行=0.根据以上方法，化简噌-+）6-38—&+36后的结果为（）

，3+，42

A.5+3逐B.5+V6C.5-V6D.5-376

【答案】D

【分析】根据题中给的方法分别对56.3百-）6+3省和鲁噌进行化简'然后再进行合并即可•

【解析】设x=J6-3G-J6+3G,且,6-<"6+3&，，x<0，

•••x2=6-373-27(6-373)(6+3>/3)+6+3^-；♦f=12-2x3=6，:♦x=-屈，

..V3-V2

=5-276,，原式=5-2卡-n=5-3卡,故选D.

,V37V2

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的

方法是解题的关键.

变式拓展

1.（2020•内蒙古中考真题）计算：（6+血）（6-血）2=

【答案】V3-V2

【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可.

【解析】解：（百+痣）（右-拒）2=（6+0）（6-0）（6-

-V3-V2.故答案为6—0.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平

方差公式是解答本题的关键.

2.（2020•江苏泰州•中考真题）下列等式成立的是（）

A.3+4后=7五B.6x0=#）C.&+耳=2&D.^（-3）2=3

【答案】D

【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断.

【解析】解：A、3和4夜不能合并，故A错误；B、V3xV2=V6.故B错误；

C、yfi--73XA/6=A/FS=3-72,故C错误；D、J（—3）2=3,正确：故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则.

典例引领

1.（2020•山东临沂•中考真题）设〃=屿+2，则（）

A.2<a<3B.3<。<4C.4<a<5D.5<a<6

【答案】C

【分析】先估计近的范围，再得出a的范围即可.

【解析】解：：4<7V9,2<近<3，,4<近+2<5，即4<。<5,故选C.

【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.

2.（2020•安徽天长•中考模拟）比较大小：V7-V6一V6-V5

【答案】<

【分析】利用分子有理化即可比较大小.

【解析】脩布—乒正正跃一邓力^）=1

1V7+V6V7+V6

瓜_①一娓-亚人瓜-亚N&⑹-]

1767^~16^5

,:5+«>屈+#：.币'+&<#:6...J7—卡〈指一石故答案为：<.

【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键.

变式拓展

1.（2020•天津中考真题）估计J五的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【答案】B

【分析】因为4?<22<52,所以后在4到5之间，由此可得出答案.

【解析】解：:42<22<52，,4（后<5.故选：B

【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.

2.（2020•四川达州•中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（）

]0LL

A.3.14B.C.J12D.J17

【答案】C

【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解.

【解析】解：•.•四个选项中是无理数的只有和J万，而17>42,32<12<42

AV17>4,3<配<4,选项中比3大比4小的无理数只有g.故选：C.

【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环

小数为无理数.

、亨点冲关充

r4-1

1.（2019•江苏常州•中考真题）若代数式上」有意义，则实数》的取值范围是（）

x-3

A.x=—1B.x=3C.xH—1D.x丰3

【答案】D

【分析】分式有意义的条件是分母不为0.

X+]

【解析】•.•代数式--■有意义，3。（），故选D.

x-3

【点睛】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件.

2

2.（2019•山东临沂•中考真题）计算----a—1的正确结果是（）

C7-1

112a—12a—1

A.---------B.-------C.-----------D.

a-ld—1CL—1CL—1

【答案】B

【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了.

222।1

【解析】原式=」二一（。+1）="一一竺二=——.故选B.

0-1<7-10-1<7-1

【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方

差公式的运用.

Ir|-1

3.（2019•山东聊城•中考真题）如果分式^^—的值为0,那么X的值为（）

x+1

A.-1B.1C.-1或1D.1或0

【答案】B

【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.

【解析】根据题意，得冈-1=0且x+"0,解得,x=l.故选B.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0;（2）分

母不为0.这两个条件缺一不可.

4.（上海中考真题）下列式子中，属于最简二次根式的是

A.79B.不C.V20

【答案】B

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件（1）被开

方数的因数是整数，因式是整式：（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的

就是最筒二次根式，否则就不是.

【解析】=3，病=2石,=属于最简二次根式.故选B.

5.（2020•江苏南通•）下列运算，结果正确的是（）

A.V5-V3=V2B.3+上=3百C.瓜:近=3D.=

【答案】D

【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可.

【解析】A.石与也不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

B.3与0不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C.76-72=7672=73.此选项错误；

D.瓜乂0=上又氏乂叵=2下）,此选项计算正确；故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键.

6.（2019•四川绵阳•中考真题）己知x是整数，当卜一回|取最小值时，％的值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】根据绝对值的意义，找到与回最接近的整数，可得结论.

【解析】解：：岳〈而〈病，；.5〈而＜6，且与回最接近的整数是5,

...当卜一国|取最小值时，》的值是5,故选：A.

【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键.

7.（2019•江苏常州•中考真题）下列各数中与2+6的积是有理数的是（）

A.2+石B.2C.73D.2-73

【答案】D

【分析】利用平方差公式可知与2+6的积是有理数的为2-6;

【解析】•••（2+间（2一石）=4-3=1；故选：D.

【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键.

8.（2020•贵州黔南•中考真题）已知。=而-1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）

A.\<a<2B.2<a<3C.3<。<4D.4<a<5

【答案】C

【分析】先估算出J万的范围，即可得出答案.

【解析】解：〈而'<5，，3<旧一1<4，，在3和4之间，即3<a<4.故选：C.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小.能估算出J厅的范围是解题的关键.

9.（2020•辽宁朝阳•中考真题）计算灰-JTExJ；的结果是（）

A.0B.GC.3石D-I

【答案】B

【分析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可.

【解析】解：原式=26—J12x：=26-6=6.故选民

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键.

10.（湖南张家界•中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|,则化简，/-卜+目的结果

为（）

a0b

A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b

【答案】C

【解析】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可:

•.•由数轴可知，b>0>a,目.|a|>|b|,J+闿=一〃+（。+8）=".故选C.

考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴.

11.（2020•浙江中考真题）计算的结果是.

x3x

2

【答案】—

3x

【分析】先通分，再相加即可求得结果.

113122

【解析】解：-=7；-=—»故答案为：—.

x3x3x3x3x3x

【点睛】此题考察分式的加法，先通分化为同分母分式再相加即可.

/、

12.(2020•湖北黄冈•中考真题)计算：丁「+1-——的结果是___________.

X_y-Ix+y)

【答案】—

x-y

【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得.

［解析］解：｝$一］=’?T

.X-/(X+y)(x+y)(x-y)(x+yx+y)(