专题02 与三角形有关的角（知识串讲+7大考点）原卷版

专题02与三角形有关的角考点类型知识串讲（一）三角形内角（和）（1）内角和定理：三角形三个内角和等于180°。（2）推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（二）三角形外角（1）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角（2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。（3）三角形的外角与内角的关系：①三角形的一个外角与它相邻的内角互补；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（三）三角形内、外角角平分线模型如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．考点训练考点1：三角形内角和定理的证明典例1：（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（

）A．延长BC至D过C作CE∥AB B．过A作DE∥BCC．过D作DE∥BC D．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于180°．已知：△ABC的三个内角为∠A，∠B，∠C．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证法1证法2如图1，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵∠ACD+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．如图2，过点C作DE∥AB，∵DE∥∠2=∠A（两直线平行，内错角相等），又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定义），∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代换）．下列说法正确的是（

）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理B．证法1用合理的推理证明了该定理C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理【变式2】（2023·广东佛山·校考一模）如下图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180°的原理是（

）A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点2：三角形内角和定理的应用——平行线典例2：（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，给出以下结论：①∠2=∠EAB；②AC平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（2023·湖北荆门·校联考一模）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，A．70° B．65° C．60° D．55°【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2=30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，则∠2=30°；④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【变式3】（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA,CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点3：三角形内角和定理的应用——角平分线典例3：（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠A；A．2 B．3 C．4 D．5【变式1】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CAA．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【变式2】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF其中正确的结论是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【变式3】（2022春·重庆荣昌·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分线交CD于点M，连接BM，若∠CBM＝38°，则∠AMB的度数是（）A．51 B．73 C．75 D．90考点4：三角形内角和定理的应用——折叠问题典例4：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（

A．80° B．70° C．45° D．35°【变式1】（2022秋·贵州黔西·八年级统考期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在BC边上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A=85°，则∠MGE的度数为（

）A．45° B．55° C．85° D．95°【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、A．22° B．21° C．20° D．19°【变式3】（2023·山东济南·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=44°A．66° B．104° C．114° D．124°考点5：三角形内角和定理的综合应用典例5：（2023春·江苏镇江·七年级统考阶段练习）如图，分别将三角板ABC与ADE的一边AB与AE放置在直线l上，边AC与AD所在直线重合．现将三角板ABC绕点A逆时针旋转，三角板ADE绕点A顺时针旋转．当AB与AE第一次重合时，三角板停止运动．在旋转过程中，下列说法不正确的是（

）A．当AB与DE垂直时，∠BAE=150° B．当BC与DE平行时，∠BAE=120°C．当AC与DE垂直时，∠BAE=60° D．当BC与AE平行时，∠BAE=45°【变式1】（2023·江西·模拟预测）如图，从A点发出的光线AB，AD经平面镜l反射后得到反射光线BC，DE，m，n为法线，设∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之间的数量关系是（

）A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ【变式2】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．当∠MAC为（

）度时，AM与CB平行．A．55 B．65 C．75 D．80【变式3】（2022秋·八年级单元测试）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA=120°，∠ECA=125°，则∠A的度数是（）A．65° B．80° C．85° D．90°考点6：直角三角形的两个锐角互余典例6：（2023春·安徽·七年级期中）如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为()A．100° B．105° C．110° D．120°【变式1】（2023·安徽宿州·统考一模）将含30°角的直角三角板ABC如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，则∠ABQ的度数为（）A．120° B．130° C．150° D．160°【变式2】（2023·广东深圳·统考一模）一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，则∠ABD的度数为（A．5∘ B．15∘ C．20∘【变式3】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B=48°，∠C=68°，则∠DAE的度数是（）A．10° B．12° C．14° D．16°考点7：三角形外角的定义与性质典例7：（2023·贵州黔南·统考一模）如图，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，则∠F的度数是（

）A．24° B．30° C．40° D．60°【变式1】（2023·山东滨州·模拟预测）如图，CD∥EF，直线AB与直线CD,EF分别相交于点G，H，GM平分∠CGH交EF于点M．若∠GME=150°，则∠GHF的度数为（A．100° B．80° C．60° D．50°【变式2】（2022秋·云南德宏·八年级统考期末）已知AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，则∠ADB的度数为（A．96° B．100° C．106° D．110°【变式3】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，l1∥l2A．∠α+∠β-∠γ=180° B．∠α+∠β+∠γ=180° C．∠α+∠β=2∠γ D．∠α+∠β=∠γ考点8：三角形内外角角平分线规律典例8：（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CA．2° B．4° C．8° D．16°【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为（

）A．20° B．30° C．45° D．50°【变式3】（2023秋·黑龙江·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠BDC=（）A．45° B．60° C．50° D．无法确定同步过关一、单选题1．（2023春·七年级单元测试）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（

）度．A．75 B．90 C．100 D．1052．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，BC⊥AE于点C，CD//AB，∠B=60°，则∠ECD的度数是（A．25° B．30° C．35° D．40°3．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）一副三角板如图叠放在一起，则∠α的度数是（

）A．135° B．145° C．150° D．165°4．（2023春·全国·七年级专题练习）一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，则∠A的度数是（

）A．50° B．40° C．45° D．44°5．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=30°,∠DAE=60°，那么∠ACD等于（

）A．90° B．60° C．80° D．100°6．（2023春·福建三明·九年级统考开学考试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，CD与OA交于点E，已知∠A=30°，则∠DEO的度数为（

）A．45° B．60° C．70° D．75°7．（2022秋·全国·八年级专题练习）满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是(

)A．锐角三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．不确定8．（2023春·山东威海·七年级统考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如图放置，若EF//MN，∠1=100°，则∠2=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°9．（2023秋·内蒙古通辽·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是CA延长线上一点，∠B=40°，∠BAD=76°，则∠C的度数为（）A．36° B．116° C．26° D．104°10．（2023·山东菏泽·中考真题）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°11．（2022春·山东东营·七年级统考期中）给出下列命题：（1）三角形的一个外角一定大于它的一个内角（2）若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形（3）三角形的最小内角不能大于60°（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和其中真命题的个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（2023春·八年级课时练习）如图，DE为△ABC的边BC的垂直平分线，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，则∠ACD的度数为（）A．40°B．50°C．30°D．45°13．（2023·广西百色·统考一模）如图，AC∥BD，AD与BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°14．（2023秋·安徽马鞍山·八年级统考期末）若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形15．（2023秋·湖北孝感·八年级校考阶段练习）四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（

）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空题16．（2023·北京·九年级专题练习）在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是_____．17．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于________．18．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC=35°，则∠BCD的度数为19．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，则∠BOC＝_____．20．（2023秋·重庆渝中·八年级统考期末）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠C的度数为_____．21．（2023秋·安徽安庆·八年级校考期末）如图，已知AB∥CD，∠A=25°，∠E=15°，则∠C等于_______.22．（2023春·七年级课时练习）已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为_________.23．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，则∠A=_________.24．（2022秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠P=40°，则∠A=__________．25．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有_____(写出所有正确结论的序号)．三、解答题26．（2023秋·湖南怀化·八年级统考期中）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．27．（2023秋·八年级课时练习）说出下列图形中∠1和∠2的度数：28．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数．29．（2023秋·广东·八年级校考阶段练习）如图，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD是∠BHC的平分线，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度数．30．（2023·重庆·中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．31．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数．32．（2023秋·全国·八年级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1