拓展专题7求数列的通项公式（教师版）

拓展专题7求数列的通项公式将数列的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"通项公式。这正如将数列的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"通项公式。这正如\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"函数的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an

项的值。求数列的通项公式，是考察学生对数列的思考能力、熟练程度和解题能力的重要手段。这部分内容灵活度较大、技巧性强，需要学生仔细琢磨各类题型的特点，熟练掌握相应的技巧，只要多思考、多总结，这部分试题并不难。——合肥八中中学一级教师关良玲探究1：前n项和法【典例剖析】例1.(2022·江苏省无锡市模拟)已知数列an的首项a1=3，且a(1)求证：数列1S(2)求数列an选题意图:由选题意图:由前n项和求通项公式，理论基础是an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2思维引导：第（1）问中将an=Sn-Sn-1n≥2带入an=2SnSn-1,n≥2中，得到Sn与Sn-1n≥2的关系式，从而判断出数列1Sn为等差数列，从而求出Sn；【解析】(1)∵an=2SnSn-1(n∈N*,n≥2)，

∴Sn-Sn-1=2SnSn-1，

由题知SnSn-1≠0，

两边同时除以SnSn-1，得1Sn-1-1Sn=2，

∴1Sn-1S【变式训练】练11(2022·山西省运城市模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=【解析】因为Sn=n2an(n∈N*)，

所以当n≥2时，Sn-1=(n-1)2an-1，

故an=S练12(2022·辽宁省丹东市月考)数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=12，Sn=n2an-n2(n-1)．【解析】(1)证明：由Sn=n2an-n2(n-1)，

可知n≥2时，Sn=n2(Sn-Sn-1)-n2(n-1)．

可得Sn=n2n2-1Sn-1+n2n+1．

所以【规律方法】数列是高考中的重要考查内容,求通项公式往往会作为解答题的第(1)问,难度

多,但是每一类求法对应的条件的区别较为明显,重点掌握几种常用的求通项公式的思路方法.

Sn求a=1\*GB3①已知Sn=f(n)，则an＝第一步：当n=1时，a1=S1；第二步：当n≥2时，an==2\*GB3②已知Sn=f(Sn-1)：可先求出数列=3\*GB3③已知Sn=f(an)：Sn=f(an)Sn=f(an)得到Sn与S探究2：累加法【典例剖析】例2.(2022·湖北省联考)已知数列{an}中，an+1=an+选题意图：选题意图：递推关系满足an+1-an=fn即可利用累加法求出ann≥2，注意验证a1是否符合，思维引导：题干中的递推关系为an+1-an=1n-1【解析】由an+1=an+1n2+n，a2=32，得a1=1，

an+1-an=1n2+n=1n-1【变式训练】练21(2022·浙江省模拟)已知数列{an}满足nan+1-(n+1)an=1(n∈A.12n B.n-1 C.n【解析】∵nan+1-(n+1)an=1(n∈N*),⋯

∴ann-an-1n-1=1n-1-1n，

累加得ann-a33练22(2022·江苏省模拟)已知正项数列an的前n项和为Sn，给出以下三个条件：

①a1=1，nan+1=(n+1)an从这三个条件中任选一个解答下面的问题．(1)求数列an(2)设bn=4Snan【解析】(1)若选①：由nan+1=(n+1)an+1(n∈N*)，得an+1n+1=ann+1n(n+1).

令cn=ann，可得cn+1-cn=1n-1n+1．

当n≥2时，cn-cn-1=1n-1-1n，cn-1-cn-2=1n-2-1n-1，…，c2-c1=1-12，

累加得cn-c1=1-1n.

又c1=a11=1，则cn=2-1n(n≥2)，则【规律方法】2.累加法：a第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即an+1第二步：写出an-an-1=f第三步：得到an-a第四步：检验a1是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写出分段形式探究3：累乘法【典例剖析】例3.(2022·江苏省南通市月考)已知数列{an}，a1=1，且anan+1=选题意图：选题意图：递推关系满足an+1an=fn即可利用累乘法求出a思维引导：题干条件anan+1=nn+2不符合累乘法的模型an+1an=f【解析】因为an⋅an+1=nn+2，

所以a1⋅a2⋅a3⋅…⋅a2n-2⋅a2n-1⋅a2n=13⋅35⋅57·…·2n-12n+1=12n+1；

由an⋅an+1=nn+2，可得an+1⋅【变式训练】练31(2022·江西省联考)已知a1=1,an=n(an+1A.an=n B.an=【解析】∵a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*)，

∴(n+1)an=na练32(2022·河南省重点高中顶尖计划模拟)已知数列an中，a1=14，an-2an+1A.3 B.5 C.7 D.9【解析】因为an-2an+1an+2an+1=1n+1，

所以化简可得

an+1an=n2(n+2)，

所以a2a1∙a3a2∙【规律方法】乘法：a第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即an+1第二步：写出anan-1=fn-1，a第三步：得到ana1第四步：检验a1是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足探究4：构造法【典例剖析】例4.(2021·广东省佛山市月考)已知在数列{an}中，a6=11，且nan-(n-1)an+1选题意图：选题意图：根据递推关系适当变形构造特殊数列灵活性较大，解题中需要抓住给出的条件式的特点，再运用代数手段进行恰当的变形，变形方法需要一定的技巧.本题由相邻两项的关系推导出相邻三项的关系，从而判断出数列an即为等差数列思维引导：由题干中的递推关系得出n+1an+1-nan+2=1，两式联立得出an+an+2=2an+1，判断出数列an为等差数列，求出【解析】因为nan-(n-1)an+1=1，所以(n+1)an+1-nan+2=1，

两式相减得nan-2nan+1+nan+2=0，所以an+an+2=2an+1，

所以数列{a【变式训练】练41(2022·江苏省盐城市月考)已知数列{an}满足a1=1，an+1=anan+2(n∈【解析】∵数列{an}满足：a1=1，an+1=anan+2，(n∈N*)，

∴1an+1=2an+1，化为1an+1+1=2(1an+1)，

∴数列{1an+1}是等比数列，首项为1a1+1=2，公比为2，

∴1an+1=练42(2021·安徽省合肥市联考)已知数列an满足a1=1，an∈N)，则数列{an}的通项A.12n-1 B.12n【解析】由题意得，anan-1+2anan+1=3an-1an+1，

∴1an+1+2an-1=3an，

∴1an+1-1练43(2022·江苏省南京市模拟)已知数列{an}满足a12an+1anan-1【解析】数列{an}满足a1=1，a2=13，

且2an+1anan-1=an+1an+anan-1-2an+1an-1(n≥2)，练44(2021·湖南省永州市模拟)已知数列an=32an-1A.63log23-31 B.31log【解析】由an=32an-12+3an-1+12可得an在等式an+1=3令bn=log2an+1所以，数列bn+log23∴b即log2a5+1=32【规律方法】4.构造法：=1\*GB3①an+1=pan+q（其中p,q第一步：先将递推公式改写为an+1第二步：由待定系数法，解得k=q第三步：求出数列{an+qp-1=2\*GB3②an+1=pan+qn+r（其中p,q为常数，且第一步：先将递推公式改写为an+1第二步：由待定系数法，求出m,t的值；第三步：求出数列an+mn+t的通项公式，得到an=3\*GB3③an+1=pan+qn（其中思路一：第一步：两边同除以qn+1，得a第二步：若p≠q，利用=1\*GB3①中方法求出数列anqn的通项公式，得到an的通项公式；若p=q，数列思路二：第一步：或先将递推公式改写为an+1第二步：由待定系数法，求出m的值；第三步：求出数列an+m∙qn的通项公式，得到=4\*GB3④xan+2+yan+1+z第一步：把递推关系式转化为an+2第二步：设bn=an+1-pan，则bn+1=mbn+q；若m≠1，则利用=1\*GB3第三步：通过数列an+1-pan的通项公式，即数列a=5\*GB3⑤an+1=panq第