2021年中考11 一次函数 -2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（原卷版）(一)

专题11一次函数

【思维导图】

交1上争二个蜘过程中效总好文化的JL

，交•与裁量」常量：在一个文化过理中数位始终不变的量

如何区分变量与常量看变化过程中读量的值是否发生变化

戢乞：一般的，在一个变化过程中，如果有两个交量x和y,并且对于x的每个・定的值.y都有唯一■定的值与其对应，那么我们放JEx称为自变

量.纪y赛为因受It,y*X的由数.如果当*Y时y4,那么b叫做当自知的做为®__—_

关系式为整式时,函数自变量取值条捌为为全体实效

Out与函数〕

关系式含有分式时，分式的分母不等于零

・定函数日变量的取值范圉关系式含有二次横式时，被开方数大于等于零

美系式史盍直指覆为零的式利，底改不等王雪

由数实际同题中，函数自变量取值苞困还要和实标情况相符合.使之有意义

检鱼的坐标代入到解析式扎加第折式两边成立,K点在解折式上，反之，丕也

函数图象上点的坐标与“折式之间的关系

两个函数图像交点的坐标就是这两个解析式所姐成的方程蛆的“

优：准确反映整个变化过程中自变fit与函数的关系

解析法

求对应值时寰绘过％较复杂的计算，而且实际同■中有的函效但丕一定解用解析式表示

优:自交量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便

亘费的三胜赛易随其箕侬.刊域一

块:所列对应数值个敷有限.不寿房看出自交量与的数值的对应关系,有局限性

他形拿的把自变量和面覆值的关系表示出来

图像法

第卜九章一次函数图像中只能得到近似的数量关系.

正比例函敷定义：一般地.形如y-kx(k为常数.k/0)的函效,叫做正比例函数,k叫做比例系数

一次函数定义：如果厂kx+b(k.b是常效，kWO)的函敷，叫做一次函敷

先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做特定系数法

特定系数法设函数解析式

-5止.将已知条件带入到丽式中

待定半数法来函数解析式的一般步聚

解方程(ffl)

将求出的敷值代入到斛析式中

y随*增大而增大,。过一、三―一

旦b〉0时函数的图象经过一、",三象限

k>0

且b<0时的敷的图象经过、三、四条限

且b=0时的效的图象经过一、三象限

正比例函数图像与次函数图像特征

y»x・大Gt小，&过二、四象IB

且b>0时函数的用象经过一、二、四象限

k<0

・次函数的图像与性质|且b<0时由数的图象经过二、三、四象限

且坛毗面家的量&&过二,5象限

力&，-j,b匕八■垩万当卜小酎将y2=kx图象向上方平移b个电位，僦得到yl=kx+b的图像

线y-xy2-想像的位星美系」三凶蛇_"b时向下方干*此单也M到了Qb+b的图像

y，H(kWO)型经过点(0.0)W(1,k)的一条宜线

y=kx♦b(k*0)是经过点(0・b)和(-J,0)的一条直线

当-：VO.则hb同号一直骷城I交与负至抽一

判断交点他J!当-工=0,则b=0亶线过原点

k,b符号与直线y-kx，b(kZO)的关系(考点)\当一1>0,则Ab异号直线与X轴交与正举，一

b也相同时西一次函数图像H合

k相同，b不相同时两次由数图像平行

户不相同,

b不相网时_fg二次函数图像相交

\江不同,

b相同时两次函数图像交于y抽上的同一点(0,bl

特殊位・关系：两直线平行kl=k2且bl*b2

：与直

Sttatyi=kiX+biflta?:y?=bx-b?两直货垂直HXk2=-I

直线心电与坐握限点抻成的三角龙面积为*吟|T|他1

【常识要点】

常识点一变量与函数

变量：在一个转变过程中数值产生转变的量。

常量：在一个转变过程中数值始终不变的量。

【注重】

1、变量是可以转变的，而常量是已知数，且它是不会产生转变的。

2、区分常量和变量就是在某个转变过程中该量的值是否产生转变。

函数的定义：一样的，在一个转变过程中，参加有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的

值，y都有独一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函

数。参加当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

【函数概念的解读】

1、有两个变量。

2、一个变量的数值随另一个变量的数值转变而转变。

3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有•个值与之对应。

函数定义域：一样的，一个函数的自变量x许可取值的范畴，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方式：（自变量取值范畴）

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)现实问题中，函数定义域还要和现实情况相吻合，使之有意义。

函数值概念：参加在自变量取值范畴内给定一个值a,函数对应的值为b,那么b叫做当自变量取值

为a时的函数值。

函数解析式：用来示意函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范畴：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范畴。

画函数图像的一样步骤：1、列表2、描点3、连线

函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：

1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。

2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种示意法及其优瑕玷

1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式示意，这

种示意法叫做解析法。

优：正确反映整个转变过程中自变量与函数的关系。

缺：求对应值是要经由对照复杂的计算，并且现实问题中有的函数值不必然能用解析式示意。

3、列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来示意函数关系，这种示意法叫做列表

法。

优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。

缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。

3、图像法：用图像示意函数关系的方式叫做图像法。

优：形象的把自变量和函数值的关系示意出来。

缺：图像中只能得到近似的数量关系。

常识点二一次函数的图形与性质

正比例函数定义：一样地，形如y=kx（k为常数，kWO）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。

一次函数定义：参加y=kx+b（k,b是常数，kWO）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。

注重：当6=0时;一次函数产kx+b变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。

待定系数法：先设出函数解析式，在根据前提确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方式叫做

待定系数法。

待定系数法求函数解析式的一样步骤：

1、设函数解析式2、将已知前提带入到解析式中

2、解方程（组）4、将求出的数值代入到解析式中

正比例函数图像与一次函数图像特点

b>0b<0b=0

经由第一、二、三象限经由第一、三、四象限经由第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

经由第一、二、四象限经由第二、三、四象限经由第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

总结如下:

k>0时，y随X增大而增大，必过一、三象限。

k>0,b>0时，函数的图象经由一、二、三象限；（一次函数）

k>0,b〈0时，函数的图象经由一、三、四象限；（一次函数）

k>0,b=OH寸，函数的图象经由一、三象限。（正比例函数）

k<0时，y随x增大而减小，必过二、四象限。

k<0,b>0时，函数的图象经由一、二、四象限；（一次函数）

k<0,b〈0时，函数的图象经由二、三、四象限；（一次函数）

k<0,b=0时，函数的图象经由二、四象限。（正比例函数）

直线yi=kx+b与y2=kx图象的位置关系：

1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y尸kx+b的图象.

2、当b<0时，将y?=kx图象向x轴下方平移一b个单位,就得到了y?=kx+b的图象.

k,b符号与直线y=kx+b（kHO）的关系

正比例函数的图像：y=kx（k¥0）是经由点（0,0）和（1,k）的一条直线。

一次函数的图象：y=kx+b（kWO）是经由点（0,b）和（-/。）的一条直线。

1、当-2<0,则k,b异号，直线与X轴交与正半轴

k

2、当一2=0,则b=0,直线过原点

k

3、当一2>0,则k,b同号，直线与x轴交与负半轴

k

在两个一次函数表达式中：直线h:y产kix+bi与b:y2=kzx+b2的位置关系

k一样，b也一样时,两一次函数图像重合;

k一样，b不一样时,两一次函数图像平行;

k不一样，b不一样时,两一次函数图像订交;

k不一样，b一样时,两一次函数图像交于y轴上的同一点（0,b）。

特殊位置关系：直线li：y产kix+bi与h:y2=k2x+b2

两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。即：左=上且b/h

两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即：左・匕=7

直线h与坐标原点构成的三角形面积为s=1.|-^|.|b|

常识点三一次函数与方程（组）、不等式

一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=O

(kWO)的形式.求方程kx+b=O(kWO)的解，就是求函数y=kx+b(kWO)函数值为0时，自变

量x的值.

一次函数与二元一次方程组的关系：一样因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以

写成y=kx+b(kWO,k,b为常数)的形式。所以每个如许的方程都对应一个一次函数，即对应

一条直线。直线上每个点的坐标(x,y),都是这个二元一次方程的解。

由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次

函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解如许的方程组，相当于求自变量为何值时相

应的两个函数值相等，以及这个函数值是几。从“形”的角度看，解如许的方程组，相当于确

定两条直线的交点坐标。是以可以通过画一次函数图像的方式得到方程组的解

一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为

ax+b〉O或ax+b<0(aWO)的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0

时，自变量x的取值范畴。

【考查题型】

•I正比例函数的定义

一.1正t匕例曲数的邕像与性质

二次的散的图像

一匚一次函

•:求一次困散的解析式

专题11一次函数考查题型

•|一次函数与一■元一次方程

一「一次融数与一元一次不萼式

•!一次函数与二元一次方程(组)

--|一^一次图数解决实际问题

•福霜一次函数的定义求爹数

考查题型一正比例函数的定义

【解题思路】正比例函数的定义

典例1.（2021,天津中考模拟）已知函数丫=（m-I）x+m2-l是正比例函数，则m=.

变式1-1.（2021•吉林中考模拟）若y=（m-l）是正比例函数，则m的值为.

变式1-2.（2021•柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数y=（m-3）x+m2-9是正比例函数，则m的值

为.

考查题型二正比例函数的图像与性质

【解题思路】熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的关键.

2

典例2.（2021・陕西模拟）下列四个点，在正比例函数产gx的图象上的点是（）

A.（2,5）B.（5,2）C.（2,-5）D.（5,-2）

变式2-1.（2021・陕西模拟）若一个正比例函数的图象经由A（3,m-1）,B（4,2m-1）两点，则

m的值为（）

A.-0.5B.0.5C.2D.-2

变式2-2.（2021•西安市模拟）若正比例函数y=经由两点（1,四）和（2,当），则,和力

的大小关系为（）

A.x<y2B.必>%C.y=%D.无法确定

变式2-3.（2021・湖南株洲市一模）如图，在同一向角坐标系中，正比例函数>y^k2x,

y=y=的图象分别为hl2,/3,Z4,则下列关系中对的是（）

y

A.kx<k2<ky<k4B.k2<kt<k4<k3

C.k1<k2<k4<k3D.k2<k1<k3<k4

考查题型三根据一次函数的定义求参数

【解题思路】谙练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解答的关键.

典例3（2021•海口市模拟）一次函数y=*-l）x+3的图象经由点（-2,1）,则发的值是

（）

A.-1B.2C.1D.0

变式3-1.（2021•安徽中考真题）已知一次函数^=依+3的图象经由点A,且丁随％的增大而减小，

则点A的坐标可所以（）

A.（-1,2）B.（1,-2）C.（2,3）D.（3,4）

变式3-2.（2021•浙江杭州市•中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数了=。"。（“W0）的图象过

点尸（1,2）,则该函数的图象大概是（）

考查题型四一次函数的图像

【解题思路】解答本题的关键是明白题意，操纵一次函数的性质解答.

典例4（2021・四川广安市•中考真题）一次函数>=-》-7的图象不经由的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

变式4-1.（2021•山东济南市•中考真题）若机<-2,则一次函数y=（〃2+l）x+l的图象大概是

()

变式4-2.（2021•山东日照市•中考真题）将函数y=2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解

析式是（）

A.y=2x+3B.尸2x-3C.y—2(x+3)D.y=2(x-3)

变式4-3.（2021•辽宁沈阳市•中考真题）一次函数y=Ax+baWO）的图象经由点A（-3,0）,点

5（0,2）,那么该图象不经由的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

变式4-4.（2021•湖南益阳市•中考真题）一次函数丫=辰+〃的图象如图所示,则下列结论对的是)

A.k<QB.。=一1

c.y随x的增大而减小D.当x>2时，kx+b<0

考查题型五一次函数的性质

【解题思路】解题的关键是熟知一次函数的性质特点.

典例5（2021•湖北省直辖县级行政单位•中考真题）对于一次函数y=x+2,下列说法不对的是

（）

A.图象经由点（1,3）B.图象与x轴交于点（一2,0）

C.图象不经由第四象限D.当x>2时，y<4

变式5-1.（2021・四川凉山彝族自治州•中考真题）已知一次函数y=（2加1）户d3的图像不经由第二

象限，则3的取值范畴（）

A.m>---B.m<3C.---D.-----------------<mW3

222

变式5-2.（2021•浙江九年级二模）设k<0,关于x的一次函数y=Ax+2,当时的最大值

是（）

A.k+2B.2k+2C.2k—2D.k-2

变式5-3.（2021•河南安阳市模拟）点A（xi,yi）、B（X"y2）都在直线y=kx+2（k<0）上，且xi

<X2则yi、y2的大小关系是（）

A.yi=y2B.yi<y2C.yi>y2D.yi>y2

考查题型六求一次函数解析式

【解题思路】一次函数图像上点的坐标特点，以及操纵待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一

次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键.

典例6（2021・广西中考真题）直线尸质+2过点（-1,4）,则%的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

变式6-1.（2021•湖南邵阳市•中考真题）已知正比例函数>=日（％/0）的图象过点（2,3）,把正比例函

数>="（左¥0）的图象平移，使它过点。，一1）,则平移后的函数图象大抵是（）

变式6-2.（2021•四川乐山市•中考真题）直线），=丘+6在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等

式a+8W2的解集是（）

大

-2-1O\1x

A.xW—2B.-4C.x>-2D.

考查题型七一次函数与一元一次方程

【解题思路】考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a,b为常

数，a/O）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自

变量的值.从图象上看，相当于已知直线产ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

典例7（2021•山东济宁市•中考真题）数形联合是解决数学问题常用的思思方式.如图，直线y=x+5和

直线kax+b,订交于点P,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（）

A.x=20B.x=5C.x=25D.x=15

变式7-1.（2021•陕西渭南市模拟一次函数y=H+3（k为常数且ZHO）的图像经由点（一2,

0）,则关于x的方程左（%—5）+3=0的解为（）

A.x=—5B.x=-3C.x=3D.x=5

变式72（2021•湖北襄阳市模拟）如图,直线丁=丘+双女W0）过点A（0,5）,B（-4,0）,则关

于x的方程版+〃=0的解是（）

54

A.x=-4B.x=5C.x-——D.x=---

45

变式7-3.（2021•河北九年级其他模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数y=-2x+5的图象，与正

比例函数的图象4交于点加（加,3）,一次函数丁=履+2的图象为/3）且小12,4能围成三角

形，则在下列四个数中，%的值能取的是（）

A.-2B.1C.2D.3

考查题型八一次函数与一元一次不等式

典例8（2021・湖南湘潭市•中考真题）如图,直线了=6+双左＜0）经由点P（1,D,当米+人工x时,

则x的取值范畴为（）

C.%<1D.x>1

变式8-1.（2021•陕西模拟）如图，函数yl=-2x与y2=ax+3的图象订交于点工（力，2）,则关

于x的不等式-2r＞以+3的解集是（）

A.x>2B.x<2C.x>-1D.x<-1

变式8-2.（2021•山西模拟）如图,函数y=2x和广ax+4的图象订交于A（m,3）,则不等式2x<ax+4

的解集为（）

B.x>3c-X<1D.x<3

考查题型九一次函数与二元一次方程（组）

典例9（2021・陕西中考真题）在平面直角坐标系中，。为坐标原点.若直线歹=壮3分别与x轴、直

线y=-2x交于点4、B,则446啰的面积为（）

A.2B.3C.4D.6

变式9-1.（2021•河北承德市•九年级二模）如图，点A,B,。在一次函数y=-2x+〃的图象

上，它们的横坐标依次为-1,1,2,分别过这些点作x轴与丁轴的垂线，则图中阴影部分的面

积和是（）

3

A.1B.3C.30-1)D.-0-2)

变式9-2.（2021•西安市铁一中学九年级其他模拟）若直线丫=3*+01和丫=标-4订交于点P（-3,-

2）,则方程组/y=3x-m，的解为（）

y