专题3.2 坐标系中的面积问题的四大类型（北师大版）（解析版）

专题3.2坐标系中的面积问题的四大类型【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对坐标与图形面积问题的四大类型的理解！【类型1计算一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的规则图形的面积】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形ABCD的面积是（

）个平方单位．A．152 B．15 C．10 D【答案】B【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到AD∥x轴，AD=4--1【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A-1,2∴AD∥x轴，AD=4--1∴平行四边形ABCD的面积=5×3=15，故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键．2．（2023春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为A-2,6，B-5,4，C-7,0，O0,0（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（A．25 B．250 C．2500 D．2200【答案】C【分析】根据S四边形【详解】解：如图所示，A-2,6，B-5,4，CS==4+15+6=∵图上一个单位长度表示10米，∴25×10×10=2500m故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将△OAB沿x轴正方向平移83个单位长度得到△FDE，若A0,3，OG=1A．83 B．4 C．163 D【答案】C【分析】根据平移的性质，求出DF=3,OG=1,OF=BE=83，四边形ABEG的面积等于四边形DFOG的面积，求出四边形DFOG的面积是【详解】解：∵△OAB沿x轴正方向平移83个单位长度得到△FDE∴△OAB≌△FDE，∴四边形ABEG的面积等于四边形DFOG的面积，∵A(0,3)，∴DF=3,OG=1,OF=BE=83∵四边形DFOG的面积=1+3∴四边形ABEG的面积是163故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是求出四边形DFOG的面积．4．（2023·全国·八年级专题练习）如图，已知A(-2，0)，【答案】12【分析】由A、B两点的坐标可得AB=6，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：因为C点坐标为(-4，所以△ABC的AB边上的高为4，又由题可知AB=4--2所以S△ABC【点睛】本题考查了图形与坐标，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题关键．5．（2023春·全国·八年级期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,4，B3,4，(1)试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；(2)画出将△ABC向下平移4个单位的△A(3)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据点A、B、C的坐标及坐标的概念描点即可；（2）分别找到点A、B、C平移后的对应点，依次连接即可；（3）根据三角形的面积公式求解可得．【详解】（1）解：如图所示：（2）如图，△A（3）△ABC的面积为12【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是根据平移的定义和性质得出对应点．6．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）已知，点A(a+3，a+2)．且点A在(1)A点的坐标为．(2)若点C坐标为0,4，求△AOC的面积．(3)在（2）的条件下，若点P为y轴上一动点，且△ACP的面积为5，求点P的坐标．【答案】(1)1,0(2)2(3)0,14或0,-6【分析】（1）由点A在x轴上可得其纵坐标为0，求出a即可得到答案；（2）根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意可求出PC=10，再分两种情况：①当点P在y轴正半轴时，②当点P在y轴负半轴时，结合图形解答即可．【详解】（1）∵点A(a+3，a+2)，且点A在∴a+2=0，∴a=-2，∴a+3=1，∴点A的坐标为1,0，故答案为：1,0；（2）由（1）可知，点A的坐标为1,0，∴OA=1，∵点C坐标为0,4，∴OC=4，∵∠AOC=90°，∴△AOC的面积=1（3）∵△ACP的面积为5，∴12PC•OA=5，即解得：PC=10，分两种情况：①当点P在y轴正半轴时，如图1，则OP=PC+OC=10+4=14，∴点P的坐标为0,14；②当点P在y轴负半轴时，如图2，则OP=PC-OC=10-4=6，∴点P的坐标为0,-6；综上所述，点P的坐标为0,14或0,-6．【点睛】本题考查了坐标与图形以及三角形的面积，正确分类、得出相应点的坐标是解题关键．7．（2023春·甘肃白银·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中有三点A-2，1，B(1)在如图所示的平面直角坐标系内描出点A，B，C的位置；(2)求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积；(3)点P在y轴上，以A，B，P三点为顶点的三角形的面积等于10．请直接写出点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)5(3)P点的坐标为0，5【分析】（1）由题意根据点的坐标，直接描点即可；（2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，进而得出AB=5，点C到线段AB的距离（3）根据题意，设P的坐标为0，m，再根据三角形的面积，得出P点到AB的距离为4，进而得出【详解】（1）解：描点如图；（2）解：依题意，得AB∥x轴，且A-2，1∴AB=3--2=5，点C到线段AB的距离∴S△ABC（3）解：∵点P在y轴上，∴设P的坐标为0，又∵AB=5，S△ABP∴P点到AB的距离为4，∴m-1=4解得：m=5或-3，∴P点的坐标为0，5或【点睛】本题考查了点的坐标、坐标与图形、两点之间的距离，解本题的关键在正确画出图形．8．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，其中点A，B，C的对应点分别为点A'(1)在图上画出△A'B(2)在图上，连接A'A，A'【答案】(1)A'(2)面积是14，图见解析【分析】（1）根据平移的性质即可求解，根据坐标系写出点的坐标；（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，△A∵把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B∴A'（2）由题意得：S△A【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．【类型2计算各边都不在坐标轴上的规则图形的面积】1．（2023春·广东清远·八年级统考期末）已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A3,2、B-1,0、C2,0．在平面直角坐标系中画出三角形ABC

【答案】见解析，3【分析】根据题意画出图形，然后即可求出面积．【详解】解：如图，三角形ABC即为所求，

三角形ABC的面积为：12【点睛】本题考查了坐标与图形，正确画出图形是关键．2．（2023春·广东肇庆·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,4，B8,0，Ca,b，点C在第一象限，CB⊥x轴，且到x

(1)a=__________，b=_________；(2)求△ABC的面积；(3)如果在第二象限内有一点Pm,1，且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍，求满足条件的P点的坐【答案】(1)a=8，b=6(2)24(3)P【分析】（1）根据CB⊥x轴，可知点C与点B的横坐标相同，结合点C到x轴的距离为6，得点C的纵坐标为6，即可得到a、b的值；（2）根据三角形的面积公式得S△ABC=1（3）由图象可知S四边形ABOP=S△APO+S△AOB，再由三角形的面积公式求出S四边形【详解】（1）解：∵B8,0，Ca,b，点C在第一象限，CB⊥x轴，且到x轴的距离为∴a=8，b=6，故答案为：a=8，b=6．（2）解：∵B8,0，C∴BC=6，∵S△ABC∴S△ABC（3）解：∵A0,4，B∴OA=4，OB=8，∵S四边形∴S=1∵S四边形∴2m∴m=16∵且P在第二象限，∴m=-16，∴P-16,1【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据坐标得出坐标系内线段的长度，熟练掌握坐标与图形性质，由题意得出方程是解决问题（2）的关键．3．（2023春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知OA=4，OB=3，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．

(1)直接填写点A，B，C的坐标：A(，)，B(，)，C(，)；(2)求三角形ABC的面积；(3)点D为BC与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标．【答案】(1)4，0，0，3，2，-2(2)7(3)6【分析】（1）直接根据图像可得结果；（2）利用割补法计算即可；（3）利用三角形ABC的面积，得到12×yB+【详解】（1）解：由图可知：A4,0，B0,3，（2）三角形ABC的面积为：4×5-1（3）∵三角形ABC的面积为7，∴12即12解得：AD=14∴4-145=65【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法．4．（2023春·北京大兴·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,5，B4,1，将线段AB先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段CD（其中点C与点A，点D与点B是对应点），连接AC，

(1)补全图形，点C的坐标是__________，点D的坐标是__________．(2)三角形OCD的面积是__________．【答案】(1)C-4,1；(2)13【分析】（1）通过题意的内容指示，将图形补全后，即可得出点C和点D的坐标．（2）连接OC，OD利用割补法即可求出三角形OCD的面积．【详解】（1）解：补全图形，如图所示，点C和点D的坐标分别是-4,1；-1,-3．

（2）解：由题可得：S△OCD【点睛】本题考查了作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质及割补法求三角形的面积．5．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，三角形ABC中任意一点Px0,y0经平移后对应点为P

(1)画出平移后的三角形A1(2)求三角形A1(3)直接写出AB与x轴交点D的坐标___________【答案】(1)见解析(2)11(3)(-【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；（2）根据割补法求解即可；（3）根据面积法求解即可．【详解】（1）解：如图所示，三角形A1

（2）三角形A1B1（3）∵三角形ABC的面积=1∴CD=11∴OD=11∴D(-7故答案为：(-7【点睛】本题考查了平移变换的性质，利用面积法求解（3）是解题的关键．6．（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，B(4,2)，C(2,-2)．

(1)在网格中画出这个平面直角坐标系；(2)连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．①画出线段AD；②连接AC，DB，求四边形ACBD的面积．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②14【分析】（1）根据点A(0,1)，B(4,2)，C(2,-2)，即可得；（2）①根据平移的性质即可得到线段AD；②四边形ACBD是由△ADC，△BDC组成，则四边形ACBD的面积为【详解】（1）解：根据点A(0,1)，B(4,2)，C(2,-2)，建立直角坐标系如图所示：

（2）解：①如图所示，线段AD即为所求．

②四边形ACBD的面积：S△ADC【点睛】本题考查了平面直角坐标系，平移，解题的关键是掌握这些知识点．7．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在网格格点（网格线的交点）上．

(1)直接写出△ABC各顶点的坐标；(2)将△ABC向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，可以得到△A1B(3)求△ABC的面积．【答案】(1)A(-1,-1)(2)画图见解析(3)7【分析】（1）直接写出坐标即可；（2）画出平移后三个顶点的坐标，依次连接三个顶点即可；（3）利用割补法即可求解．【详解】（1）解：由图知，A(-1,-1)，（2）解：平移后的图形如下：

（3）解：S△ABC【点睛】本题考查了坐标与图形，图形的平移，写出点的坐标，割补法求图形面积等知识，掌握坐标系中点平移的特点是关键．8．（2023春·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）如图，平面直角坐标系中，点A-1,4、B-4,3、C-3,1，把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4

(1)请认真的你画出△A(2)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)3.5【分析】（1）根据平移的性质即可求解；（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，△A

（2）S△ABC【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．【类型3已知图形面积求顶点坐标】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别个为A（2，0）、B（0，1）、C（2，3）．若P为直线AB上方的坐标轴上的点，满足△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标是（

）A．（4，0） B．（0，4）C．（0，2）或（6，0） D．（0，4）或（8，0）【答案】D【分析】先设出点P的坐标，分P在x轴和y轴两种情况讨论，然后求出三角形ABC的面积，再将三角形ABP的面积用点P的坐标表示出来，列出方程，求出点P的坐标即可．【详解】解：由题意得SΔABC∴S△ABP＝3，若点P在x轴上，设P（x，0），则S△ABP＝S△OBP﹣S△OAB＝12⋅x⋅1-1解得x＝8，∴P（8，0），若点P在y轴上，设P（0，y），则S△ABP＝S△AOP﹣S△OAB＝12解得y＝4，∴P（0，4），故选：D．【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是得到△ABP与△ABC之间的关系，注意分类讨论．2．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点M，N的坐标分别为（4，0）和（a，a+1），且三角形OMN的面积是8，则a的值为（

）A．3或-5 B．±4 C．3 D．-5【答案】A【分析】利用三角形的面积公式，结合点的坐标列方程求解即可．【详解】解：根据题意得：12解得：a=3或a=-5，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，绝对值方程，结合坐标列出关于a的方程，是解题的关键．3．（2023春·北京西城·八年级期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸四边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸四边形．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ORST的四个顶点分别为O0,0，R0,5，T8,0，S8,5．已知点E2,4，F0,3，G4,2．若点P在矩形ORST的内部，以P，E，F，G

【答案】6,3【分析】画出图形，运用分割法求出与P，E，F，G四点为顶点的格点凸四边形的面积为6时的点P即可．【详解】解：如图，S△EFG=4×2-1∴S四边形此时，格点P1的坐标为

过格点P1作EG的平行线，过格点P2,P∴S四边形P2∴P26,3又S∴S∴P所以，以P，E，F，G四点为顶点的格点凸四边形的面积为6的点P有四处，坐标为6,3,故答案为：6,3,【点睛】本题主要考查了坐标与图形，找准、找全点P的坐标是解答本题的关键．4．（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）如图，点A4,0，点B-2,b是第二象限内的点，△AOB面积等于(1)求b的值；(2)在坐标轴上是否存在一点P（不与点A重合），使S△BOP=S△AOB？若存在，请直接写出符合条件的点【答案】(1)b=4(2)P点坐标0，-8或（0【分析】（1）根据△AOB面积等于8列出方程求解即可；（2）分两种情况讨论：当点P在y轴上和点P在x轴上，分别根据S△BOP【详解】（1）∵点B是第二象限内的点∴b>0，∴S△AOB∴b=4．（2）P点坐标0，-8或0,8或求解过程：当点P在y轴上时，S△BOP∴OP=8，即点P坐标0，-8或当点P在x轴上时，S△BOP∴OP=4，∵点P不与点A重合，∴点P坐标-4，综上：P点坐标0，-8或（0，【点睛】本题主要考查了直角坐标系中点的特征，非负数的性质，三角形的面积，关键是数形结合运用点的坐标进行求得三角形的高与底边长．5．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点都在平面直角坐标系中的坐标轴上，△ABC的面积S△ABC=24，OA=OB，BC=12，求【答案】A0,4，B-4,0【分析】首先根据面积求得OA的长，再根据已知条件求得OB的长，最后求得OC的长．最后写坐标的时候注意点的位置．【详解】解：∵S△ABC=12BC•OA=24，OA=OB，BC=12∴OA=OB=2×24∴OC=8，∵点O为原点，∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，写点的坐标的时候，特别注意根据点所在的位置来确定坐标符号．6．（2023春·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点Aa,0，B0,b，Cc,0，且a，b，c满足关系式a-4

(1)求a，b，c的值．(2)连接BC，当S三角形ABC=32(3)当m=3，n>2时，三角形ABP的面积为7，求n的值．【答案】(1)a=4，b=2，c=-2；(2)4；(3)n=4；【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0，列式求解即可得到答案；（2）根据A4,0，B0,2，C-2,0得到AC=6，OB=2，求出S（3）过点P作PD⊥y轴于点D，根据题意得到PD=3，OD=n，OA=4，OB=2，得到BD=n-2，结合三角形面积列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵a-4+∴a-4=0，b-2=0，c+2=0，解得a=4，b=2，c=-2；（2）解：∵A4,0，B0,2，∴AC=6，OB=2，∴S三角形∵S三角形∴S三角形（3）解：如图，过点P作PD⊥y轴于点D，

∵m=3，∴PD=3，OD=n，由（1）得A4,0，B∴OA=4，OB=2，∴BD=n-2．∵三角形ABP的面积为7，S三角形∴12解得n=4；【点睛】本题考查绝对值非负性与完全平方的非负性，平面直角坐标系中图形面积求解，点到坐标轴的距离问题，解题的关键是根据点到坐标轴的距离是三角形的高计算面积．【类型4已知图形面积，但点的位置不确定，需要分类讨论】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（

）A．-4 B．4 C．±4 D．±5【答案】C【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线AB与坐标轴围成的三角形是以OA、OB为直角边的直角三角形，∵A(a,0)和点B(0,5)，∴OA=|a|，OB=5，∴SΔ∴|a|=4，∴a=±4．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．2．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知点A-4，0，B6，0，C3，mA．1.2 B．2.4C．-2.4 D．-2.4或2.4【答案】D【分析】根据点的特征，得出A、B两点在x轴上，进而得出AB的长，再根据点C的坐标，得出点C到x轴的距离为m，再根据三角形的面积公式，即可得出【详解】解：∵A-4，0∴A、B两点在∴AB=-4∵C3∴点C到x轴的距离为m，∵△ABC的面积是12，∴S△ABC解得：m=±2.4．故选：D．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、点到坐标轴的距离、三角形的面积，解本题的关键在计算点C到x轴的距离时，注意加绝对值．3．（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，A0，1，B2，0，C4，3，点P在x【答案】10，0【分析】过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC=S四边形CDOE-S△AEC-【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为D、E，则S=3×4-=12-4-1-3=4，设点P的坐标为x,0，则BP=x-2∵△ABP与△ABC的面积相等，∴12解得：x=10或x=-6，∴点P的坐标为10，0或故答案为：10，0或【点睛】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．4．（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，其中A(4,0)，C(0,3)，点E是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1cm的速度沿O-A-B-E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x=2秒时，△OPE的面积等于______cm2；当△OPE的面积等于5cm2时，

【答案】3103，【分析】当x=2秒时，利用三角形面积公式即可求解；第2问分三种情况，分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可．【详解】解：由题意得OA=BC=4，OC=AB=3，BE=CE=1当x=2秒时，OP=2，△OPE的面积等于12当△OPE的面积等于5cm①如图，

当P在OA上时，0<x≤4，∵△OPE的面积等于5，∴12x·3=5解得x=10∴P点坐标为103②当P在AB上时，4<x≤7，如图，

∵△OPE的面积等于5，∴S矩形∴4×3-12解得x=5．∴AP=5-4=1，∴P点坐标为4，③当P在BE上时，7<x≤9，如图，

∴124+3+2-x解得x=173综上可知，当△OPE的面积等于5cm2，P点坐标为10故答案为：3；103，0【点睛】本题考查了坐标与图形，长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．5．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0，Bb,0，其中a(1)求a、(2)如果在第三象限内有一点M-3,m，请用含m的式子表示△ABM(3)在（2）条件下，当m=-4时，在y轴上有一点P，使得△ABP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【答案】(1)a=-2，b=4(2)-3m(3)P(0，4)或【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）根据（2）的结论得出S△ABM=-3×-4=12，设【详解】（1）解：∵a+2+∴a+2=0，b-4=0，∴a=-2，b=4；（2）如图1所示，过M作ME⊥x轴于E，∵A-2,0，B∴OA=2，OB=4，∴AB=6，∵在第三象限内有一点M(-3,m)，∴ME=|m|=-m，∴S△ABM（3）解：m=-4时，S△ABM设P(0，a)，则∴S∴3|a|=12，解得a=±4，∴P(0，4)或【点睛】本题主要考查非负数的性质、点的坐标以及三角形的面积公式，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题.6．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图所示的平面直角坐标系中，O为坐标原点，A4,3,B3,1,C1,2，将△ABC平移后得到△DEF．已知B点平移的对应点E点0,-3（A点与D

(1)画出平移后的△DEF，并写出点D的坐标为___________，点F的坐标为___________；(2)直接写出△ABC的面积___________；(3)连OC、OB，则y轴上是否存在P点，使S△POC=S△ABC，若存在，直接写出【答案】(1)作图见解析，D(1，-1)(2)5(3)(0，5)或(0，-5)．【分析】（1）画出图象即可解决问题；（2）利用割补法求解面积即可；（3）设出坐标，列一元一次方程即可解决问题；【详解】（1）解∶∵A4,3,B3,1,C