高数答案第十二章练习

习题二 2 2 _ 三．1（1）R1，且|x1|1x1=±1时，级数发散．∴收敛域为(0,2．∞∞¥]′n(x-1)n=(x−1)∑n(x−1)∑=(x− (x−n习题二 2 2 _ 三．1（1）R1，且|x1|1x1=±1时，级数发散．∴收敛域为(0,2．∞∞¥]′n(x-1)n=(x−1)∑n(x−1)∑=(x− (x−n′′∞⎤ (x− (x− =(x−1)⎡ −1⎤⎡=x−1，0逐项求∑nx<2⎢⎥(2−⎦（2）解：收敛域为消xx∞∞ ∑(−1)n∫x∑2n−0x∫0x⎡∞⎤1逐项积=⎢∑(−1)nx2n−2⎥dx=dx=−arctanx，−1≤x≤11+x⎣⎦0 x（ 3-n(2n-1)=- =(-x2)n+2x(-1)n-- -2n12+2xarctanx-ln(1+x=1+收敛域为(-1∞∞1xn的收敛域为(−1,1].对级数 xn,（4）解：易知,级数n44a11ρ=an= n→∞∞1所以,其收敛半径为4.易⻅当x=±4时，该级数发散.因此级数 nx的收敛域n4(−4,由幂级数的代数运算性质，题设级数的收敛域为(-1, 1xn∞∞1xn的收敛域为(−1,1].对级数 xn,（4）解：易知,级数n44a11ρ=an= n→∞∞1所以,其收敛半径为4.易⻅当x=±4时，该级数发散.因此级数 nx的收敛域n4(−4,由幂级数的代数运算性质，题设级数的收敛域为(-1, 1xn1 ¥¥¥=n=-ln(1+x)4-+x4nnnn=13n+(- 2（1）nfi= +anfi¥-n11n1n1当nfi1，因x=nn3+-n13n+(-2)nnx3时，级数化为1=11，可以验证：随着n3n+(-2)nn1+31310，根据莱布尼兹判别法13n+(-2)nnn综上，收敛域为[-3,a1e（2）=lime。2nfi¥nfix1een-(-(-1)n1en-(-112£=n2(-1)nn绝对收敛。综上，收敛域为[1,]1e11113（1）==−(x+1)(x+2(1+ 2(3+x+4x+11−,=x−1x−141⎝8⎛24 ⎠= (−1)∞14而(x− (−1<x<nx−2n)2(−1)∞1=∑n=(x−nx− 4x1een-(-(-1)n1en-(-112£=n2(-1)nn绝对收敛。综上，收敛域为[1,]1e11113（1）==−(x+1)(x+2(1+ 2(3+x+4x+11−,=x−1x−141⎝8⎛24 ⎠= (−1)∞14而(x− (−1<x<nx−2n)2(−1)∞1=∑n=(x−nx− 4)4x−=1[13x−x−+2)++)+333∞111=∑−)(x−1)n(−1<x<n故2n+ 22n+x+4x+sin⎛–π ππ ππ（2解：fxsinx⎟=sin⎜x ⎟–cos⎜x ⎟666 6 ⎝⎝⎝π⎞π⎞⎛⎛⎜x+⎜x+∞∞32 6 −(2n+12 6 ∑∑=nnn=⎡π⎞π⎞2n∞13⎛1⎛∑(−1)n⎥，−∞⎜x −⎜x =x<+∞26(2n)!6(x−∞∑=e2ex−（x，−∞<x<+∞=23(-1)n (-1)n(2n+1- 1¥¥¥¥41==-(2n (2n (2n(-1)n,cosx=考虑到sinx(2n¥¥¥(-1)ncos1-2=sin1-1，(2n=。⎛n⎞∞∞n−1+∞-11¥∑∑∑⎜⎝⎟⎠−=−=(n−∞∑(-1)n (-1)n(2n+1- 1¥¥¥¥41==-(2n (2n (2n(-1)n,cosx=考虑到sinx(2n¥¥¥(-1)ncos1-2=sin1-1，(2n=。⎛n⎞∞∞n−1+∞-11¥∑∑∑⎜⎝⎟⎠−=−=(n−∞∑∞∑∞∞∞∑n=⎛ (n− (n−111 +– −∑+−∑==⎝⎠n==e+e−(e−1)=e+1x2n+¥¥=(1+x)=25．解：⼀⽅⾯f(x)(1。 前⾯的系f(2009)1为x。另⼀⽅⾯，前⾯的系数为f2009)(0)2009!15π1π1π0f(x)dx=π-3xdx+π2xdx=-26=0π1π1πn2xcosnxdx=1-(-ππ0anf(x)cosnxdx3xcosnxdx-π0πππππππ0bf(x)sinnxdxxsinnxdxxsinnxdx=xsinnxdx,=nn0021-(-¥+所以f(x)cosnn=1因为5π是连续点，所以S(5π)=f )=-3ππ222247．解：将fx12x2⎡(−1)n(2π+1)−2π0(1−2x)sinnxdx=∫b⎥，n=1,2,⎢nn⎣⎦因此，fx12x在[-π0] (−1)n(2π+1)−∞∑sinnx，−π<x<0f(x)πn8fx)=2+|x (−1≤x≤1)是偶函数，所以bn0212n2π7．解：将fx12x2⎡(−1)n(2π+1)−2π0(1−2x)sinnxdx=∫b⎥，n=1,2,⎢nn⎣⎦因此，fx12x在[-π0] (−1)n(2π+1)−∞∑sinnx，−π<x<0f(x)πn8fx)=2+|x (−1≤x≤1)是偶函数，所以bn0212n2π11)n1]a=(2+x)cosnxdx-n02|x|54。π2(3n-2)!f'(x)2!5!f''(x)=1!+4!-¥3232易⻅：f''+f'+f= =ex，解得：f(x)=e2(x+x+B3-23232再注意到f(0)=1,f'(0)0，所以AB0，即f(x)=e2x+33n-1¥ n==所 anfinfi¥n¥¥1¥¥11=(n-=(n-1)an-1 S'(x)=nan)an-12a =a0+xS'(x)2+21131-S(x满足微分⽅程yS(x)2。y2(1-1-5 ． y'=y''-2xy