第08讲 难点探究专题：化简绝对值(4类热点题型讲练)（解析版）

第08难点探究专题：化简绝对值(4类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一利用数轴化简绝对值】 1【考点二分类讨论化简绝对值】 4【考点三利用几何意义化简绝对值】 9【考点四解绝对值方程】 18【考点一利用数轴化简绝对值】例题：（2023春·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）a、b、c三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示，计算：

【答案】/【分析】由题意根据绝对值的意义即非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，同时注意数轴上右边的数总大于左边的数进行分析计算即可解答．【详解】解：由数轴可得：，，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查实数与数轴之间的对应关系及绝对值的化简，注意掌握根据点在数轴上的位置来正确判断出代数式值的符号．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．

【答案】【分析】先由数轴判断a，b，c与0的大小关系，其中，则，，再根据绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，进而得出结果．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及绝对值的意义，其中正确掌握正负数的绝对值是解题的关键．2．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．(2)化简：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，求出距离即可；（2）根据数轴可以得出，即有，，，进而有，去掉绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】（1）∵数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，∴A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，故答案为：，；（2）由图，根据数轴可得：，∴，，，∴，∴，∴值为．【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判定式子的正负，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．3．（2023·江苏·七年级假期作业）有理数,,在数轴上的位置如图所示．(1)用“＜”连接：,,,,,；(2)化简：．【答案】(1)(2)【分析】（1）把，，，，，分别表示在数轴上可得答案；（2）根据数轴确定出，，的正负，再根据绝对值的性质化简．【详解】（1）解：如图，；（2）解：由（1）得：，，，．【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，数轴，绝对值的意义，利用理数，，在数轴上的位置确定，，的符号以及三个数的绝对值的大小是解题的关键．4．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示：(1)求_______(2)、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：；【答案】(1)-1(2)−a−b．【分析】（1）根据题意确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值；（2）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】（1）解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，∴，故答案为：-1；（2）解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，∴a+c＜0，a−b＜0，c−a＞0，∴=−a−c+a−b+c−a=−a−b．【点睛】此题考查了有理数的大小比较和绝对值的化简，以及数轴，解题的关键是利用数轴得出a，b，c的取值．注意：再数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．5．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；（2）根据相反数的定义即可求解；（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．【详解】解：由数轴可知，，，则（1），，．故答案为：，，；（2）、互为相反数，．故答案为：；（3）．【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系．【考点二分类讨论化简绝对值】例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．【答案】3，-3，1，−1．【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；(2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3；(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．(4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1；同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．故答案为：3，-3，1，−1．【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）若，则．【答案】【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．【详解】解：∵，∴，或，，若，，则；若，，则；综上所述，的值为，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．2．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝【答案】±2或0【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2，当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，故答案为：±2或0．【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键．3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，；若，；（2）若，则＝；（3）若，则．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可；（2）由（1）可知，结合可知即，化简即可；（3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴；∵，∴，∴，故答案为：1，；（2）∵，∴，∴，∴，故答案为：1；（3）∵，∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，当a、b、c中有一个负数、两个正数时，，当a、b、c中有三个负数时，，故答案为：1或．【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．4．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考期末）计算：已知，．若，求的值．【答案】8【分析】根据绝对值的定义，化简得x＝±5，y＝±3，再根据，得x，y异号，即当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8，故|x﹣y|的值为8．【详解】解：∵|x|＝5，|y|＝3，∴x＝±5，y＝±3，∵xy＜0，∴x，y异号，∴当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8；综上所述，|x﹣y|的值为8．【点睛】本题考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．（2023·江苏·七年级假期作业）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．【答案】或【分析】根据绝对值的性质和有理数的除法法则分情况讨论即可．【详解】解：根据题意，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述，式子的所有可能的值为或．【点睛】本题考查了有理数的乘法和绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质以及有理数的除法法则是解题的关键．6．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．(2)已知，，是有理数，，，求的值．(3)已知，，是有理数，当时，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．（2）由可得，由根据进而可求解．（3）分四种情况讨论：①当都是正数，即时；②当有一个为正数，另两个为负数时，设；③当有两个为正数，一个为负数时；④当三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解．【详解】（1）解：当时，则，当，则，故答案为：，．（2）已知是有理数，，所以，且中两正一负，所以．（3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．①当都是正数，即时，则：，②当有一个为正数，另两个为负数时，设，则：，③当有两个为正数，一个为负数时，设，则：，④当三个数都为负数时，则：，综上所述：的值为或或或【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键．【考点三利用几何意义化简绝对值】例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．【答案】(1)；(2)或(3)；(4)(5)，【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；（5）分类讨论，即可解答．【详解】（1）解：由数轴得数轴上表示和的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：；故答案：；．（2）解：由得，，所以表示与距离为，因为与距离为的是或，所以或．故答案：或．（3）解：由，得，，，所以表示与的距离为，与的距离为，，所以或，或，当，时，则A、B两点间的最大距离是，当，时，则A、B两点间的最小距离是，故答案：，．（4）解：所以表示与的距离加上与的距离的和，因为表示数a的点位于与之间，所以，故答案：．（5）解：，所以表示与、、的距离之和，①如图，当表示的点在的右侧时，即，

由数轴得：，所以，所以；②如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：因为，所以，所以；③如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：因为，所以，所以；④当表示的点在或或的点上时，即或或，如图，当时，

；如图，当时，

；如图，当时，

；因为，所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为；综上所述：当，的最小值为．故答案：，．【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d(1)对照数轴填写下表．a23b1031A，B两点之间的距离d127(2)观察上表，发现d与之间的数量关系是，(3)点A表示的数为x，式子、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是；若，则x＝．(4)适合式子的整数x的值是；(5)式子的最小值是多少？【答案】(1)，1；4，4(2)(3)；或(4)，，0，1，2，3(5)15【分析】（1）利用两点间距离公式，即可得到A，B两点之间的距离d；（2）利用（1）中的结论，即可得到d与之间的数量关系；（3）依据式子表示A、B两点之间的距离，而，即可得到点B表示的数是；（4）依据表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，即可得出适合式子的整数x的值；（5）根据式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，即可得到式子的最小值．【详解】（1）解：当时，；当时，；故答案为：，1；4，4；（2）解：由题可得，d与之间的数量关系是，故答案为：；（3）解：∵式子表示A、B两点之间的距离，而，∴点B表示的数是，故答案为：；（4）∵表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，∴，∴整数，0，1，2，3，故答案为：，0，1，2，3；（5）解：式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，∴当时，式子的最小值是．【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是掌握绝对值的几何意义，找出所求问题需要的条件，利用数轴和绝对值的知识解答．2．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；(2)若，则_________，若，则________；【应用】(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．【答案】(1)9，与的距离(2)或7.1，(3)5(4)有最小值，7【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论；（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或，数轴上表示的点和到表示3的点距离相等的点所表示的数为；（3）根据题意，表示a到的距离加上到2的距离，由于位于和2之间，即和2的两点距离之和，即可得到结论；（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可．【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，，即可表示为到的距离，故答案为：9；与的距离；（2）解：，到3.1的距离为4，，，，到的距离和到3的距离相同，，故答案为：或7.1；；（3）解：可表示a到的距离加上到2的距离且位于和2之间，原式可看作与2之间的距离，；（4）解：可表示为到的距离加上到的距离加上到1的距离，当时，该式取得最小值，此时．【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．3．（2023·四川自贡·校考一模）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么x＝；(3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．(4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x=．(5)已知，求的最大值和最小值．【答案】(1)3，5，(2)2或(3)8，2(4)或(5)最大值为7，最小值为．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；（2）根据题意可得方程或，求出x的值即可求解；（3）由题意可得或，或，分别求出a、b的值，再求解即可；（4）根据绝对值的几何意义可知，当时，，当时，，当x＞5时，；（5）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为3，当时，的最小值为3，当时，的最小值为4，再由已知可得，根据x、y、z的范围求的最大值和最小值即可．【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；故答案为：3，5，；（2）∵，∴或，解得x=2或，故答案为：2或；（3）∵，∴或，解得a=5或a=1，∵，∴或，解得或，当时，A、B两点间的最大距离是8，当时，A、B两点间的最小距离是2，故答案为；8，2；（4）∵表示数轴上有理数x所对应的点到-2和5所对应的点的距离之和，∴当时，，∵，当x＜时，，解得，当x＞5时，，解得，∴x的值为或，故答案为：或；（5）当时，的最小值为3，当时，的最小值为3，当时，的最小值为4，∵，∴，当x=2，y=2，z=3时，有最大值7，当时，有最小值．【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，请回答问题：(1)点B表示的数是，点C表示的数是．(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字重合．(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝．②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是．③当x＝时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6；（2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点，∴折痕点对应的数是2，∴点A与数字9重合，故答案为：9；（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3；②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4；③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4；④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键．【考点四解绝对值方程】例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：解方程．解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意；当时，原方程可化为：，解得，符合题意．所以，原方程的解为：或．根据以上材料解决下列问题：(1)若，则的取值范围是________；(2)解方程：．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可；（2）分和两种情况解答即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2）解：当时，，则原方程可化为：，解得：，符合题意；当时，，原方程可化为：，解得，符合题意．所以，原方程的解为：或．【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、解绝对值方程等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．【详解】（1）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（2）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（3）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（4）解：，整理，可得：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或．【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．2．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：(1)若，则的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②【答案】(1)(2)①或，②或【分析】（1）根据表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，求解即可；（2）①根据，表示在数轴上与3的距离为2的点对应的数，求出答案；②根据，表示在数轴上表示数的点到表示数1与表示数3的距离之和为8，求出答案．【详解】（1）解：，数轴上表示数的点到原点的距离为2，因此或，故